［摘? 要］ 如何在日常立體幾何教學(xué)中，讓學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)活動積累“直觀想象”的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來觀察世界的習(xí)慣，這是值得深入研究的問題. 文章結(jié)合“直線與平面垂直”的三次備課經(jīng)歷，淺談立體幾何教學(xué)中如何滲透核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；直觀想象；立體幾何；備課；教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).”［1］6從直觀想象的定義來看，它主要包括兩個方面：幾何直觀和空間想象. 幾何直觀是數(shù)學(xué)抽象的前提，是從感性認(rèn)知到理性認(rèn)知的前提要求，空間想象能力是達(dá)成數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的基本能力.在立體幾何教學(xué)中，一些教師也關(guān)注直觀想象，但沒有真正理解“直觀不是‘教出來的，而是‘悟出來的”，因此往往采取灌輸式、填鴨式教學(xué)方式直接給出立體幾何中的概念、定理. 那么，如何在日常立體幾何教學(xué)中，讓學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)活動積累“直觀想象”的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來觀察世界的習(xí)慣，這是值得深入研究的問題［2］.本文結(jié)合“直線與平面垂直”的三次備課經(jīng)歷，淺談立體幾何教學(xué)中如何滲透核心素養(yǎng).

厘清知識脈絡(luò)，提高關(guān)鍵能力

直線與平面垂直是學(xué)生學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定與性質(zhì)后，即將學(xué)習(xí)的又一線面特殊位置關(guān)系，也是運(yùn)用幾何直觀、空間想象研究空間圖形位置關(guān)系的又一次實(shí)踐. 通過直線與平面垂直的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的問題探究、推理論證和空間想象能力，為研究面面垂直、線面角、面面角打下基礎(chǔ)，在整個立體幾何的教學(xué)中具有承上啟下的作用. 因此，直線與平面垂直的定義、判定定理及應(yīng)用等的學(xué)習(xí)非常重要，這既是進(jìn)一步研究空間幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，又是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)、落實(shí)學(xué)生關(guān)鍵能力的基石.

在第一次教學(xué)設(shè)計(jì)時，筆者梳理了直線與平面垂直的知識結(jié)構(gòu)（如圖1所示）.

在教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)中，為了幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系，本節(jié)課主要解決如下問題.

問題1 什么叫直線與平面垂直？（定義）

問題2 如何判定直線與平面垂直？（判定定理）

問題3 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行嗎？（性質(zhì)定理）

問題4 如果兩條平行線中的一條直線與一個平面垂直，那么另外一條直線也與此平面垂直嗎？（應(yīng)用）

上述問題的解決，使學(xué)生獲得直線與平面垂直的基礎(chǔ)知識，包括線面垂直的定義，線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，并掌握利用定理解決問題的基本技能，形成完整的知識體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊. 當(dāng)然，掌握知識并不是課堂教學(xué)的最終目標(biāo)，而是在知識建構(gòu)的過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育功能的最大化. 當(dāng)前，“導(dǎo)學(xué)案”教學(xué)模式在一些學(xué)校盛行，但其目標(biāo)停留在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績上，學(xué)生只知道“是什么”，而不知道“為什么”，這樣的教學(xué)模式限制了學(xué)生素養(yǎng)的自我調(diào)節(jié)和提升，不符合新課標(biāo)理念，這值得注意.

關(guān)注思維過程，凸顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).”［1］6直觀想象利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物. 在直線與平面垂直的教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的定理（判定定理和性質(zhì)定理）的產(chǎn)生過程，主要表現(xiàn)在：通過對生活實(shí)例、圖片的觀察，學(xué)生自主提煉直線與平面垂直的定義；通過直觀感知，學(xué)生大膽猜想直線與平面垂直的判定定理，并在此基礎(chǔ)上探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理；嘗試運(yùn)用定理證明一些關(guān)于空間位置關(guān)系的簡單命題.

在第二次教學(xué)設(shè)計(jì)時，筆者梳理了直線與平面垂直的定義、定理的產(chǎn)生過程以及學(xué)生的思維過程（見圖2）.

在教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)中，為了幫助學(xué)生梳理直線與平面垂直的定義、定理，厘清數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理建立的思維方法，本節(jié)課主要解決如下問題.

問題1 在日常生活中，學(xué)校操場上的旗桿與地面，江陰大橋的橋柱與水面，以及數(shù)學(xué)圖形中圓錐的軸與底面給了我們怎樣的直觀印象？

問題2 播放動畫，觀察圓錐的軸與底面的哪些直線是垂直的. 請你給直線與平面垂直下個定義. （線面垂直的定義）

問題3 如何判斷學(xué)校操場上的旗桿與地面是否垂直？（線面垂直的判定定理）

問題4 江陰大橋的橋柱1與橋柱2平行，橋柱1與水面垂直，那么橋柱2與水面是什么關(guān)系？（線面垂直的性質(zhì)定理）

問題5 本節(jié)課你學(xué)到了哪些直線與平面垂直的知識？

上述問題的解決，讓學(xué)生從生活實(shí)例中直觀感知直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理等產(chǎn)生的合理性，讓學(xué)生在問題情境中提出問題、分析問題、解決問題. 學(xué)生從直線與平面垂直的直觀感知中，獲得線面垂直的定義；利用定義判斷直線與平面是否垂直時，發(fā)現(xiàn)定義法缺乏實(shí)際可操作性，由此探究直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理. 在揭示直線與平面垂直的定義、定理的過程中，學(xué)生體會并獲得了建立數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理的思維方法. 只有讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，學(xué)生才能獲得研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 學(xué)生不僅知道“是什么”，更能體會“為什么”“怎么做”.

踐行立德樹人，落實(shí)核心素養(yǎng)

黨的十九大報告進(jìn)一步指出，要“落實(shí)立德樹人根本任務(wù)”，為了實(shí)現(xiàn)直線和平面垂直的教育功能，使其成為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的典型案例，讓學(xué)生在直線與平面垂直的學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)用數(shù)學(xué)理論解釋生活中的一些現(xiàn)象，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展學(xué)生把握空間與圖形的能力以及論證推理的能力.

在第三次教學(xué)設(shè)計(jì)時，筆者重新思考，堅(jiān)持立德樹人根本任務(wù)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對本節(jié)課的素養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行了細(xì)化、優(yōu)化（見圖3）.

在教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)中，為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之美，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本節(jié)課的第三次教學(xué)設(shè)計(jì)如下.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，感知概念.

情境1 （生活中的“直線與平面垂直”的現(xiàn)象）觀察圖片：天安門廣場上的旗桿，旗桿與地面給了我們怎樣的直觀印象？

情境2 （數(shù)學(xué)幾何體中“直線與平面垂直”的現(xiàn)象）觀察旋轉(zhuǎn)體中圓錐（圓柱、圓臺）的軸與底面，給我們留下了什么直觀感覺？

情境3 介紹我國古代普遍使用的計(jì)時儀器——日晷（見圖4），觀察羅盤針與底座是什么位置關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 通過創(chuàng)設(shè)問題情境，將數(shù)學(xué)知識與生活聯(lián)系起來，讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直，形成直線與平面垂直的感性認(rèn)識. 通過介紹數(shù)學(xué)史揭示直線與平面垂直背后的文化元素，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值所在，激發(fā)學(xué)生主動探究熱情，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（2）觀察歸納，形成概念.

問題1 結(jié)合這三個實(shí)例，你能給“直線與平面垂直”下個定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例、數(shù)學(xué)模型中概括事物的典型特征，從具體到抽象，建立感性認(rèn)識與抽象思維的聯(lián)系，并嘗試給出直線與平面垂直的定義. 在建立線面垂直定義的過程中，讓學(xué)生收獲成功的喜悅，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，而且提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（3）深化認(rèn)識，辨析概念.

問題2 線面垂直定義中的“任意一條直線”能否換成“無數(shù)條直線”呢？請舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖 通過問題2的討論辨析、反例列舉，讓學(xué)生加深對線面垂直定義的理解，學(xué)會“數(shù)學(xué)思考”，也為下一環(huán)節(jié)“探究直線與平面垂直的判定定理”做好鋪墊.

（4）實(shí)驗(yàn)探究，形成定理.

問題3 如何判定直線與平面垂直呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過問題3的辨析，學(xué)生切身感受到直接利用直線與平面垂直的定義判斷線面垂直缺乏實(shí)際可操作性，此時引導(dǎo)學(xué)生類比直線與平面平行的判定定理，通過不斷猜想和分析，得到直線與平面垂直的判定定理.

在此過程中筆者設(shè)計(jì)了如下兩個問題.

①如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，能保證l⊥α嗎？

②如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，能保證l⊥α嗎？

在解決上述兩個問題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從實(shí)驗(yàn)中直觀認(rèn)知. 例如折紙實(shí)驗(yàn)，先折疊一張三角形紙片，再將紙片略打開放置于桌面上（折痕與桌面相交），然后思考：折痕與桌面所在的平面一定垂直嗎？如何折疊才能使折痕與桌面所在的平面垂直呢？通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)從感性到理性的飛躍，抽象出數(shù)學(xué)定理，有利于學(xué)生思維品質(zhì)的訓(xùn)練.

問題4如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行嗎？

設(shè)計(jì)意圖 在探究性質(zhì)定理這個環(huán)節(jié)中，采取小組合作，讓學(xué)生先從身邊的實(shí)例，即從“形”的角度尋求問題的答案，再抽象概括出直線與平面垂直的性質(zhì)定理，然后通過嚴(yán)格的推理論證其正確性. 在探究活動中，學(xué)生能進(jìn)一步認(rèn)識線面位置關(guān)系的研究方法，發(fā)展邏輯推理能力.

（5）運(yùn)用定理，解決問題.

問題5 如圖5所示，已知正方體ABCD-ABCD.

（1）求證：直線AB⊥平面BCCB；

（2）直線AC與平面BDDB是否垂直？

（3）AB與平面ABCD垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過直線與平面垂直定理的簡單應(yīng)用，讓學(xué)生體會判定線面垂直的一般方法；在問題的探究過程中暴露學(xué)生的思維軌跡，讓學(xué)生領(lǐng)悟隱含于問題之間的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而積累解決數(shù)學(xué)問題的方法，促進(jìn)理性思維的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（6）回顧反思，提高素養(yǎng).

問題6 我們是如何研究直線與平面垂直的？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生回歸直線與平面垂直的研究過程：創(chuàng)設(shè)情境、觀察歸納、深化認(rèn)識、實(shí)驗(yàn)探究、運(yùn)用定理、回顧反思.

即引導(dǎo)學(xué)生回顧研究的每個環(huán)節(jié)：如何從生活情境、數(shù)學(xué)模型中抽象出數(shù)學(xué)問題？在立體幾何學(xué)習(xí)中，建立數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理的一般過程與方法是怎樣的？怎樣運(yùn)用定義、定理解決問題？進(jìn)而讓學(xué)生感悟：研究直線與平面垂直的過程和方法，也是研究面面平行、面面垂直的一般過程和方法. 這為今后利用空間向量研究立體幾何問題奠定了基礎(chǔ).

本節(jié)課基于提高學(xué)生的核心素養(yǎng)組織教學(xué)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的目標(biāo).第一是重視數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，將數(shù)學(xué)知識和生活聯(lián)系起來，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)推理，獲得數(shù)學(xué)最本質(zhì)的活動經(jīng)驗(yàn)，以及實(shí)踐意識. 第二是注重?cái)?shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng). 立體幾何教學(xué)與其他知識模塊不同，學(xué)生往往借助幾何直觀產(chǎn)生對事物的直觀感知，但其正確性需要通過數(shù)學(xué)知識推理論證. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，立體幾何的教學(xué)承載著培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的重任，唯有立足課堂，潛心研究，才能真正做到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 周艷祖. 高中生直觀想象素養(yǎng)的現(xiàn)狀調(diào)查及教學(xué)建議［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（19）：32-34.

基金項(xiàng)目：無錫市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于泛在學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)‘閱讀與思考欄目教學(xué)研究”（A/E-b/2021/01）.

作者簡介：萬贏銀（1979—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作，曾獲江陰市教科研能手、江陰市教學(xué)能手等稱號.