魏先玲 許佳敏 張維國 鞏子坤

摘 要：比的概念從“同類量的比”發(fā)展到“無量綱的數(shù)的比”的過程中，需要“不同類量的比”作為關鍵的跳板。正是因為現(xiàn)實生活中的存在性、數(shù)學知識中的必要性，“不同類量的比”的學習才顯得如此重要。“不同類量的比”的教學，可借助除法和倍數(shù)關系認識比的本質，實現(xiàn)從同類量比到不同類量比的過渡；設計符合學生思維層次的、具有螺旋上升性的問題，激發(fā)學生學習的內驅力，引領學生探究數(shù)學本質。

關鍵詞：小學數(shù)學；比的認識；不同類量的比；概念延展

本文系浙江省哲學社會科學規(guī)劃課題“基于認知發(fā)展模型的義務教育教科書編寫質量提升研究”（編號：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關計劃資助項目“建設高質量教育體系背景下義務教育教科書編寫質量提升路徑研究”（編號：2023GH005）的階段性研究成果。鞏子坤為本文通訊作者。

兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比——這是目前教材中對“比”的定義。然而，比不等于除法：比的本質是倍數(shù)關系，描述的是兩個量之間的一種狀態(tài)，一種對比；除法表示一種運算，比只是在求比值時才用除法［1］。比原本是同類量的倍數(shù)關系，但是也可以推廣到不同類量的情形，即不同類量a、b，以b為單位衡量a，也稱a和b之間有關系a比b，記作a∶b。兩者最顯著的差異就在于量綱：同類量的比，其比值是無量綱的；而不同類量的比，比的前后項里的量綱不能約去。［2］

那么，為什么要學習不同類量的比呢？正如上段提到的，不同類量的比就是以一個量為單位來衡量另一個量，而這在現(xiàn)實生活中十分常見，如每小時行駛多少千米、每本書多少元、每分鐘出水多少升等，它們本質上就是不同類量的比。其次，比的概念從“同類量的比”發(fā)展到“無量綱的數(shù)的比”的過程中，需要“不同類量的比”作為關鍵的跳板。正是因為現(xiàn)實生活中的存在性、數(shù)學知識中的必要性，“不同類量的比”的學習才顯得如此重要。

在“同類量的比”學習結束后，我們對班里低、中、高三個層次共15名學生做了訪談，請學生舉例說一說什么是不同類量的比。其中，3名學生能夠正確舉例，12名學生舉出了錯誤的例子，如“直徑與半徑的比是不同類量的比”。分析訪談結果，發(fā)現(xiàn)大部分學生不理解不同類量比的概念，無法自行從同類量的比過渡到不同類量的比。因此，我們嘗試構建并優(yōu)化“不同類量的比”的學習路徑，實現(xiàn)學生從“同類量的比”到“不同類量的比”的過渡。

基于上述思考，提出兩個研究問題：（1）如何設計一條“不同類量的比”的學習路徑，即設計一條能夠促進學生對“不同類量的比”的認識從簡單到復雜、從低級到高級的學習路徑；（2）在學習路徑的推進中，如何促進學生由“同類量的比”過渡到“不同類量的比”，并進一步體會比的本質。具體研究如下：

一、研究設計

研究對象是深圳市一所普通小學六年級甲、乙兩個平行班（與開展“同類量的比”教學實驗的班級相同）的學生。由教師W授課。研究方法與流程同“同類量的比”教學實驗，本文不再贅述。

這里，主要介紹后測問卷及數(shù)據(jù)處理。

后測問卷中，有這樣3道題：

1.小明跑36 km需要2小時，路程與時間的比是（? ），比值是（? ），這個比值表示（? ）。

2.400 g大豆榨油48 g，油與大豆的質量比是（? ），比值是（? ），這個比值表示（? ）。

3.以上兩道題，第（? ）題描述的是同類量的比，第（? ）題描述的是不同類量的比。

每一空，回答正確計1分，回答錯誤或沒有回答計0分。

二、研究過程與分析

（一）學習路徑B1

1.任務介紹

學習路徑B1圍繞“比”的兩種不同形式，即同類量的比和不同類量的比，重點關注從同類量的比到不同類量的比的過渡。

設計了5項任務：

任務1的目標：課前分享，為后續(xù)學習不同類量的比做好鋪墊。子任務1：“8”字長繩比賽中，我班有7名男生，6名女生，男生與女生的人數(shù)比是（? ）。子任務2：跳遠比賽中，小紅跳了5米，小麗跳了4米，小紅與小麗跳遠的長度比是（? ）。在這兩項子任務中，學生復習鞏固了同類量的比的概念——像這種，人數(shù)與人數(shù)的比、長度與長度的比，當比中的兩個量都是同一類量時，我們就稱其為同類量的比。

任務2的目標：感知速度就是單位時間內所走的路程，體會比的度量含義。子任務1：小輝跑200米用了8秒，路程與時間的比是（? ），速度是（? ）。子任務2：8米/秒表示什么意思？4秒時，路程是多少？這里，沿用了“同類量的比”教學的運動會情境，使得教學情境一以貫之，學生不會有明顯的脫節(jié)感。學生通過寫一寫、填一填“路程與時間的比”，體會不同類量比的含義；通過說一說“8米/秒”的含義等，體會通過路程與時間這兩個不同類量的比，得到了一個具有相對意義的量（衍生的量）——速度。最后，教師總結：當兩個量的單位不同時，如路程與時間，我們就稱它們的比為不同類量的比；當兩個不同類量相比時，就會產(chǎn)生一個新的量。

任務3的目標：根據(jù)“總價與數(shù)量的比”，進一步理解、感悟不同類量比的含義。子任務1：老師買了2本筆記本花了12元，寫一寫總價與數(shù)量的比是什么，單價是多少，單價表示什么意思。子任務2：這里的比是哪一種比呢？你還發(fā)現(xiàn)了什么？任務3轉換情境，呈現(xiàn)總價與數(shù)量這對不同類量的比，通過這對不同類量的比，得到又一個具有相對意義的量——單價。學生通過填寫學習單，說一說單價的含義，并區(qū)分這是哪一種比。情境的轉換，使學生鞏固對不同類量比的認識與理解。

任務4的目標：實現(xiàn)數(shù)學從生活中來，到生活中去。具體內容是：“說一說生活中，你還知道哪些不同類量的比?！边@一任務，讓學生自己舉例，結合生活實際，說一說在生活中還有哪些不同類量的比。這使得學生進一步鞏固對不同類量比的理解，學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，體會到現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學。

任務5的目標：比較、分析、判斷同類量比和不同類量比的聯(lián)系和區(qū)別。具體內容是：“仔細觀察同類量的比和不同類量的比，想一想：它們有什么相同點？有什么不同點？”通過讓學生分析任務1中的同類量比和任務2、任務3中的不同類量比的異同，體會兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別：同類量比的兩個量單位相同，不同類量比的兩個量單位不同；但兩者都可以表示兩個量之間的倍數(shù)關系，都可以寫成兩個數(shù)相除。通過這樣的比較分析活動，幫助學生進一步加深對兩者的理解。

2.問題分析

（1）沒有“比較”，無法深刻體會不同類量比的度量含義

任務2與任務3利用了速度模型與單價模型，引導學生通過“路程與時間”“總價與數(shù)量”這兩對不同類量的比，得到兩個新的量——速度與單價。但這樣只舉一對“路程與時間”或“總價與數(shù)量”數(shù)據(jù)的方式，沒有比較“誰跑得快”“哪一本貴”的問題驅動，無法凸顯“速度”與“單價”出現(xiàn)的必要性，學生也無法深刻體會不同類量比的度量含義。

（2）情境不同，無法較好地凸顯兩類比的差異與比的本質

任務5中，教師讓學生比較任務1中同類量的比與任務2、任務3中不同類量的比，體會兩者的異同，通過相同點進一步感受比的本質是表示兩個量之間的倍數(shù)關系。然而，由于兩類比本身存在的情境有較大的差異性，因此學生在比較時容易被非關鍵因素影響，無法較順利地指出兩者的異同，更無法深刻體會比的本質。

（3）從同類量比到不同類量比的過渡并不充分，學生對不同類量比的概念理解并不完全

同類量的比、不同類量的比這兩個概念都是教師直接告知學生的，學生主動獲取知識的動力不足。學生沒有經(jīng)歷充分的觀察、對比、判斷、分析等一系列學習體驗活動，從同類量比過渡到不同類量比的過程并不自然，所以學習感觸不深，對不同類量比的概念建構仍不完全。

3.修改建議

（1）利用“比較”，充分體現(xiàn)不同類量比的度量含義

增加更多“路程與時間”“總價與數(shù)量”的數(shù)據(jù)，設置“誰跑得更快”“哪一本更貴”的驅動問題，引導學生為解決上述問題，自發(fā)計算兩個不同類量的比值，由此體會到不同類量比的度量含義。

（2）在同一情境中比較同類量的比和不同類量的比

利用更多的“路程和時間”數(shù)據(jù)，引導學生從中得到不同路程之間的比、不同時間之間的比。由此，在同一情境中同時呈現(xiàn)同類量的比和不同類量的比，情境的統(tǒng)一更有利于學生認識到兩者的異同，體會比的本質。

（3）層層遞進，引領學生從同類量的比過渡到不同類量的比

從復習舊知入手，喚醒學生對同類量比的理解；在具體的情境中，如“誰跑得更快”這樣的情境中，引導學生使用不同類量的比，體會不同類量比的度量意義；通過比較“同類量的比”和“不同類量的比”，引導學生對兩個概念進行歸納、概括、命名，在辨析中加深對不同類量比的理解；在新情境中，繼續(xù)應用不同類量的比，進一步感悟不同類量的比。由此，引導學生經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展過程，從“同類量的比”逐步過渡到“不同類量的比”，理解不同類量比的含義。

（二）學習路徑B2

1.任務介紹

經(jīng)過對學習路徑B1的課后反思與討論，教師修改教學設計，在乙班實施了學習路徑B2。

設計了5項任務：

任務1的目標

與內容同學習路徑B1中的任務1。

任務2的目標：初步探究，借助速度模型體會不同類量比的含義，適時滲透函數(shù)思想。子任務1：小輝跑50米用了10秒，小紅跑200米用了40秒，誰跑得快呢？寫一寫，算一算。子任務2：橫著看，路程與時間相比，產(chǎn)生了一個新量，是什么？什么變了，什么沒變？子任務3：豎著看，請仔細觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？任務2以速度模型為例，在“誰跑得更快”的問題驅動下，引導學生初步感知兩個不同類量相比會產(chǎn)生一個新的量，感受不同類量比的度量含義；通過“橫向”與“縱向”的比較，在同一情境中同時呈現(xiàn)同類量的比和不同類量的比，為后續(xù)兩者的比較做鋪墊；

同時，體會速度不變時，路程隨時間的變化關系，滲透函數(shù)思想。

以下是課堂實錄片段：

師 路程除以時間，可以用比的形式來表示嗎？

生 可以，200除以40可以寫成200∶40，50除以10可以寫成50∶10。

師 當路程和時間相比，就會得到……

生 （齊）速度。

師 在這里，速度表示什么意思呢？

生 速度就是每秒鐘跑的路程。

師 路程與時間相比就得到了——速度。有了速度，我們就可以進行比較，就知道誰快誰慢。剛剛是橫著看，我們還可以怎樣看？怎樣比？

生 還可以豎著看，200是50的4倍，40是10的4倍，都是4倍，所以一樣快。

師 能用比表示嗎？

生 50∶200。

生 10∶40。

任務3的目標：溝通聯(lián)系，打通同類量的比和不同類量的比之間的壁壘。

具體內容是：仔細觀察黑板左邊的比和右邊的比，有什么相同點，有什么不同點？

這項任務中，教師引導學生觀察黑板左邊的比（見下頁圖1）和右邊的比（見下頁圖2），并分析兩者的異同。學生通過分析、比較，發(fā)現(xiàn)兩者的不同點在于“左邊的比”是路程比時間，單位不同；“右邊的比”是路程比路程，時間比時間，單位相同。于是，根據(jù)兩者的特點，分別將兩者命名為“不同類量的比”和“同類量的比”。在分析相同點時，教師引導學生發(fā)現(xiàn)兩者都可以表示成一種倍數(shù)關系，并且其倍數(shù)關系可以通過除法計算得到具體的數(shù)值（比值）。通過將同類量的比與不同類量的比進行比較，打通知識間的壁壘，實現(xiàn)從同類量比到不同類量比的過渡。

以下是課堂實錄片段：

師 仔細觀察黑板（如圖3、圖4所示），左邊的比與右邊的比，兩者有什么相同點？

（學生思考。）

師 我們知道，同類量的比可以看作兩個量之間的倍數(shù)關系，如我花費的時間是你的4倍，我走的路程是你的4倍。那么，不同類量的比是否也可以看作倍數(shù)關系呢？

生 10秒跑了50米，50米平均分到10秒內，每秒就跑了5米，50是10的5倍，所以也可以看作倍數(shù)關系。

師 同類量的比和不同類量的比都可以表示成倍數(shù)關系，那么具體是多少倍呢？我們可以怎么算？

生 （齊）用除法。

任務4的目標：感悟本質，借助單價模型進一步感悟不同類量的比。子任務1：老師想買筆記本獎勵小輝和小紅，哪一種筆記本最貴？子任務2：總價與數(shù)量相比得到一個新的量，是什么？表示什么意思？寫一寫，說一說。子任務3：你能用倍數(shù)關系來解釋總價與數(shù)量之比嗎？任務4借助單價模型，在“哪一種筆記本最貴”的問題驅動下，引導學生進一步體會不同類量比的度量含義，并鞏固對比的本質的理解。

以下是課堂實錄片段：

師 哪一種筆記本最貴？你是如何得到這個答案的？

生 B種筆記本最貴，我將總價與數(shù)量相比，計算并比較它們的比值。

師 總價與數(shù)量相比會產(chǎn)生一個新的量，它是什么，有什么含義？

生 產(chǎn)生的新的量是單價，表示1本筆記本的價錢。

師 你能用倍數(shù)關系來解釋總價與數(shù)量之比嗎？

生 以B種筆記本為例，15元買了3本，15元平均分到3本里，每本就是5元，15是3的5倍。

任務5的目標：深化含義，尋找生活中不同類量的比。具體內容是：

速度是路程與時間的比，單價是總價與數(shù)量的比，生活中還有這樣的比嗎？這項任務聯(lián)系生活實際，喚醒學生關于不同類量比的經(jīng)驗，引導他們體會現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學。

2.教學效果

將兩次后測數(shù)據(jù)進行比較（見下頁圖5），發(fā)現(xiàn)乙班學生在每一空上的平均得分均高于甲班。分別對甲、乙班學生8個空的得分進行獨立樣本t檢驗，結果表明，甲、乙班在每個空上的得分均存在顯著性差異（p<0.05）。這說明，學習路徑B2的教學，讓學生對比的含義的理解有了明顯提升，對什么是同類量的比、什么是不同類量的比也有了深刻的認識和理解。這與課堂上教師創(chuàng)設適切的對話問題、創(chuàng)設生生互動與師生互動的平臺、創(chuàng)設整體的教學情境關系密切。

課后，對低、中、高三個層次各3名學生進行訪談，發(fā)現(xiàn)8名學生能夠理解比表示兩個量之間的倍數(shù)關系，7名學生能夠正確列舉生活中同類量的比和不同類量的比，所有學生都能夠說出具體情境下比的含義，這一結果與后測的數(shù)據(jù)吻合。這一系列數(shù)據(jù)和現(xiàn)象都證明，改進后的學習路徑得到了優(yōu)化，提高了課堂教學的實效性，有助于學生從同類量的比過渡到不同類量的比，加深對比的本質的認識。

三、研究結論與建議

（一）結論

本研究探索了有利于學生理解不同類量比的學習路徑，實現(xiàn)了從同類量比到不同類量比的過渡，拓展了比的含義。

首先，從分享舊知入手，鞏固上節(jié)課學習的同類量的比，為后續(xù)學習不同類量的比做鋪墊；接著，借助速度模型，深入體會不同類量比的含義，適時滲透函數(shù)思想；分析、感悟同類量的比與不同類量的比之間的異同，打通兩者之間的壁壘；借助單價模型進一步感悟不同類量的比的本質；最后，通過尋找生活中不同類量的比，深化對比的含義的理解。

在分析同類量比與不同類量比的異同時，引導學生體會兩者的不同點在于相比的兩個量的單位是否相同；而相同點在于都表示兩個量之間的倍數(shù)關系，并且都可以用除法計算得到具體的倍數(shù)關系（比值）。

（二）建議

1.借助除法和倍數(shù)關系認識比的本質，實現(xiàn)從同類量比到不同類量比的過渡比的本質是兩個量之間的倍數(shù)關系，而除法是兩個量之間倍數(shù)關系的另一種表達方式，與比存在聯(lián)系。教學中，教師可以通過同類量比和不同類量比的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)比的本質是兩個量之間的倍數(shù)關系；通過除法來計算兩個量之間的倍數(shù)關系（相應比的比值），引導學生發(fā)現(xiàn)比與除法存在聯(lián)系。由此，發(fā)現(xiàn)同類量比和不同類量比的一致性，結合兩者的不同之處，實現(xiàn)從前者到后者的過渡。

2.設計符合學生思維層次的、具有螺旋上升性的問題，激發(fā)學生學習的內驅力，引領學生探究數(shù)學本質學習的發(fā)生不是“一廂情愿”，而是“兩拍即合”。教師設計的所有教學活動要符合學生的認知層次，在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內。例如，在引導學生從同類量的比過渡到不同類量的比時，開展層層遞進的對話。只有讓學生體驗獲取成功的喜悅和快樂，學生才能激發(fā)學習的欲望，才會產(chǎn)生探究知識的內在需求，從而促進教學活動深入開展。

參考文獻：

［1］［2］ 張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數(shù)學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)［M］.上海：上海教育出版社，2018：173，175.