巧用數(shù)學(xué)思維 解答物理難題

摘 要：數(shù)理不分家，數(shù)學(xué)和物理是緊密相連的.在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生遇到物理難題，若能用好數(shù)學(xué)思維，常常會(huì)提高解題效率.教師講授物理難題時(shí)，若能巧妙用數(shù)學(xué)思維來理清思路，也將大大提升學(xué)生解題水平.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；初中物理；難題；解答

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）20-0074-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：吳宗德（1974.9-），男，福建省連城人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中物理教學(xué)研究.[FQ）]

在初中物理解題中經(jīng)常應(yīng)用的數(shù)學(xué)思維主要有：轉(zhuǎn)化思維、逆向思維、方程思維、極限思維、數(shù)形結(jié)合思維［1］.在物理教學(xué)實(shí)踐中，教師若能運(yùn)用好上述常用數(shù)學(xué)思維，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度，做好應(yīng)用示范，將提高學(xué)生的解題能力，增強(qiáng)學(xué)生解題自信.

1 轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用

解答初中物理難題時(shí)若采用常規(guī)做法難度較大，過程較為繁瑣，可考慮轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用，將看似復(fù)雜的過程進(jìn)行合理等效，化繁為簡，以達(dá)到高效解題的目的.轉(zhuǎn)化思維對學(xué)生的思維能力要求較高，教學(xué)實(shí)踐中為使學(xué)生能夠跟上教學(xué)步伐，教師應(yīng)預(yù)留空白時(shí)間，要求學(xué)生認(rèn)真揣摩與反思，把握轉(zhuǎn)化本質(zhì)，使其真正理解與掌握，體會(huì)轉(zhuǎn)化思維在解答物理難題

中的應(yīng)用，增強(qiáng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維解題的意識(shí).

“浮力”是初中物理的難點(diǎn)，對部分“浮力”問題而言采用常規(guī)方法作答，雖然能計(jì)算出最終答案，但是效率較低［2］.教學(xué)實(shí)踐中，教師可啟發(fā)學(xué)生依據(jù)阿基米德原理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，借助數(shù)學(xué)中的“比例”知識(shí)，迅速得出結(jié)果.

例1 如圖1，在水平面上放置一半徑為2R圓柱形薄壁容器.將密度為ρ，高為h，半徑為R的圓柱體木塊豎直放置在容器中，隨后向容器中注水.求使木塊豎直漂浮時(shí)向容器中注入水的最少質(zhì)量. 圖1 木塊置于容器中.

假設(shè)向容器中注入水的高度為h′時(shí)，木塊剛好漂浮，此時(shí)其對容器底部的壓力為零，木塊受到的浮力和重力相等，由阿基米德原理可知木塊排開水的重力剛好為其自身重力.m水g=ρR2πhg，對應(yīng)該部分水的質(zhì)量m水=ρR2πh.木塊排開水的體積V排=R2πh′，將這部分體積看成水，則容器中可裝入水的體積為V=（2R）2πh′，則V/V排=4.表明實(shí)際上容器中的水為3份，1份水的質(zhì)量為m水=ρR2πh，則至少需加入水的質(zhì)量為3m水=3ρR2πh.如此通過轉(zhuǎn)化法解答該題，可減少復(fù)雜運(yùn)算，提高解題效率.

2 逆向思維的應(yīng)用

對于部分初中物理習(xí)題而言，大多數(shù)學(xué)生會(huì)想到正向思維，一步步地計(jì)算推理，效率并不高，而逆向思維則能節(jié)省不少時(shí)間.教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)講解逆向思維并展示具體應(yīng)用，認(rèn)識(shí)應(yīng)用逆向思維解題的必要性［3］.“電路故障的分析”是初中物理電學(xué)部分的熱門問題.分析該類問題的方法靈活多變，對于選擇題而言采用逆向思維，可迅速排除從而找到正確答案.

例2 如圖2，將燈泡L1和燈泡L2串聯(lián)（燈絲電阻保持不變）在電路中，其中L2的功率為4 W，且L1較L2亮，使用一段時(shí)間后L2燈突然熄滅，L1亮度增強(qiáng)，L1的功率為25 W，則L2出現(xiàn)的故障以及L2未熄滅之前，L1的電功率為（? ）.

A.短路，1 W?? B.短路，9 W

C.短路，16 WD.斷路，18 W

為盡快選出正確結(jié)果，可采用逆向思維從給出的選項(xiàng)逆推，排除不合理的選項(xiàng).D項(xiàng)，L2斷路，L1熄滅，與題意不符排除.當(dāng)L2的功率為4 W時(shí)，L1較L2亮，表明L1的電功率大于L2，大于4 W，排除A項(xiàng).B項(xiàng)中L1的功率為9 W，設(shè)開始L1、L2的電壓分別為U1，U2，電阻分別為R1，R2，則有U21R1=9 W①，U22R2=4 W②，（U1+U2）2R1=25 W③，由①③可得U2=

2R1④，將④代入②得R1=R2，則電流相等時(shí)，兩燈泡功率相等亮度應(yīng)該相同，與“L1較L2亮”不符，排除.綜上分析選擇C項(xiàng).

3 方程思維的應(yīng)用

方程思維是求解未知參數(shù)的重要思維.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用方程思維解答物理難題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：設(shè)出合理參數(shù)和根據(jù)物理定律構(gòu)建等式關(guān)系［4］.教學(xué)實(shí)踐中，為使學(xué)生掌握運(yùn)用方程思維解題的技巧，教師引導(dǎo)學(xué)生具備列出多個(gè)方程的意識(shí)，借助方程求解出目標(biāo)參數(shù).

“比熱容”相關(guān)的計(jì)算是中考的重要考點(diǎn).教學(xué)實(shí)踐中，為提高學(xué)生解題的靈活性，掌握運(yùn)用方程思維解題的具體思路，教師應(yīng)驅(qū)使學(xué)生主動(dòng)思考，確定方程參數(shù)，構(gòu)建物理方程.

例3 向盛有冷水的容器中倒入一杯熱水，冷水溫度升高10℃.繼續(xù)倒入一杯同樣質(zhì)量和同樣溫度的熱水，容器水溫升高6℃.若此后連續(xù)向其中倒入5杯同樣的熱水，忽略熱量損失，則容器水溫會(huì)升高（? ）.

A.14℃? B.12℃? C.9℃? D.4℃

由題意可得倒入熱水后，熱水放出的熱量和冷水吸收的熱量相等，據(jù)此列出方程.

設(shè)熱水質(zhì)量為m0，冷水質(zhì)量為m，開始時(shí)熱冷水的溫差為t.向冷水中倒入第一杯熱水時(shí)：

cm0（t-10℃）=cm×10℃①；

倒入第二杯熱水后，有：

cm0（t-10℃-6℃）=c（m+m0）×6℃②；

同理，連續(xù)倒入5杯熱水，設(shè)容器水溫升高Δt，有：

5cm0（t-10℃-6℃-Δt）=c（m+2m0）×Δt③；

聯(lián)立①②得到：m=3m0，t=40℃.將這些數(shù)據(jù)代入到③解得Δt=12℃，選擇B項(xiàng).

4 極限思維的應(yīng)用

極限思維又稱極端思維，是向極端分析問題的一種思維.如將質(zhì)量看作無窮大或無窮小就屬于極限思維［5］.

“杠桿”是初中物理中的重要知識(shí)點(diǎn).對于部分“杠桿”類的問題，如采用常規(guī)做法，設(shè)出參數(shù)，列出方程，解題難度較大，而且也不一定得出正確結(jié)果.教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生嘗試著使用極限思維分析問題，將看似復(fù)雜的問題直觀化、簡單化.

例4 如圖3所示，將質(zhì)量均勻等體積實(shí)心物體甲、乙分別掛在輕質(zhì)杠桿的A、B兩端，杠桿平衡.則（? ）.

A.兩物體切掉相等體積，杠桿右端下傾

B.兩物體切掉相等體積，杠桿仍保持平衡

C.兩物體切掉相等質(zhì)量，杠桿左端下傾

D.兩物體切掉相等質(zhì)量，杠桿仍保持平衡

該題如設(shè)出參數(shù)列出方程，計(jì)算非常繁瑣.為提高解題效率，解答該題應(yīng)應(yīng)用極限思維.因甲、乙體積相等，由圖可知甲的質(zhì)量小于乙的質(zhì)量.切掉相等體積，甲、乙質(zhì)量同比例減小，杠桿仍平衡.切掉等質(zhì)量時(shí)，假設(shè)將甲的質(zhì)量全部去掉，乙還剩余部分質(zhì)量，杠桿右側(cè)會(huì)下傾，綜上分析選擇B項(xiàng).

5 數(shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維分析問題主要分為兩類：根據(jù)題干描述畫出對應(yīng)圖形，借助圖形將抽象、復(fù)雜的關(guān)系展現(xiàn)出來，更為高效地解題；從給出的圖形中挖掘隱含條件，將圖形與物理情境對應(yīng)起來，尋找解題的蛛絲馬跡［6］.

“浮力”問題中，與圖形相關(guān)的問題難度一般較大，需學(xué)生自己構(gòu)建圖形與物理情境之間的內(nèi)在聯(lián)系.教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析圖線為什么是這個(gè)形狀，拐點(diǎn)代表什么含義，幫助其找到解題切入點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維解答物理難題.

例5 使用細(xì)繩將底面積為0.01 m2的長方體木塊拴在空容器底部.而后向容器中緩慢加水，直到水和木塊上表面持平.其中木塊底部受到水的壓強(qiáng)與注入水的深度圖像如圖4所示，忽略細(xì)線體積，g取10 N/kg，則（? ）.

A.細(xì)線的長度為7 cm

B.木塊重力為15 N

C.細(xì)線對木塊的最大拉力為6 N

D.木塊的密度為0.6×103 kg/m3

解答該題需數(shù)形結(jié)合，從給出的圖像中判斷出木塊的運(yùn)動(dòng)以及受力情況，理解圖線水平的原因是解題的突破口，課堂上教師應(yīng)預(yù)留時(shí)間，要求學(xué)生認(rèn)真揣摩.剛開始加水長方體木塊底部受到的壓強(qiáng)逐漸增大.當(dāng)木塊浮起但細(xì)繩未拉直前，隨著水的加入其受到的浮力和重力相等，底部受到的壓強(qiáng)不變.當(dāng)細(xì)繩拉直后加水，底部受到的壓強(qiáng)增大，水的深度10～17 cm對應(yīng)繩子被逐漸拉直的過程，因此，繩長為17 cm-10 cm=7 cm；細(xì)繩拉直期間木塊漂浮，木塊受到的浮力和其重力相等，G=F浮=pS=

1 000 pa×0.01m2=10 N；當(dāng)h=23 cm時(shí)，細(xì)繩受到的拉力最大，此時(shí)，木塊重力和細(xì)繩拉力的合力與木塊受到的浮力平衡，由F+G=F′浮，而F′浮=p1S1=1 600 pa×0.01 m2=16 N；則F=16 N-10 N=6 N；由圖可得木塊的高度為h木=23 cm-7 cm=16 cm，則V=Sh木=0.01 m2×16×10-2m=1.6×10-3m3，則ρ=GgV=0.625×103 kg/m3.綜上分析選擇AC.

綜上所述，在初中物理教學(xué)中，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思維滲透至物理知識(shí)講解中，尤其為提高學(xué)生的物理解題能力，應(yīng)做好習(xí)題的篩選，逐一展示不同數(shù)學(xué)思維在初中物理解題中的應(yīng)用，讓學(xué)生真正理解并吃透不同數(shù)學(xué)思維在物理解題中的應(yīng)用，促進(jìn)其物理解題水平的進(jìn)一步提升.

參考文獻(xiàn)：［1］ 張傳啟.數(shù)學(xué)思維在初中物理解題中的運(yùn)用［J］.理科愛好者（教育教學(xué)），2021（06）：64-65.

［2］ 徐璇璇.數(shù)學(xué)思維在初中物理解題中的方法探析［J］.數(shù)理化解題研究，2021（26）：86-87.

［3］ 金冠鋒.數(shù)學(xué)思想在初中物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］.天津教育，2020（15）：109-110.

［4］ 施慧.談初中物理與數(shù)學(xué)的有效整合［J］.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（05）：67.

［5］ 陳明蘭.數(shù)學(xué)思維方法在初中物理教學(xué)中的應(yīng)用方法芻議［J］.高考，2019（12）：49.

［6］ 車秀麗.例談?dòng)脭?shù)學(xué)思維巧解初中物理試題［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2017，46（18）：36-37.

［責(zé)任編輯：李 璟］