王薇

運(yùn)用構(gòu)造法解答數(shù)學(xué)問題，需觀察與分析命題條件與結(jié)論中數(shù)學(xué)元素的名稱、結(jié)構(gòu)、關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其與學(xué)過的某些數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)造與命題相匹配的數(shù)學(xué)模型，以使命題轉(zhuǎn)化，最終解題.構(gòu)造法的核心是構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型，要不斷嘗試將問題與方程、函數(shù)、圖形等建立聯(lián)系，構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)關(guān)系.

一、構(gòu)造直線的斜率

直線的斜率是直線的一個(gè)重要特征.直線的斜率 公式為 k = f （x1） - f （x2） x1 - x2 （x1 ≠ x2） ，該公式揭示了直線 上兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.在解答函數(shù)、平面幾何、平 面向量問題時(shí)，我們可以將有關(guān)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差、 橫坐標(biāo)之差的式子看作直線的斜率，利用直線斜率的 性質(zhì)和意義解題.一般地，當(dāng) k > 0 時(shí)，直線呈上升趨 勢(shì)；當(dāng)k < 0時(shí)，直線呈下降趨勢(shì).

例1.

解：

我們將要比較的三個(gè)分式變形，構(gòu)造出新模型 f （x） x = f （x） - 0 x - 0 ，即可將其視為定點(diǎn) （0，0） 與函數(shù) f （x） 圖象上的點(diǎn) （x，f （x）） 連線的斜率，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的幾 何意義和直線的升降趨勢(shì)，就能快速比較出三個(gè)分式 的大小.

二、構(gòu)造直線

我們知道 y =kx + b，ax + by +c =0均可表示直線，因此在解答二元一次方程、不等式、函數(shù)問題時(shí)，可根據(jù)解題需求將二元一次式看成是直線的方程，從而構(gòu)造出直線.通過討論直線、點(diǎn)之間的位置關(guān)系，尋找到圖形中的特殊點(diǎn)或特殊位置，從而迅速找到解題的突破口.

例2

解：

我們將 x + y + 2 = 0 看作直線的方程，畫出其圖 形，通過數(shù)形結(jié)合，確定直線到曲線的最大距離和最 小距離，從而求得目標(biāo)式的最值.

三、構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)是解答代數(shù)問題的重要工具.當(dāng)解答代數(shù)問題受阻時(shí)，我們可將代數(shù)式或其中某一部分看作一個(gè)新函數(shù)，通過研究新函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)，求得問題的答案.

例3.

解：

總之，構(gòu)造法是解答高中數(shù)學(xué)問題的重要方法，但構(gòu)造法較為靈活.同學(xué)們要善于觀察、分析元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，在“需求”和“可求”之間搭建解答問題的“橋梁”，運(yùn)用構(gòu)造法，快速找到解答問題的切入點(diǎn).

（作者單位：上海市朱家角中學(xué)）