關(guān)于一道圓錐曲線問題的解析探究與思考

［摘? 要］ 對圓錐曲線綜合題開展探究分析，總結(jié)解題策略，有助于提升學(xué)生的解題能力. 探究時要注重三大環(huán)節(jié)：過程分析、方法總結(jié)、多解探究. 文章結(jié)合實(shí)例開展圓錐曲線問題的解析探究，總結(jié)分步突破的方法思路，并論述解后思考.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；證明；分步突破；數(shù)形結(jié)合

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，其問題常作為壓軸題出現(xiàn)在試卷上，現(xiàn)筆者結(jié)合一道典型的圓錐曲線問題開展解析探究以及方法總結(jié).

3. 解后評析

上述求解過程采用了數(shù)形結(jié)合、分步構(gòu)建等方法，主要體現(xiàn)在第（2）問的三角形面積關(guān)系的證明中，屬于數(shù)量關(guān)系證明問題. 對于該類問題，可以立足問題條件繪制圖象，基于問題特點(diǎn)構(gòu)建三角形面積模型，通過聯(lián)立整合來推導(dǎo)關(guān)系. 具體求解時可以按照如下步驟去剖析.

步驟1：解析問題條件，整合圓錐曲線、幾何要素之間的關(guān)系，基于位置關(guān)系繪制圖象.

步驟2：設(shè)定坐標(biāo)，聯(lián)立圓錐曲線、直線方程，利用韋達(dá)定理推導(dǎo)坐標(biāo)參數(shù)之間的關(guān)系.

步驟3：結(jié)合目標(biāo)問題構(gòu)建模型，將所求問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)問題，如面積關(guān)系、線段關(guān)系等問題.

步驟4：構(gòu)建參數(shù)條件與問題數(shù)式之間的關(guān)系，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)等完成求解過程.

解法拓展，另解探究

上述第（2）問為核心之問，主要考查學(xué)生的綜合能力. 實(shí)際上該問可采用不同思路來突破，除了上述直接構(gòu)建面積模型、探索關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)外，還可以通過分析關(guān)鍵點(diǎn)的位置關(guān)系、三角形的幾何特性來求解. 下面進(jìn)一步探究.

評析 上述證明從三角形的幾何特性入手，先確定△MFD為直角三角形且點(diǎn)N為斜邊MD上的中點(diǎn)，然后基于線段關(guān)系來構(gòu)建三角形的面積關(guān)系. 圓錐曲線問題中常見幾何三角形，求解時要注意對三角形特性的分析，包括直角、等邊，以及中點(diǎn)、垂足等.

解后思考，教學(xué)探討

圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問題，往往題設(shè)條件眾多，類型多樣，但解題時可以按照上述三大步驟構(gòu)建思路. 在此筆者再提出幾點(diǎn)建議.

1. 歸納總結(jié)問題，形成解題策略

上文以一道圓錐曲線綜合題為例開展分步探究，并針對該類問題構(gòu)建了相應(yīng)的解題策略，稱其為“三步突破法”. “三步突破法”可實(shí)現(xiàn)對問題條件的解讀建模、整合處理，以及問題的分析運(yùn)算，是對解題三個步驟的串聯(lián)構(gòu)建. 在探究教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感知分步突破解題的優(yōu)勢，幫助學(xué)生整合思路，深刻理解解題策略. 同時，教學(xué)中教師要注意兩點(diǎn)：一是注意拆解問題條件，引導(dǎo)學(xué)生思考條件與問題之間的關(guān)系；二是解題“分步”時，不僅是解題步驟的分步，還是解題思維的分步，要引導(dǎo)學(xué)生理解“分步”的內(nèi)涵.

2. 拓展解題思路，探索一題多解

探索一題多解是圓錐曲線綜合題的重要教學(xué)環(huán)節(jié)，有助于拓展學(xué)生的解題思維，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn). 多解探究可分三步進(jìn)行：一是關(guān)注問題特點(diǎn)，總結(jié)問題類型；二是總結(jié)常規(guī)方法，透視切入視角；三是基于關(guān)鍵點(diǎn)和視角拓展解法. 如上文證明三角形的面積關(guān)系時，總結(jié)了常規(guī)的破解方法——建立面積模型，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)數(shù)式，基于聯(lián)合條件來推導(dǎo)數(shù)式關(guān)系. 而后續(xù)拓展探究則從幾何視角入手，通過分析關(guān)鍵點(diǎn)的位置關(guān)系、三角形的幾何特性來推導(dǎo)三角形的面積關(guān)系.

3. 探究數(shù)形結(jié)合，深化模型構(gòu)建

上文的問題探究，整體上采用了數(shù)形結(jié)合思想方法，即先挖掘問題條件，解讀分析后繪制圖象，充分利用直觀圖象推導(dǎo)關(guān)鍵條件并開展運(yùn)算. 實(shí)際上核心過程有兩個：一是圖象構(gòu)建，即以“數(shù)”構(gòu)“形”，挖掘問題條件，整合歸納，包括問題中的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、特殊性質(zhì)等；二是由“形”析“數(shù)”，即根據(jù)直觀圖象來分析幾何特性（包括三角形的幾何特性、圓錐曲線的幾何特性），推導(dǎo)隱性條件. 在教學(xué)中，教師可根據(jù)上述數(shù)形結(jié)合的兩個核心過程來指導(dǎo)學(xué)生掌握直觀圖象、數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建思路及技巧.

作者簡介：朱新保（1983—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.