邢成云　李秀珍

【摘 要】大單元教學順應(yīng)新課標的定位。本文立足基于課程整合的整體化教學課題研究，從對三角形大單元的認識，三角形內(nèi)容在現(xiàn)行人教版教材中的分布，統(tǒng)合后的三角形大單元結(jié)構(gòu)圖，三角形大單元教學設(shè)計的外在結(jié)構(gòu)（m個“1+n”）等四個方面對三角形大單元教學進行闡釋，尤其是基于對m個“1+n”的解讀，從大概念的確定、厘定大單元內(nèi)容及學習路徑、大單元教學整體規(guī)劃等三個視角，統(tǒng)籌教學布局，指向?qū)W科育人，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】三角形；大概念；大單元教學

新課標明確提出了大單元教學，但在現(xiàn)實課堂中，一線教師對大單元的認識以及大單元教學的具體實踐等仍頗感困惑，如何讓大單元教學真正落地成為關(guān)鍵問題。筆者帶領(lǐng)的教育部名師領(lǐng)航團隊作為“整體統(tǒng)攝·快慢相諧：初中數(shù)學整體化教學”（獲國家教學成果二等獎）的推廣群體，對大單元整體化教學有較深入的研究，本文就以三角形大單元為例，探索大單元教學的有效路徑，為一線教師更好地落實新課標理念提供參考與借鑒。

一、對三角形大單元的認識

要認識三角形大單元，首先應(yīng)界定清楚大單元的概念。關(guān)于大單元，學界至今沒有統(tǒng)一的界定，但大都認同崔允漷教授的說法，即大單元是指向素養(yǎng)的、相對獨立的、體現(xiàn)完整教學過程的課程細胞。大單元之“大”，表現(xiàn)在以大概念為統(tǒng)領(lǐng)，整合課程目標、內(nèi)容、實施和評價，使之成為一個完整的學習事件［1］。通過不斷學習，筆者研究團隊達成如下共識：大單元不同于傳統(tǒng)的教材單元，而是課程意義上的單元，是基于學生終身學習、持續(xù)發(fā)展的需求，通過大概念引領(lǐng)，把一章或幾章內(nèi)具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的知識和問題進行結(jié)構(gòu)整合優(yōu)化后的，具有相對獨立性、綜合性的重構(gòu)單元。也就是說，大單元之大，不是單純“量”的意義上的大，而是整體性、系統(tǒng)性、生長性課程思維的形象化表現(xiàn)。大單元具有大概念統(tǒng)領(lǐng)、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)、大局觀統(tǒng)籌的大格局、大學習觀的典型特征。

三角形作為最簡單的封閉圖形，既順承前面學過的線段、角、平行線及相交線，又為后續(xù)四邊形等圖形的學習提供思路、方法的支持。顯而易見，三角形處于前銜后聯(lián)的核心地位，其重要性正如項武義所言：“三角形是僅次于線段和直線的基本幾何圖形，而空間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中充分體現(xiàn)。三角形之所以成為古希臘幾何學所研究的主角，其原因也就是：三角形既簡單而又能充分反映空間的本質(zhì)?！保?］張景中等則指出：“歐幾里得給我們的基本解題工具，主要是全等三角形和相似三角形?！保?］這都足以說明掌握好三角形知識意味著理解了幾何圖形的大部分基本性質(zhì)。同時，三角形的知識是研究其他幾何圖形不可或缺的基礎(chǔ)，它的研究路徑、過程和方法可以遷移到四邊形等較復(fù)雜圖形的研究中，具有統(tǒng)領(lǐng)性、一貫性，所以三角形的學習對整個幾何系統(tǒng)的學習具有舉足輕重的作用。

三角形在初中學段若作為大單元呈現(xiàn)，自然囊括了三角形的基本內(nèi)容、特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）、全等三角形和相似三角形、解直角三角形等內(nèi)容，因此要依據(jù)對大單元的認識，立足三角形的核心素養(yǎng)功能，把這些內(nèi)容重構(gòu)為結(jié)構(gòu)化的課程組織。單元大小其實是相對的，不可一概而論，對于數(shù)學而言，一個章可以看作一個中單元，幾個關(guān)聯(lián)密切的章可以重構(gòu)成一個大單元，或者突出一個主題，將相關(guān)內(nèi)容結(jié)合在一起，形成一個大單元。

二、三角形內(nèi)容在現(xiàn)行人教版教材中的分布

為了更好地把握三角形大單元，更好地厘清學習脈絡(luò)，更好地發(fā)揮這一大單元的教學作用，彰顯其前構(gòu)性和統(tǒng)領(lǐng)性的價值，現(xiàn)通過線型分布圖的形式展現(xiàn)三角形內(nèi)容在現(xiàn)行人教版教材中的分布（圖1）。

從現(xiàn)行人教版教材來看，三角形內(nèi)容的各個章節(jié)安排在了八年級和九年級，如此安排是依據(jù)學生年齡段的思維特點，順應(yīng)了學生的認知規(guī)律，把思維能力發(fā)展的主線嵌入其中。但這些知識畢竟以章的形式分散在兩個學年內(nèi)，有一定的時段相隔且銜接不緊密，因此為了凝聚三角形知識所承載的發(fā)展學生核心素養(yǎng)之力，就需要把它們重新組合起來，形成一個統(tǒng)合的、統(tǒng)籌思考的課程組織，即三角形大單元。利用大單元發(fā)揮好“大”的統(tǒng)攝作用，形成全景式的整體認知和對幾何本質(zhì)的深度理解，進而落實好用數(shù)學的思維表達世界的課程理念。

三、統(tǒng)合后的三角形大單元結(jié)構(gòu)圖

讀懂教材（包括讀懂章前語、章頭圖等），是基于大概念進行大單元教學設(shè)計的前提。教師應(yīng)多角度、高站位地解讀教材中的教學內(nèi)容，統(tǒng)合各版本教材和各種資源，厘清教材中數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)和方法的脈絡(luò)，解構(gòu)并重構(gòu)教材，確定好大單元統(tǒng)攝下的教學內(nèi)容，在大單元統(tǒng)攝下調(diào)節(jié)好中單元知識的內(nèi)在秩序，形成內(nèi)在結(jié)構(gòu)，聚合成育人的力量，有效發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

基于以上認識，利用“三鏡”思維透視三角形大單元：用“放大鏡”看，三角形的研究路徑與角的研究路徑具有一致性（同構(gòu)），形成類比性大結(jié)構(gòu)（如圖2）；用“顯微鏡”看三角形的邊、角、線等各個元素及其關(guān)聯(lián)，特殊三角形的基于邊、角、線的特征，形成局部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；用“望遠鏡”看三角形的生長發(fā)展，從三角形之間的關(guān)系（全等變換、相似變換）以及從質(zhì)性到量化（解三角形）進階的角度，形成統(tǒng)領(lǐng)性結(jié)構(gòu)（如圖3）。如此三角形大單元的路徑就清晰了。

四、三角形大單元教學設(shè)計的外在結(jié)構(gòu)：m個“1+n”

大單元教學設(shè)計是指以大主題或大任務(wù)為中心，對學習內(nèi)容進行分析、整合、重組和開發(fā)，形成具有明確的主題（或?qū)ｎ}、話題、大問題）、目標、任務(wù)、情境、活動、評價等要素的結(jié)構(gòu)化的具有多種課型的統(tǒng)籌規(guī)劃和科學設(shè)計。筆者認為章起始課教學是落實大單元教學的抓手，而大單元教學又是落實學生核心素養(yǎng)的抓手，如此一來，發(fā)展學生核心素養(yǎng)就和章起始課教學密切關(guān)聯(lián)在一起，學生數(shù)學核心素養(yǎng)的落地就有了可操作、能行動的路徑。為避免“單元—課時”兩張皮的現(xiàn)象，課節(jié)的教學要通過單元大概念和課時大概念的關(guān)聯(lián)形成一體化。大單元教學設(shè)計是對大單元整體構(gòu)想的多元復(fù)合，不可能一蹴而就，它需要后繼的一個個小單元、一節(jié)節(jié)課去遞次進階完成。

基于課程統(tǒng)整的大單元，是在“大單元大概念—單元大概念—課時大概念”的執(zhí)行鏈條上，通過外在的結(jié)構(gòu)形式，即m個“1+n”來實現(xiàn)的?！癿”是指三角形大單元可分解成邏輯連貫、前后一致的m個章單元，而每一個章單元是通過“單元（呈現(xiàn)）—課時（表達）”設(shè)計來展開的；“1”即為章單元起始課，通過起始課把單元以終為始進行整體布局、先行組織、統(tǒng)籌安排；依大單元的總體目標（課標設(shè)定）確定好單元目標，在單元目標之下，根據(jù)上下位關(guān)聯(lián)等一脈貫通關(guān)系，把單元的內(nèi)容進行合理劃分形成“n”。這里的n不是簡單的課節(jié)疊加，即形如“n=1+1+1+…+1”的簡單化累計，而是每一個“1”之間是前銜后聯(lián)、一脈相承的鏈式發(fā)展，是共同服務(wù)于章單元的系列化、系統(tǒng)化的課程細胞。需要說明的是，這是一個完整的立體推進的一體化系統(tǒng)，相互依托，相輔相成，共同指向（大）單元目標，體現(xiàn)出單元的整體性、完整性、連貫性。

（一）大概念的確定

三角形大單元教學的有效實施需要確定好三角形的大概念，通過大概念去統(tǒng)領(lǐng)大單元。大單元是基于大概念、服務(wù)大概念的，圍繞學科大概念進行教學設(shè)計成為變革學科教學實踐和引領(lǐng)教學改革的核心理念之一［4］。

何為大概念？大概念是指能反映學科本質(zhì)，能夠聯(lián)結(jié)和統(tǒng)領(lǐng)零散知識點，處于更高層次、居于中心地位、藏于更深層次，能長久保留和廣泛遷移的原理、思想、方法等［5］。大概念是擺脫了知識立意桎梏走向素養(yǎng)立意的中間介質(zhì)，是實現(xiàn)知識學習與核心素養(yǎng)發(fā)展有效對接的應(yīng)然選擇。幾何學的本質(zhì)是研究空間的圖形，研究圖形的性質(zhì)以及圖形之間的關(guān)系［6］。這是幾何學的課程大觀念，也就是大概念。三角形是初中學段平面幾何的核心內(nèi)容，根據(jù)幾何學課程大概念的上位統(tǒng)攝，依據(jù)幾何的研究對象——圖形的形狀、大小和位置，對于三角形大單元，筆者從系統(tǒng)思維出發(fā)，站在課程統(tǒng)合的高度，從思想層面和素養(yǎng)層面兩個維度確立其大概念。

1.思想層面

用變換的觀點［（幾何）模型思想、圖形變換思想］看待幾何圖形，使靜態(tài)的幾何圖形靈動起來。即立足幾何直觀，利用幾何思維，在公理化思想等一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下，遵循幾何研究的“一般套路”展開研究，形成具有遷移性的幾何知識系統(tǒng)，指向幾何抽象與邏輯推理，這是一以貫之的大概念。

2.素養(yǎng)層面

三角形大單元集中體現(xiàn)了數(shù)學抽象、幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學模型等數(shù)學核心素養(yǎng)。三角形是整個初中幾何系統(tǒng)的核心地帶，因而凝聚了幾何圖形內(nèi)容蘊含的核心素養(yǎng)。因此，只有把三角形的?。ㄖ校﹩卧獏R聚起來，統(tǒng)籌安排、集體發(fā)力，聚焦以上數(shù)學核心素養(yǎng)，才便于形成學生的必備品格和關(guān)鍵能力。從素養(yǎng)層面確立大概念，使單課節(jié)走向單元化，形成單元呈現(xiàn)與課時表達的高通路，實現(xiàn)單元與課時之間的強聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)知識之間的意義聯(lián)結(jié)，才能更好地把發(fā)展學生核心素養(yǎng)落地。

（二）厘定大單元內(nèi)容及學習路徑

筆者將三角形大單元的內(nèi)容及學習路徑設(shè)計為“三角形→全等三角形→特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）→相似三角形→解三角形”。這條學習鏈基本能立體展現(xiàn)幾何圖形學習的三條路徑：一般到特殊，一個到兩個（多個），質(zhì)性到量化。

（三）大單元教學整體規(guī)劃

（1）基于以上整體定位與綜合分析，依據(jù)對應(yīng)的課標內(nèi)容和人教版教材內(nèi)容，對三角形單元的頂層設(shè)計與統(tǒng)籌規(guī)劃如表1所示。

（2）從研究一個三角形升級為研究兩個三角形（關(guān)系）。在這一單元的章起始課中，需要依據(jù)幾何圖形的研究對象（形狀、大小）把兩個或多個三角形的關(guān)系揭示出來，以呈現(xiàn)研究問題的整體性，識得兩個三角形關(guān)系的全貌（全等關(guān)系、相似關(guān)系、等積關(guān)系等），構(gòu)建起兩個圖形關(guān)系的結(jié)構(gòu)圖，然后從最特殊、最重要的圖形關(guān)系——全等三角形入手研究。通過章起始課先把這一單元的整體概貌描繪出來，接著后續(xù)的課節(jié)先整體建構(gòu)全等三角形的判定方法，然后跟進練習提升課，踐行好“有全等模型找出來，無全等模型造出來”的思維路徑，加強幾何直觀與邏輯推理的教學，并滲透平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等全等變換思想，用變換的觀點看圖形、識圖形、找聯(lián)系。

（3）有了前兩章的研究基礎(chǔ)，就可以對特殊三角形進行探索了。首先是在邊這一元素上特殊的等腰三角形單元，課時設(shè)計如下。

這一單元依附于軸對稱，通過章起始課（第1課時）規(guī)劃好研究線路，在喚醒學生小學形成的基本認識的基礎(chǔ)上，從理性的角度再次認識軸對稱（圖形）（含性質(zhì)與判定），并勾勒出這一單元的概貌，厘清學習的脈絡(luò)，接著就在章起始課的規(guī)劃下依次研究基本的軸對稱圖形。

界定好了軸對稱圖形后，接著就是研究具體的軸對稱圖形，從最簡單的軸對稱圖形（即線段）開始。既然是軸對稱圖形，那它的對稱軸在哪里？一條線段將端點重合進行對折，折痕即為對稱軸，如此一來對稱軸在折疊的操作中露出水面。這條線段具備哪些特質(zhì)？這是研究的又一重點和關(guān)鍵點。教師可以引導(dǎo)學生根據(jù)已有經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)并證明。研究完一個命題后，還需要研究它的逆命題，即通過反證研究獲得線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。此為等腰三角形單元的第2課時。

接著的第3課時要研究哪種圖形呢？學生自然想到角，然后仿照線段垂直平分線的思路進行研究，獲取角的對稱軸。

接下來的第4、第5課時就應(yīng)該到封閉圖形了，最簡單的封閉圖形即為三角形，于是提出問題：所有三角形都是軸對稱圖形嗎？若不是，哪些三角形是軸對稱圖形？由此引出等腰三角形、等邊三角形，并依次研究（各1個課時，等腰三角形相當于節(jié)起始，要教好這個節(jié)的“結(jié)構(gòu)”，而等邊三角形則是用“結(jié)構(gòu)”，即用等腰三角形研究的基本路徑，如此形成自洽）。繼續(xù)思考，再向前研究自然是四邊形（n邊形）了，在此埋下伏筆，說明在后面單獨確立單元進行研究。整個過程由簡到繁，除了獲得基本軸對稱圖形的性質(zhì)及判定外，還給學生進一步了解全等三角形的性質(zhì)與判定的機會。在這個過程中，幾何直觀、模型思想、邏輯推理等核心素養(yǎng)獲得進一步的發(fā)展。

（4）完成了在邊這一元素上特殊的等腰三角形的學習，接下來就是在角元素上特殊的直角三角形的學習。鑒于直角三角形研究工具的暫時不足，教學可分兩個單元先后展開：一是基于三邊關(guān)系的勾股定理的學習，二是脫胎于相似三角形的三角函數(shù)的學習。緊跟等腰三角形學習的是勾股定理，這一單元的核心知識就是勾股定理及其逆定理，通過對“直角三角形兩銳角互余”及“兩銳角互余的三角形是直角三角形”的研究學習，全景展現(xiàn)勾股定理及其逆定理的學習架構(gòu)，形成單元起始課的概貌。然后在章起始課基礎(chǔ)上深度探究勾股定理逆定理，進而跟進對定理、逆定理的演練，加固學生對兩個基本定理的理解并深化應(yīng)用，使這一對定理成為解決三角形問題的利器（工具）。

（5）幾經(jīng)學習，整體化學習的鏈條發(fā)展到了相似三角形，至此學生已經(jīng)學習過圖形的全等、全等三角形等相關(guān)知識，也研究了幾種圖形的全等變換。全等是圖形間的一種相互依存關(guān)系，而相似比全等更具有一般性，研究相似圖形是研究全等圖形的延續(xù)和深化。由全等進入相似，可使認識擴大到新的領(lǐng)域，所以本單元的研究內(nèi)容即為在已學習的圖形全等和全等變換知識的基礎(chǔ)上進行拓展。基于此，在類比全等三角形的基礎(chǔ)上展開對三角形相似的判定與性質(zhì)的學習，這是初中學段的難點所在，自然也是整個三角形大單元的難點，因此也是培養(yǎng)學生邏輯思維的良好契機。具體教學時，通過章起始課讓學生直觀感受相似形（一般化）的特點，體會研究相似形的必要性與價值，類比全等的知識結(jié)構(gòu)，建構(gòu)整個單元的知識結(jié)構(gòu)和研究框架，對本單元內(nèi)容形成一個全景認識。

本單元把三角形大概念推至一個新的高度，可謂之幾何圖形本質(zhì)性認識以及幾何意義上定性研究的升華。通過本單元學習，學生能體會特殊到一般、具體到抽象、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，再次經(jīng)歷研究幾何圖形的過程，進一步感知研究幾何圖形及其關(guān)系的一般思路——“定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”，體會幾何知識內(nèi)在的聯(lián)系與發(fā)展。本單元把抽象概括、幾何直觀與邏輯推理等貫通整個教學過程，力圖實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)在課堂中切實落地。

（6）最后即為銳角三角函數(shù)。銳角三角函數(shù)是對直角三角形研究的進一步完善。通過對直角三角形構(gòu)成元素關(guān)系的分類，學生不難發(fā)現(xiàn)元素間的空缺。為打通其各元素之間的關(guān)系，自然會引動空缺填補，從而實現(xiàn)直角三角形的角、邊、邊角三個維度研究的延伸與完善，為解直角三角形提供了工具，進一步深化學生對全等三角形的認識。本單元是直角三角形的終端，也是整個三角形大單元的終端，故本單元既要融通直角三角形，又要終結(jié)三角形，是一個大收口，同時也實現(xiàn)了幾何的質(zhì)性研究到量化研究的轉(zhuǎn)變，為高中學段的學習蓄勢蓄能。因此在章起始課中要通過師生互動生成漸成性板書，將前后關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)出來，如圖4［8］。

以大單元教學為綱開展教學，能夠整合單元內(nèi)容，打通單元脈絡(luò)，理順單元邏輯，相對于教材中的自然單元教學，更具結(jié)構(gòu)性、序列性和完整性，更有利于知識的內(nèi)化遷移和網(wǎng)狀建構(gòu)。如此的大單元教學，能實現(xiàn)從課節(jié)到單元、大單元的層級進階，為發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)和為數(shù)學學科德化育人提供借鑒。

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（責任編輯：潘安）