傅海倫 廉海燕

【摘 要】 運(yùn)用“問題變式”教學(xué)，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神以及加強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性.旋轉(zhuǎn)相似問題是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，凡是涉及三角形旋轉(zhuǎn)相似模型的問題，學(xué)生解決起來都比較困難.為了更好的突破這一難點(diǎn)，在相似三角形的新授課中，特別突出了旋轉(zhuǎn)相似模型的建立、應(yīng)用及變式練習(xí)環(huán)節(jié)，是拓展式教學(xué)在三角形相似問題中的一次初步探索.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)拓展式；相似三角形；旋轉(zhuǎn)；變式問題

1 “問題變式”的思維拓展教學(xué)的要義

數(shù)學(xué)拓展式課堂教學(xué)旨在豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的深入理解，在深度和廣度上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識和興趣，建立科學(xué)的思維方法和探究方法，在提出和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、分析與解決問題的能力上得到提高，促進(jìn)學(xué)生均衡而有個性地發(fā)展，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng) [1] .

作為學(xué)生的一項基本數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，解題能力的提升是思維品質(zhì)提升的外在表現(xiàn).通過外在啟發(fā)和內(nèi)在思考，學(xué)生能夠獲得新的認(rèn)識，產(chǎn)生新的解決問題的策略和方法，從而提高數(shù)學(xué)解題能力，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的拓展.在這個過程中，要求教師對課堂中學(xué)生的不同思維方式給予足夠的尊重、用心發(fā)掘與引導(dǎo)，給學(xué)生自由的學(xué)習(xí)空間，鼓勵學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)、敢于創(chuàng)新，進(jìn)行差異化教學(xué)，因材施教，同時根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，實(shí)施進(jìn)階式、層遞式的思維拓展教學(xué)，其中一種就是基于“問題變式”的思維拓展教學(xué).

所謂“問題變式”，是指教師通過精選有價值的數(shù)學(xué)問題或精心設(shè)計問題情景，并有目的、有計劃的對問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化 [2] .不少一線教師堅持“題海戰(zhàn)術(shù)”，即同一類題型對應(yīng)著固定的解題方法，實(shí)施“灌輸式教學(xué)”，易導(dǎo)致學(xué)生通過練習(xí)就可以熟練掌握教師教授的內(nèi)容，學(xué)生很少主動思考和探索，從而造成思維的固化和僵化，形成思維定勢.因此我們提倡運(yùn)用“問題變式”教學(xué)，對癥下藥.

運(yùn)用“問題變式”教學(xué)，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)主動性，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，加強(qiáng)思維的深刻性.事實(shí)上，“問題變式”教學(xué)在日常教學(xué)中比較常見，“問題變式”就是將例題的條件或結(jié)論進(jìn)行增減或變換，不斷改變問題中的非本質(zhì)特征，但要將本質(zhì)性因素保留下來，使學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.通過“問題變式”教學(xué)，教師有意識引導(dǎo)學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，使學(xué)生融會貫通，培養(yǎng)求同存異的思維品質(zhì)，從千變?nèi)f化中感悟數(shù)學(xué)的魅力.

因此，在基于“問題變式”的思維拓展式數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)搭建合理的學(xué)習(xí)平臺，要開發(fā)和拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，必須要尊重學(xué)生的思維方式，肯定學(xué)生的探索精神.為具體體現(xiàn)此拓展模塊的教學(xué)活動，考慮設(shè)計三個欄目，分別為思維“加油站”，構(gòu)造基礎(chǔ)模型，為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腳手架”；思維“步步高”，讓學(xué)生體會模型的應(yīng)用，不斷加深學(xué)生對模型的認(rèn)識與理解；最后設(shè)計“凌絕頂”欄目，進(jìn)行習(xí)題變式設(shè)計，從而拓展學(xué)生的思維，逐漸加深學(xué)生思維的深度和廣度.

2 “旋轉(zhuǎn)相似模型”思維拓展類型

旋轉(zhuǎn)是中考熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).旋轉(zhuǎn)問題要準(zhǔn)確把握圖形旋轉(zhuǎn)的過程，明確圖形的旋轉(zhuǎn)軌跡，從旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)圖形等方面抓住圖形旋轉(zhuǎn)的特征，體會旋轉(zhuǎn)的本質(zhì).三角形相似作為初中幾何的核心部分，是一個重要的概念，同時也是一個計算工具，貫穿在銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)、圓等的學(xué)習(xí)中，重要性不言而喻.要理解三角形相似的本質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)定理，在此基礎(chǔ)上解決相應(yīng)問題.

三角形的旋轉(zhuǎn)相似變換，是將旋轉(zhuǎn)與三角形相似結(jié)合，具有極豐富的內(nèi)涵，通過位置變換，將分散的條件和結(jié)論集中到相關(guān)圖形中，能夠?qū)⑻厥鈫栴}一般化，化未知為已知，從而更有利于問題解決.旋轉(zhuǎn)相似不僅體現(xiàn)在角度、線段的求解，而且更重要的是解決了一些重要模型（如瓜豆模型）的基礎(chǔ)支撐，經(jīng)常涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論、構(gòu)造和化歸轉(zhuǎn)化等思想方法，并且蘊(yùn)含著軌跡的重要思想.

事實(shí)上，幾何學(xué)旨在研究幾何圖形運(yùn)動過程中那些保持不變的性質(zhì)，體現(xiàn)了變與不變既對立又統(tǒng)一的辯證思想.旋轉(zhuǎn)能夠保持原有圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)邊、對應(yīng)角保持“不變”，而改“變”圖形的相對位置，因此在應(yīng)用旋轉(zhuǎn)相似模型的過程中要重點(diǎn)關(guān)注“變化”中的“不變”，化動為靜，化繁為簡，充分利用此模型的結(jié)論來簡化解題過程.中考常依據(jù)旋轉(zhuǎn)相似模型為基礎(chǔ)設(shè)置綜合性問題，學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)相似模型，有利于形成解題思路、節(jié)約大量時間、提高解題效率，進(jìn)而加深對軌跡、類比探究等數(shù)學(xué)思想方法的理解，從而感受旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動美和相似的朦朧美.

此類問題的特點(diǎn)有：第一，類比探究，注重考查學(xué)生大膽猜想、自主探索、舉一反三的能力，多數(shù)題目問題設(shè)置為由特殊情形到一般、復(fù)雜情形逐步深入，思想方法一脈相承.第二，便于與其它知識相聯(lián)系，解題方式靈活多變，注重考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在這一理念的引導(dǎo)下，近幾年的數(shù)學(xué)中考加大了這方面的考察力度.

模型教學(xué)在初中數(shù)學(xué)的幾何教學(xué)板塊中占據(jù)主要位置，徐海霞指出幾何模型教學(xué)有三個重點(diǎn)：模型本質(zhì)、模型性質(zhì)特征和構(gòu)建方法 [3] .因此在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)，基于真實(shí)情景對模型開展研究，引導(dǎo)學(xué)生掌握從復(fù)合圖形提取基本模型的方法，總結(jié)結(jié)論，進(jìn)而應(yīng)用模型解決實(shí)際問題，從而促進(jìn)學(xué)生解題經(jīng)驗的積累.旋轉(zhuǎn)相似模型要求從旋轉(zhuǎn)的視角把握相似三角形，是相似三角形和旋轉(zhuǎn)問題的延申和拓展，有利于培養(yǎng)學(xué)生的模型意識和創(chuàng)新精神、幾何直觀素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)建模能力和實(shí)踐能力.

首先，基于問題變式的思維拓展數(shù)學(xué)教學(xué)，通過思維“加油站”建立模型，使學(xué)生知其然知其所以然.其次，將旋轉(zhuǎn)相似模型進(jìn)行學(xué)以致用，加深學(xué)生對模型的理解與認(rèn)識.然后，設(shè)計習(xí)題變式，小試牛刀，鼓勵學(xué)生主動思考，從而提高解題效率，擴(kuò)展解題思維，養(yǎng)成良好的思維方式.最后，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)相似模型的拓展，選取真題，使學(xué)生積累做題經(jīng)驗，拓展思維.

3 基于“問題變式”的“旋轉(zhuǎn)相似模型”思維拓展教學(xué)設(shè)計

鑒于對相似三角形的教材分析和中考考查要點(diǎn)分析，本節(jié)課在拓展式教學(xué)設(shè)計過程中特別重視了旋轉(zhuǎn)相似模型的滲透.引導(dǎo)學(xué)生理解模型的實(shí)質(zhì)，掌握基礎(chǔ)知識.

3.1 思維“加油站”——模型建立

如圖1，已知△ABC∽△ADE，則ABAC=ADAE，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，則△BAD∽△CAE.

旋轉(zhuǎn)相似模型的一般過程為：首先將三角形放大或縮小得到相似，如圖1，△ABC∽△ADE，然后△ABC繞旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)A、旋轉(zhuǎn)角度為∠BAD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過這種同時旋轉(zhuǎn)、縮?。ㄏ嗨疲┑淖儞Q后，再連接BD和CE（圖中虛線），就得到了第二組相似三角形△BAD∽△CAE，使原本并無關(guān)聯(lián)的BD和CE建立了對應(yīng)邊成比例的關(guān)系.

旋轉(zhuǎn)相似模型的實(shí)質(zhì)是通過對應(yīng)邊成比例及夾角相等判定三角形相似，圍繞公共頂點(diǎn)，由已知尋求衍生相似三角形.在解決實(shí)際問題時，必須明確“相似必成雙”，找到新的相似三角形，根據(jù)兩對相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題.旋轉(zhuǎn)相似模型結(jié)構(gòu)簡單，提供了一個較為簡便的解決問題的方法，然而作為壓軸的綜合性主觀題，此模型經(jīng)常蘊(yùn)含在復(fù)雜的圖形情境中，依賴學(xué)生敏銳的觀察力，認(rèn)真剖析題目條件，作出輔助線構(gòu)造相似三角形，快速提取旋轉(zhuǎn)相似模型.

接下來，為了進(jìn)一步深化學(xué)生對旋轉(zhuǎn)相似模型的理解與認(rèn)識，筆者又設(shè)計了“步步高——模型應(yīng)用”環(huán)節(jié)，用下面兩個題目體現(xiàn)模型的應(yīng)用，并為下一欄目做好鋪墊.

3.2 思維“步步高”——模型應(yīng)用

例1 如圖2，在Rt△OAB和Rt△OCD中，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC，與BD的延長線交于點(diǎn)M，求∠AMB的度數(shù).

分析 本題為旋轉(zhuǎn)相似模型的典型應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于基于兩相似直角三角形，通過對應(yīng)邊成比例且夾角相等證明△BOD∽△AOC，進(jìn)而得到對應(yīng)角相等.

解答 因為∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，所以O(shè)BOA=ODOC=33，又∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠DOB=∠COA，所以△BOD∽△AOC，所以∠OBD=∠CAO，則∠OBA=∠OBD+∠DBA=∠CAO+∠DBA=60°，又∠OAB=30°，所以∠AMB=90°.

點(diǎn)評 本題考察相似三角形的判定及其性質(zhì)，注意到本題中最根本的兩個三角形為直角三角形，其它三角形由此衍生而來，從而使分析、提取旋轉(zhuǎn)相似模型大大降低了難度，有利于學(xué)生體會旋轉(zhuǎn)相似模型的內(nèi)涵及解題方法.

例2 如圖3，已知等邊△ABC、△ADE，連接CE、BD，若∠DEC=60°，證明B，D，E三點(diǎn)共線.

分析 本題考察了旋轉(zhuǎn)全等三角形，利用△ABD≌△ACE可得出∠ADB=∠AEC=120°，所以∠BDE=∠ADB+∠ADE=180°，即三點(diǎn)共線.

解答 因為∠BAC=∠DAE=60°，∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠ADB=∠AEC=∠AED+∠DEC=120°，進(jìn)而∠BDE=∠ADB+∠ADE=180°，所以點(diǎn)B，D，E在同一直 線上.

點(diǎn)評 本題目沒有涉及三角形相似，而利用了三角形全等，但同樣包含三角形旋轉(zhuǎn)的過程，本題旨在讓學(xué)生體會旋轉(zhuǎn)相似和旋轉(zhuǎn)全等的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，在探索過程中發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，同時為下一個欄目做好鋪墊.接下來我們將習(xí)題進(jìn)行變式，將模型進(jìn)行擴(kuò)展.

3.3 思維“凌絕頂”——習(xí)題變式設(shè)計

變式1 如圖4，在等邊△ABC中，D為內(nèi)部一點(diǎn)，連接AD，線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接BD，DE，CE，延長ED交直線BC于點(diǎn)F.

①如圖5，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系；

②如圖6，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)且ED=EC時，求∠BAD的度數(shù).

分析 ①由兩邊及夾角相等證明△ABD≌△ACE，所以BD=CE.又因為△ADE是等邊三角形，AE=DE，即可得到BE=AE+CE.

②經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們可以大膽猜想AD=BD，∠ADB為直角，進(jìn)而有△BAD為等腰直角三角形，就能得到∠BAD的度數(shù).下一步我們要證明以上兩個猜想，利用全等三角形和等邊三角形的性質(zhì)就可以得到AD=BD，但是如何證明∠ADB為直角呢？突破點(diǎn)就是構(gòu)造相似三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)相似模型的規(guī)律，將△BAD繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，此時AD的對應(yīng)邊垂直于EF，那么輔助線就可以作AG⊥DE于點(diǎn)G，連接AF，從而構(gòu)造出相似三角形.將以上整個過程倒推，就是本問的解題思路：過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，連接AF，有BD=CE=DE=AD，又△BAD∽△FAG，所以∠BDA=∠FGA=90°，所以△BAD為等腰直角三角形，即得∠BAD=45°.

解答 ①因為∠BAC=∠DAE，∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，又AD=AE，AB=AC，所以△ABD≌△ACE（SAS），則BD=CE.又因為AE=DE，所以BE=BD+DE=CE+AE.

②如圖7，過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，連接AF，因為AD=ED，由①可知△ABD≌△ACE，BD=EC，又已知條件ED=EC，所以AD=BD.又因為∠DAG=∠BAF=30°，所以AGAD=AFAB=32，又∠DAG+∠DAF=∠BAF+∠DAF，即∠FAG=∠BAD，因此△BAD∽△FAG，所以∠BDA=∠FGA=90°，就有△BAD為等腰直角三角形，即可得到∠BAD=45°.

點(diǎn)評 本題考查旋轉(zhuǎn)相似模型，與基本模型的區(qū)別是先旋轉(zhuǎn)再相似.第①問是例2的變式拓展，圖形相同，將結(jié)論和條件進(jìn)行互換，但是利用全等三角形的性質(zhì)來解題的本質(zhì)不變.此題難點(diǎn)在于第②問，學(xué)生無法直接提取出旋轉(zhuǎn)相似模型，甚至無從下手，關(guān)鍵在于不斷嘗試合理添加輔助線構(gòu)造相似三角形.

變式2 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上且BD=13BC，將線段DB繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)至DE，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BE、CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF，連接AF.（0°＜α＜180°）

①如圖8，求線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系；

②如圖9，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時，連接AE，試判斷四邊形AECF的形狀并說明理由.

分析 ①本小問考查了旋轉(zhuǎn)相似模型，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，可證明△AFC∽△BEC，對應(yīng)邊成比例，就有BE=2AF.②首先通過觀察不難猜想四邊形AECF是平行四邊形，因為第①問給出了線段的關(guān)系BE=2AF，然后以EF為中介，在Rt△BFC中找出BE和EF的關(guān)系，又已知CE和EF的關(guān)系，就能得到對邊相等CE=AF（此處難點(diǎn)在于如何尋求BE和EF的關(guān)系，結(jié)合題目條件BD=DE和△BFC為直角三角形，嘗試取BC的中點(diǎn)，記作M，連接MF，就有∠BFM=∠FBD=∠BED，所以ED∥FM，相應(yīng)邊成比例便得BE=2EF.）.第二步證明對邊平行，根據(jù)△AFC∽△BEC，∠AFC=∠BEC=135°，則∠AFE=∠FEC=45°，所以AF∥CE，因此四邊形AECF是平行四邊形.將以上輔助線進(jìn)行總結(jié)：過點(diǎn)A作AM⊥BC，連接MF，然后將整個推導(dǎo)過程倒推即為解題思路.

解答 ①因為△ABC和△EFC均為等腰直角三角形，所以BCAC=ECFC=2，∠ACB=∠FCE=45°，所以∠ACB-∠ACE=∠FCE-∠ACE，即∠FCA=∠ECB，所以△AFC∽△BEC，則BEAF=BCAC=2，BE=2AF.

②四邊形AECF是平行四邊形.理由如下，如圖10，過點(diǎn)A作AM⊥BC，連接MF，因為∠BAC=90°，AB=AC，所以BM=MC=12BC，又因為DB=DE，則∠DBE=∠BED，因為∠EFC=90°，F(xiàn)M為中線，所以BM=FM，則∠BFM=∠FBD=∠BED，所以ED∥FM，BEEF=BDDM，又因為BD=13BC，DM=BM-BD=12BC-13BC=16BC，所以BE=2EF，又由①可知，BE=2AF，所以AF=2EF，又因為在等腰直角△CEF中，CE=2EF，所以AF=CE.因為△AFC∽△BEC，所以∠AFC=∠BEC=135°，則∠AFE=∠AFC-∠EFC=45°=∠FEC，所以AF∥CE，綜上可知，四邊形AECF是平行四邊形.

點(diǎn)評 在思維“步步高”欄目中，例1依托于直角三角形，例2和變式1依托于等邊三角形，如果旋轉(zhuǎn)相似模型從特殊的三角形拓展到一般的三角形，學(xué)生能否準(zhǔn)確剖析圖形結(jié)構(gòu)、快速提取旋轉(zhuǎn)相似模型，為此題的考察目的.本題主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，從整體到局部，在復(fù)合圖形中合理添加輔助線構(gòu)造出旋轉(zhuǎn)相似模型是解決問題的關(guān)鍵.

以上兩個變式題分別改編自2022年和2021年的濟(jì)南市中考真題，此類型題目固定分值為12分，占比較大，難易程度屬于中等偏上，將兩個旋轉(zhuǎn)相似題目進(jìn)行比較，從題目設(shè)置的數(shù)量和結(jié)構(gòu)上來分析，一般第（1）問通過三角形全等或相似判斷直接給出線段的數(shù)量關(guān)系，第（2）問又細(xì)分為兩道題目，圖形或線段進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到某一特殊狀態(tài)時，判斷上一題的結(jié)論是否仍然成立，并給出證明；求解較為隱蔽的角度、邊長、圖形形狀等，過程比較復(fù)雜，一般涉及輔助線、全等、相似、平行線、等邊和等腰三角形的性質(zhì)等，綜合考查學(xué)生縝密的邏輯思維能力，注重考察學(xué)生的綜合能力.整個題目從易到難，從基礎(chǔ)性到綜合性，考查學(xué)生類比探究的能力，學(xué)生要聯(lián)系已有經(jīng)驗，從未知到已知，結(jié)合題目情境，從特殊情形到一般情形，通過理解、照搬前面的框架尋求解決問題的方法，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C后完成解題步驟.這就要求教師在此部分的教學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)模型實(shí)質(zhì)，加深理解與認(rèn)識，拓展學(xué)生的思維.

總而言之，以上的教學(xué)設(shè)計，是數(shù)學(xué)拓展式教學(xué)在旋轉(zhuǎn)相似模型中的嘗試探索過程.教師通過一系列的例題和變式練習(xí)題的設(shè)計，幫助學(xué)生探索旋轉(zhuǎn)相似解題的基本方法：在思維“加油站”欄目先建立模型，然后思維“步步高”應(yīng)用模型、思維“凌絕頂”設(shè)計變式，層層遞進(jìn)，梯度性好，有效的降低了學(xué)生思維的跨度，同時給予學(xué)生切實(shí)可行的方法性指導(dǎo)，對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生解決思維難點(diǎn)有較好的示范效果.參考文獻(xiàn)

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作者簡介

傅海倫（1970—），男，山東曹縣人，教授，博士生導(dǎo)師；主要研究數(shù)學(xué)教育.

廉海燕（2000—），女，山東濟(jì)寧人，碩士研究生;主要研究數(shù)學(xué)教育.

基金項目 2021年度山東省社會科學(xué)普及應(yīng)用研究項目“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化傳播與拓展讀本”（2021-SKZZ-24）；2022年山東省優(yōu)質(zhì)專業(yè)學(xué)位教學(xué)案例庫“教育碩士專業(yè)學(xué)位研究生《數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實(shí)施》案例庫建設(shè)”（SDYAL2022067）；山東師范大學(xué)優(yōu)秀研究生課程建設(shè)項目“《數(shù)學(xué)課程與教材研究》‘本碩一體化卓越數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)模式創(chuàng)新研究與實(shí)踐”（2021BJ053）.