徐令宇 張杰 陳煒昀 高洪梅

摘? 要：Terzaghi飽和土單向固結(jié)理論的提出標(biāo)志著土力學(xué)成為一門獨(dú)立學(xué)科，土的滲透及固結(jié)是土力學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)難點(diǎn)。為使學(xué)生更為形象掌握和理解該知識(shí)點(diǎn)，該文提出一種數(shù)學(xué)方程與數(shù)值模型相結(jié)合的教學(xué)方法，從Biot滲透固結(jié)理論的偏微分方程出發(fā)，在通用有限元軟件中建立并驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算模型。通過(guò)滲流固結(jié)方程的介紹和說(shuō)明，理解“滲流”和“固結(jié)”的過(guò)程及區(qū)別和聯(lián)系?；跀?shù)值結(jié)果，形象說(shuō)明達(dá)西定律中“水頭”的概念。

關(guān)鍵詞：土力學(xué)；飽和土滲流固結(jié)理論；教學(xué)方法；數(shù)值計(jì)算；有限元

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2023）21-0083-04

Abstract： The emergence of Terzaghi seepage consolidation theory in Soil Mechanicsmarks that Soil Mechanics has become an independent subject. In order to make students grasp and understand the theory more vividly， this paper initially presents partial differential equations （PDEs） of the theory， and then proposes a numerical calculation model based on general finite element software.This paper introduces and explains the seepage consolidation equation， let students understand the process of "seepage" and "consolidation" and the difference and connection. At the same time， based on the numerical results， the concept of "water head" in Darcy's law is illustrated.

Keywords： Soil Mechanics; seepage consolidation theory of saturated soil; teaching method; numerical calculation; finite element

Terzaghi飽和土單向固結(jié)理論的提出標(biāo)志著土力學(xué)成為一門獨(dú)立學(xué)科，是巖土工程問(wèn)題研究的基礎(chǔ)，該知識(shí)點(diǎn)是土力學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)[1]。為了讓學(xué)生更容易掌握該知識(shí)難點(diǎn)，已有文獻(xiàn)探討了多種土力學(xué)教學(xué)方法或者教學(xué)模式。伊盼盼[2]建議采用內(nèi)化式教學(xué)模式，目標(biāo)是讓學(xué)生意識(shí)到自己處于教學(xué)中的主體。楊兵等[3-4]建議以實(shí)例帶動(dòng)理論教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步建議增加觀看、分析失敗的工程案例，讓學(xué)生意識(shí)到理論重要性，同時(shí)通過(guò)對(duì)土力學(xué)試驗(yàn)方案創(chuàng)新設(shè)計(jì)也能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在疫情形勢(shì)下，加瑞等[5]利用在線課程資源，開展基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的線上線下混合式教學(xué)改革，同時(shí)建議充分利用國(guó)家虛擬仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)項(xiàng)目共享平臺(tái)上的虛擬仿真實(shí)驗(yàn)開展線上實(shí)驗(yàn)教學(xué)。綜上可以看出，目前土力學(xué)教學(xué)主要集中于宏觀方法的研究，較少涉及對(duì)土力學(xué)中重難點(diǎn)問(wèn)題提出實(shí)操性方法。

本文針對(duì)土的滲透固結(jié)理論這一重要知識(shí)點(diǎn)，提出一種數(shù)學(xué)方程與數(shù)值模型相結(jié)合的教學(xué)方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)求解土力學(xué)中的數(shù)學(xué)方程，從理論角度理解實(shí)際工程問(wèn)題。通過(guò)滲流固結(jié)方程的介紹和說(shuō)明，理解“滲流”和“固結(jié)”的過(guò)程、區(qū)別和聯(lián)系?；跀?shù)值結(jié)果，形象說(shuō)明了達(dá)西定律中“水頭”的概念。通過(guò)本文的講解，將土力學(xué)中的有效應(yīng)力原理、達(dá)西定律、固結(jié)理論有機(jī)的串聯(lián)起來(lái)，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率。

一? 滲流固結(jié)控制方程

Biot[6]提出了經(jīng)典的飽和土的滲流固結(jié)方程，將土的變形與土的滲流耦合在一起。本文將以二維固結(jié)為例，詳細(xì)介紹了其微分控制方程，并在COMSOL Multiphysics軟件建立數(shù)值模型，將模型退化為一維情形，將計(jì)算結(jié)果與Terzaghi飽和土單向固結(jié)方程解析解進(jìn)行了對(duì)比。

（一）? 固相控制方程

公式（1）和公式（2）分別給出了固相在水平向和豎向力的平衡方程，該方程引入了有效應(yīng)力原理：總應(yīng)力為有效應(yīng)力和孔壓之和，即隱含了土體為完全飽和的假定。因此，σx和σz分別為水平向和豎向有效應(yīng)力，p為孔隙水壓力。豎向力的平衡方程考慮了自重作用，ρ為飽和土的密度，g為重力加速度，τxz為剪應(yīng)力。

（1）

（2）

假定土層為均質(zhì)、各向同性的彈性體，通過(guò)引入彈性本構(gòu)方程，應(yīng)力和應(yīng)變的表達(dá)式寫為

（3）

式中：εx、εz和γxz分別為x方向正應(yīng)變、z方向正應(yīng)變及工程剪應(yīng)變。K和G分別為體積模量和剪切模量，可寫成彈性模量和泊松比的表達(dá)式

應(yīng)變可通過(guò)位移求出，定義為

（6）

式中：u和w分別為x和z方向的位移。

（二）? 液相控制方程

地下水滲流的驅(qū)動(dòng)力是水頭差，壓力水頭H定義為

（7）

式中：γw為水的重度；p/γw代表壓力水頭。

根據(jù)流體連續(xù)性條件，假定土顆粒和水是不可壓縮的，可得到滲透速度與體應(yīng)變?chǔ)舦的關(guān)系式

（8）

式中：vx和vz分別為x方向和z方向的滲透速度，t為時(shí)間。

根據(jù)線彈性理論，εv的表達(dá)式為

（9）

根據(jù)達(dá)西定律，滲透速度表示為

（10）

式中：kx和kz分別為x方向和z方向滲透系數(shù)。把式（9）和式（10）帶入到公式（8）中，可以得到

若令式（11）右側(cè)為零，即不考慮土體變形，方程退化為著名的拉普拉斯方程，也就是土力學(xué)教材中提到的平面滲流的控制方程。結(jié)合邊界條件，即可聯(lián)合求解式（1）、式（2）、式（11），得到u、w及p。這些邊界包括已知水頭邊界和法向流速邊界。下面結(jié)合Terzaghi飽和土單向固結(jié)求解來(lái)說(shuō)明。

（三）? Terzaghi飽和土單向固結(jié)算例

本文首先在COMSOL Multiphysics軟件建立Terzaghi飽和土單向固結(jié)方程數(shù)值模型，模型土如圖1所示。Terzaghi飽和土單向固結(jié)理論為一維情形，在有限元軟件中僅設(shè)置豎向滲流，公式（11）退化為

（12）

通過(guò)添加固體力學(xué)和一般形式偏微分方程兩個(gè)物理場(chǎng)，將土的變形與土的滲流耦合在一起。需要同設(shè)置邊界條件，來(lái)滿足偏微分方程的求解，具體為：①設(shè)置模型頂面單面排水（公式（13））；②模型兩側(cè)不透水且水平位移為零（公式（14））；③模型底部不透水且約束水平位移和豎向位移（公式（15））。初始條件為公式（16），施加的均布荷載為p0=100 kPa。

p=0，z=H ，? ? ? ? ? ? ? ? （13）

p=p0，t=0 ， （16）

式中：l為土柱模型寬度；H為土柱模型深度。根據(jù)上述滲流固結(jié)方程、邊界條件及初始條件，文獻(xiàn)[7]給出了土層任意深度z不同時(shí)刻t的孔隙水壓力解析解

式中：m為正奇數(shù)，Cv為土的固結(jié)系數(shù)；Tv為無(wú)因次的時(shí)間因數(shù)；Es為壓縮模量；p0為土柱頂部施加的壓力。

假設(shè)一維固結(jié)模型尺寸寬度l為1 m，深度H為10 m的長(zhǎng)方形土柱，土體密度ρ為1.72×103 kg/m3，滲透系數(shù)k為1.75×10-7 m/s，泊松比v為0.3，壓縮模量Es為3.4 MPa。圖2給出了t=100 s時(shí)刻孔隙水壓力分布圖，可以看到，數(shù)值解和解析解基本吻合，驗(yàn)證了數(shù)值模型的正確性。

二? 二維滲流算例與結(jié)果分析

下面將利用上述數(shù)值模型計(jì)算一個(gè)二維滲流算例，計(jì)算模型及網(wǎng)格如圖3所示。土體模型尺寸長(zhǎng)l=50 m，深H=40 m，模型中間有一個(gè)不透水擋墻，擋墻寬2 m，插入深度為19 m，擋墻上游水頭H1=10 m，擋墻下游水頭H2=2 m。計(jì)算的土體參數(shù)與“Terzaghi飽和土單向固結(jié)算例”小節(jié)相同。

在有限元計(jì)算中，僅考慮滲流場(chǎng)，因此固體邊界全部約束（即u=w=0），僅考慮流體邊界，計(jì)算模型兩側(cè)及底部采用不透水邊界（即? ? ? ? ? ），上下游邊界為已知水頭邊界。

上游水頭邊界條件

p=ρwgH1，z=H 。? ? ? ? （19）

下游水頭邊界條件

p=ρwgH2，z=H ，? ? ? ? ? ? （20）

式中：ρw為水的密度，g為重力加速度。

圖4給出了有限元計(jì)算出的等勢(shì)線和流線，同時(shí)給出每個(gè)等勢(shì)線的水頭值。可以看出以下幾點(diǎn)。

1）AB和GH分別為首位兩條等勢(shì)線，對(duì)應(yīng)公式（19）和公式（20）所示的邊界處水頭。

2）BCEFG和AJIKH為不透水邊界，是兩條邊界處的流線，所有等勢(shì)線均勻流線垂直。

3）由于計(jì)算模型為對(duì)稱模型，EI等勢(shì)線值為6 m，是首尾等勢(shì)線的均值。

三? 結(jié)論

本文針對(duì)土的滲透固結(jié)理論這一重要知識(shí)點(diǎn)，提出一種數(shù)學(xué)方程與數(shù)值模型相結(jié)合的教學(xué)方法。通過(guò)土的滲流固結(jié)偏微分方程介紹，理解“滲流”和“固結(jié)”的過(guò)程及區(qū)別和聯(lián)系。在通用有限元軟件中建立數(shù)值模型，并利用Terzaghi飽和土單向固結(jié)解析解進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)二維滲流算例，形象說(shuō)明了達(dá)西定律中“水頭”的概念。本文將土力學(xué)中的有效應(yīng)力原理、達(dá)西定律、固結(jié)理論有機(jī)的串聯(lián)起來(lái)，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率。

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