張玨暉

摘 要：錯(cuò)誤是一種非常重要的學(xué)習(xí)資源，巧妙運(yùn)用解題中的錯(cuò)誤資源，引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)誤中歸納和分析，逐漸提升自身的解題能力，已經(jīng)成為一線教師關(guān)注的重點(diǎn).本文以此切入，針對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了歸類、分析，并據(jù)此提出針對(duì)性的解題教學(xué)建議，旨在提升初中生的數(shù)學(xué)解題能力.

關(guān)鍵詞：錯(cuò)解；歸因分析；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

教育家皮亞杰在研究中認(rèn)為：“有意義的學(xué)習(xí)離不開錯(cuò)誤的促進(jìn)，若將錯(cuò)誤認(rèn)定為學(xué)習(xí)的不合理因素，那么錯(cuò)誤就是學(xué)習(xí)的限制因子.”解題作為初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生思維的責(zé)任.但是學(xué)生在解題過(guò)程中，只要在技巧上、心理上，亦或是知識(shí)上存在一丁點(diǎn)兒的錯(cuò)誤，就會(huì)出現(xiàn)偏差，導(dǎo)致其出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.這種現(xiàn)象尤為常見(jiàn)，錯(cuò)誤也是一種非常重要的學(xué)習(xí)資源，只要對(duì)其合理利用，就能讓學(xué)生在錯(cuò)誤分析中獲得提升和發(fā)展.

1 初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)錯(cuò)題歸類分析

學(xué)生在解題過(guò)程中，受到多種因素影響，不可避免地出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.為了最大限度利用這些錯(cuò)誤資源，促使學(xué)生從錯(cuò)誤中吸取教訓(xùn)、在錯(cuò)誤中獲得提升，必須要對(duì)其進(jìn)行歸類、分析.具體來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)錯(cuò)題類型主要包括以下幾種：

1.1 知識(shí)型錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)解題就是數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，學(xué)生掌握的知識(shí)越是牢固、知識(shí)越是系統(tǒng)，解題突破的可能性也就越大.一旦學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了知識(shí)漏洞，或者對(duì)某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)認(rèn)識(shí)不清，后期也沒(méi)有及時(shí)進(jìn)行填補(bǔ)，就會(huì)中斷知識(shí)的連續(xù)性、系統(tǒng)性.如此，不僅制約了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，也導(dǎo)致其在解題時(shí)頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例1 判斷x+1π是分式還是整式？

錯(cuò)解：部分學(xué)生在解答這一題目中，認(rèn)為：x+1π中含有字母π，因此屬于分式.

解析：學(xué)生之所以會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，主要原因就是對(duì)“分式概念”的認(rèn)知不夠到位.根據(jù)分式的定義，在判斷一個(gè)式子是否屬于分式，主要是看其分母，如果分母中含有字母，則該式子為分式.對(duì)此，在書中給出了明確的定義：如果A、B表示兩個(gè)整式，其中B中含有字母，那么式子AB就屬于分式.因此，根據(jù)這一定義，即可得知x+1π屬于整式.

例2 已知x=3+2，y=3-2，求：x3y-xy3的值？

錯(cuò)解：部分學(xué)生審題之后，就直接以x3y-xy3為切入點(diǎn)，先求出x3，之后再將其與y相乘，按照同樣的思路，再次求出xy3.在這種情況下，學(xué)生將面臨著復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，致使學(xué)生計(jì)算到一半就放棄.

解析：這種錯(cuò)誤也屬于知識(shí)性錯(cuò)誤，主要是學(xué)生知識(shí)體系存在漏洞，在解題時(shí)并未聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行靈活應(yīng)用和重組，致使學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤.此時(shí)，學(xué)生只要聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)，就會(huì)對(duì)x3y-xy3進(jìn)行因式分解：x3y-xy3=xy（x2-y2）=xy（x+y）（x-y）.通過(guò)因式分解之后，這一題目也就迎刃而解［1］.可見(jiàn)，學(xué)生在解題時(shí)，知識(shí)是否結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，導(dǎo)致其在解題時(shí)出現(xiàn)了明顯的差異.

1.2 思維型錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)解題過(guò)程也是思維過(guò)程.但在實(shí)際解題中，部分學(xué)生常常受到定勢(shì)思維的制約，遇到簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí)，尚可“按圖索驥”進(jìn)行解答，一旦題目稍有變化，或者稍微復(fù)雜一點(diǎn)，學(xué)生就無(wú)從下手，只會(huì)按照定勢(shì)思維進(jìn)行解答.在這種情況下，學(xué)生在解題時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.

圖1

例3 如圖1所示，已知拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸相交，交點(diǎn)為C，與x軸則相交于A、B兩點(diǎn).且點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)，B的點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB.

求：（1） 拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）的解析式.

（2） 如果點(diǎn)D位于線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值？

錯(cuò)解：針對(duì)第（1）問(wèn)解答，學(xué)生可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，即（0，-3），接著將B、C點(diǎn)坐標(biāo)帶入到解析式中，即可得出拋物線的解析式.針對(duì)這一問(wèn)題解答，幾乎所有學(xué)生均可得出；但是在對(duì)第（2）問(wèn)解答中，要想求四邊形ABCD面積的最大值，部分學(xué)生就按照傳統(tǒng)的思維將其劃分為兩個(gè)三角形，即三角形ADC、ABC.三角形ABC面積好求解，但在三角形ADC面積求解中，由于無(wú)法確定其高，導(dǎo)致解題陷入到困境中.在這種情況下，學(xué)生無(wú)法及時(shí)轉(zhuǎn)換思路，致使放棄.

解析：學(xué)生之所以會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，一是因?yàn)槎魏瘮?shù)問(wèn)題本身就非常難，針對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題學(xué)生尚可“按圖索驥”進(jìn)行解答.一旦題目有所變化，或者難度系數(shù)增加，學(xué)生就不知道如何著手，致使其在解題時(shí)不是出現(xiàn)錯(cuò)誤，就是半途而廢.其實(shí)，只要學(xué)生跳出思維的束縛，過(guò)D 點(diǎn)做DM∥y軸，

圖2

分別與線段AC、x軸相交于M、N兩點(diǎn)（如圖2所示），即可形成新的解題思路：結(jié)合已經(jīng)求出來(lái)的拋物線的解析式，可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)（-4，0），再結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定出直線AC的解析式：y=-34x-3，之后再假設(shè)D、M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出一個(gè)關(guān)于DM的解析式，并由此得出DM最大值為3，最終即可求出四邊形的最大面積.可見(jiàn)，在這一題目解答中，學(xué)生只要跳出了定勢(shì)思維的束縛，即可在解題卡殼時(shí)，站在宏觀的角度上，選擇出正確的思路和方向，進(jìn)而完成問(wèn)題的解答［2］.

1.3 審題型錯(cuò)誤

審題是解題的第一步，審題就是一個(gè)獲取信息、分析信息、處理信息的過(guò)程，主要是在閱讀題目和思考中完成.但在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生常常出現(xiàn)審題不清，題目分析不夠到位等問(wèn)題，最終導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)，頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例4 在△ABC與△DEF中，∠A=60°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，判斷這兩個(gè)三角形是否相似？

錯(cuò)解：部分學(xué)生在審題時(shí)，常常因?yàn)檫@一題目難度系數(shù)比較低，掃一眼就認(rèn)為兩個(gè)三角形的度數(shù)不同，不滿足相似三角形的條件，據(jù)此便匆匆給出答案：不相似.學(xué)生之所以會(huì)出現(xiàn)這一錯(cuò)誤，究其主要原因就是在審題中忽視了“三角形內(nèi)角和為180°”的隱含條件.

例5 為了滿足市場(chǎng)的需求，某超市在端午節(jié)來(lái)臨之前，推出了一種品牌粽子.已知每盒粽子的進(jìn)價(jià)為40元.但是根據(jù)當(dāng)?shù)匚飪r(jià)局的規(guī)定，每盒粽子的售價(jià)不能高于50元.結(jié)合以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，超市決定將其定價(jià)在45元，此時(shí)每天可以賣出700盒，如果每盒售價(jià)提高1元，銷售量就會(huì)減少20盒.

求：（1） 每天銷售量y（盒）與每盒售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式？

（2） 當(dāng)每盒定價(jià)為多少元的時(shí)候，每天的銷售利潤(rùn)P為最大？且最大利潤(rùn)是多少？

錯(cuò)解：這一題目難度系數(shù)并不高，但學(xué)生在做題時(shí)，常常因?yàn)閷忣}不清，導(dǎo)致其出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.有學(xué)生得出第（1）問(wèn)的解析是為y=700-20x，從而得到第（2）問(wèn)結(jié)果為P=（45-40+x）（700-20x）.這位學(xué)生會(huì)出現(xiàn)這種解題錯(cuò)誤就是因?yàn)閷忣}不清，誤認(rèn)為是“提高”的價(jià)錢，同時(shí)這位學(xué)生表示這一類型的題目做過(guò)很多，一看到類似，就沒(méi)有仔細(xì)審題；還有部分學(xué)生雖然對(duì)第（1）問(wèn)，將函數(shù)解析式正確解答出來(lái)，即：y=700-20（x-45）=-20x+1600；但是在回答第（2）問(wèn)時(shí)，雖然得出了解析式y(tǒng)=-20（x-60）2+8000，并結(jié)合該二次函數(shù)的圖象形式，確定出該函數(shù)存在最大值.但之后便直接得出當(dāng)x=60時(shí)，該函數(shù)擁有最大值，即超市獲得最大利潤(rùn)，為6000元.學(xué)生之所以在最后一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，主要原因也是審題不清，忽略了“根據(jù)當(dāng)?shù)匚飪r(jià)局的規(guī)定，每盒粽子的售價(jià)不能高于50元”這一條件，致使其功虧一簣.由此可見(jiàn)，在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，唯有認(rèn)真審題，理清題目中的信息和數(shù)量關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上正確解答問(wèn)題，否則就會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤［3］.

1.4 缺乏反思型錯(cuò)誤

學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)總結(jié)、歸納與反思的過(guò)程，學(xué)生在解題的過(guò)程中，常常不可避免地出現(xiàn)錯(cuò)誤，但多數(shù)學(xué)生在面對(duì)錯(cuò)題時(shí)，常常只關(guān)心答案是否正確，僅限于就題論題，并未及時(shí)進(jìn)行反思和總結(jié)，致使其在解題時(shí)頻頻出現(xiàn)同類錯(cuò)誤.

例6 將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)部

（1-x）1x-1.

錯(cuò)解：部分學(xué)生在解答這一問(wèn)題時(shí)，忽視了二次根式中需要判斷x的范圍，導(dǎo)致其在解題的時(shí)候出現(xiàn)錯(cuò)誤，即：（1-x）1x-1=1x-1·（1-x）2=x-1.針對(duì)這一錯(cuò)誤，雖然教師進(jìn)行了講解，明確了在做這一類題目時(shí)，需要對(duì)x的范圍進(jìn)行判斷，在不確定（1-x）正負(fù)的情況下，不能直接移到根號(hào)內(nèi)部.

但是由于學(xué)生并未對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行整理，忽視了錯(cuò)誤原因分析等，致使其并未真正弄懂此類題目的規(guī)律，以至于其在做a-1a題目中，又犯下了同樣的錯(cuò)誤：a-1a=-1a·a2=-a.

1.5 主觀型錯(cuò)誤

學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，其在解題時(shí)的心理、態(tài)度和習(xí)慣等，也會(huì)在很大程度上影響解題的正確率.尤其是針對(duì)數(shù)學(xué)這一學(xué)科，學(xué)生在解題時(shí)，不僅僅要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本的解題技能、良好的數(shù)學(xué)思維，還應(yīng)具備良好的心理素質(zhì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}態(tài)度以及良好的解題習(xí)慣，才能真正提升自身的解題效率.但在實(shí)踐中，多數(shù)學(xué)生都受到這一因素的制約，導(dǎo)致其頻頻失分.

例7 等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

錯(cuò)解：這一題目難度系數(shù)非常小，但學(xué)生在解答的時(shí)候，卻經(jīng)常丟掉一種情況.導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因，就是學(xué)生在面臨這一問(wèn)題時(shí)，覺(jué)得其比較簡(jiǎn)單，產(chǎn)生輕敵心理，就想當(dāng)然地將80°視為等腰三角形的頂角，據(jù)此確定出剩下的兩個(gè)角度數(shù)為（180-80）÷2=50°；完全忽視了80°是底角的可能，致使另外一種答案丟失.

例8 計(jì)算（x-6）（x-3），4-xx-5+15-x=3.

錯(cuò)解：這原本是兩道非常簡(jiǎn)單的計(jì)算題目，但部分學(xué)生在解題時(shí)，常常受到自身解題態(tài)度的制約，致使解題中出現(xiàn)了明顯的錯(cuò)誤，即：（x-6）（x-3）=x2+9x+18；在對(duì)4-xx-5+15-x=3解答中，直接在方程的兩邊都乘以（x-5），忽視了第二項(xiàng)分子中變號(hào)的現(xiàn)象，致使解題的結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.這一類型的錯(cuò)誤幾乎與是否掌握知識(shí)無(wú)關(guān)，基本上都是因?yàn)閷W(xué)生不夠認(rèn)真所導(dǎo)致［4］.

2 教學(xué)啟示與建議

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，錯(cuò)題尤為常見(jiàn)，正是因?yàn)槌霈F(xiàn)錯(cuò)誤，教師才能及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)漏洞，才能通過(guò)點(diǎn)撥、引導(dǎo)、解惑等，最終促使學(xué)生在“改錯(cuò)”“分析錯(cuò)誤”的過(guò)程中，真正完成相關(guān)知識(shí)的深度學(xué)習(xí)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

第一，增強(qiáng)知識(shí)的厚度，引領(lǐng)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)是建立在基礎(chǔ)知識(shí)之上，也是學(xué)生促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化，提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵.而要達(dá)到這一點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)之前，必須要對(duì)現(xiàn)行的教材內(nèi)容進(jìn)行全面、深刻地分析，在深度理解教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行合理地拓展和延伸.同時(shí)，在組織和開展課堂教學(xué)時(shí)，還應(yīng)立足于學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)水平、認(rèn)知思維特點(diǎn)等，科學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生以知識(shí)探究者的身份，經(jīng)歷知識(shí)的生成、發(fā)展、應(yīng)用等過(guò)程，最終促使學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，將知識(shí)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)知，最終在深度理解的基礎(chǔ)上，促進(jìn)知識(shí)的遷移、應(yīng)用.

第二，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，奠定解題基礎(chǔ).鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，基礎(chǔ)知識(shí)是根基、關(guān)鍵，唯有夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)形式和公式，才能將其靈活應(yīng)用到解題中.鑒于此，教師不僅僅要重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，力求將每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講透.同時(shí)，為了提升基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)效果，還應(yīng)關(guān)注教學(xué)手段創(chuàng)新，并借助典型的例題輔助，以便于學(xué)生在實(shí)踐中促進(jìn)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與內(nèi)化.

第三，關(guān)注閱讀，提升審題能力.當(dāng)學(xué)生在做題時(shí)，如果對(duì)題目都不理解，根本不可能做出正確的答案.學(xué)生在做題的時(shí)候，第一步就是審題.學(xué)生的審題能力，直接決定了學(xué)生自身的解題能力.鑒于當(dāng)前學(xué)生審題能力低下的現(xiàn)狀，教師不僅要強(qiáng)化學(xué)生的審題意識(shí)，還應(yīng)在日常教學(xué)中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生“該如何閱讀題目”，理解語(yǔ)言的陳述，還應(yīng)理解題目、熟悉題目，充分挖掘其背后的蘊(yùn)含的隱性條件，以便于學(xué)生更好地進(jìn)行解題.

第四，開展變式，強(qiáng)化思維.數(shù)學(xué)解題過(guò)程也是思維發(fā)展的過(guò)程，對(duì)學(xué)生的邏輯、抽象、發(fā)展思維等都提出了很高的要求.尤其是面對(duì)難度系數(shù)比較高的數(shù)學(xué)題目，學(xué)生唯有具備一定的高階思維能力，才能快速、精準(zhǔn)地解答出問(wèn)題.鑒于此，教師在日常教學(xué)中，必須要緊緊圍繞數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)和公式等開展變式訓(xùn)練，促使學(xué)生在改變條件、改變問(wèn)題等訓(xùn)練中，促進(jìn)思維的發(fā)展，并逐漸摒除思維定式的束縛.

第五，引導(dǎo)學(xué)生做好反思，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.積極反思不僅僅是養(yǎng)成良好解題習(xí)慣的關(guān)鍵，也是提升學(xué)生解題能力的重要途徑.反思就是引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行反思，明確錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，并將其歸類，從而真正實(shí)現(xiàn)“知其然知其所以然”，促使學(xué)生在反思的過(guò)程中，從錯(cuò)誤中得到教訓(xùn)；另一方面，還應(yīng)準(zhǔn)備錯(cuò)題集，做好日常錯(cuò)題的收集、分析等工作，在日常學(xué)習(xí)中及時(shí)進(jìn)行翻看，以便于學(xué)生在分析中進(jìn)行反思，在反思中進(jìn)行改進(jìn)，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力［5］.

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，錯(cuò)題是一種非常重要的學(xué)習(xí)資源，屬于有意義學(xué)習(xí)的促進(jìn)者，無(wú)論是教師還是學(xué)生都要從思想上重視錯(cuò)題.教師還應(yīng)充分發(fā)揮錯(cuò)題資源的教育價(jià)值，以錯(cuò)題為切入點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行歸類，分析其錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，并據(jù)此“對(duì)癥下藥”，調(diào)整課堂教學(xué)方案，有針對(duì)性地強(qiáng)化等，不斷提升初中生的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 黃赟.關(guān)注錯(cuò)解歸因，提升解題能力——以初中數(shù)學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（20）：40-41.

［2］ 蔡永芳.初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題集”的整理和應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（14）：26-28.

［3］ 周琴.初中數(shù)學(xué)“易錯(cuò)題”的分析及總結(jié)［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2020（12）：43-45.

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［5］ 陳學(xué)云.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中解題反思的作用與途徑［J］.校園英語(yǔ)，2017（38）：214.