向儀,馮強
(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)
傅里葉變換(Fourier transform,F(xiàn)T)作為一種重要的信號處理工具,在應(yīng)用數(shù)學(xué)、光學(xué)、圖像加密、信號處理等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用[1-4]。在FT 基礎(chǔ)上定義的傅里葉正弦變換(Fourier sine transform,F(xiàn)ST)與傅里葉余弦變換(Fourier cosine transform,F(xiàn)CT),是求解積分方程常用的工具[5-6]。用FST 與FCT 處理奇函數(shù)和偶函數(shù)的計算復(fù)雜度是FT 的1/2,因此,用FST、FCT 處理奇和偶函數(shù)比用FT更有效[7]。
卷積是一種積分變換,常被用于各種應(yīng)用問題建模。由于新型卷積對積分方程和算子理論有影響,且在展示新特性和應(yīng)用方面具有較大潛力[8-9],吸引了不少研究者的興趣。近年來,有許多有關(guān)傅里葉卷積及其相關(guān)理論研究的報道。如文獻(xiàn)[10]研究了FST 與Kontorovich-Lebedev 變換相關(guān)的廣義卷積,并將卷積定理應(yīng)用于求解積分微分方程。文獻(xiàn)[11]給出了Wiener 空間上的卷積運算,建立了Fourier-Feynman 變換及其卷積定理,拓展了傅里葉分析理論體系。文獻(xiàn)[12]提出了基于矩陣的FST、FCT 以及Hartley 變換,并將這些理論應(yīng)用于圖像加密。文獻(xiàn)[13]研究了Hartley 變換、FST、FCT 的多重卷積,并將這些卷積應(yīng)用于求解積分方程,得到了這類方程的顯式解。文獻(xiàn)[14-17]進(jìn)一步研究了傅里葉加權(quán)卷積運算及其卷積定理,利用所得卷積理論研究了幾類卷積積分方程的解。
近年來,作為FST 與FCT 的廣義形式,分?jǐn)?shù)階正弦變換與分?jǐn)?shù)階余弦變換引得關(guān)注,產(chǎn)生了一些具有代表性的理論成果[18-20]。但尚未見關(guān)于FST與FCT 的混合加權(quán)卷積成果的報道?;旌霞訖?quán)卷積理論不僅是對原有廣義卷積理論的拓展,而且可對復(fù)雜場景下的實際問題進(jìn)行建模。因此,研究傅里葉正、余弦變換的混合加權(quán)卷積及其相關(guān)應(yīng)用非常必要。
本文在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上,研究傅里葉正、余弦變換混合加權(quán)卷積及其應(yīng)用。首先,利用經(jīng)典卷積以及傅里葉正、余弦變換的性質(zhì),給出了傅里葉正、余弦變換的混合加權(quán)卷積運算,并推導(dǎo)了相應(yīng)的卷積定理。其次,研究混合加權(quán)卷積運算與已有卷積運算之間的關(guān)系,運用混合加權(quán)卷積性質(zhì)得到了Young 類不等式。最后,利用混合加權(quán)卷積運算,計算了一類卷積類積分方程的解。
廣義卷積定理[21]:
其中,函數(shù)f,g,γ∈L1(R+);K,K1,K2為不同的積分變換。當(dāng)K,K1,K2為傅里葉變換時,上述廣義卷積定理退化為經(jīng)典的卷積定理:
其中,(f * g)(x)為經(jīng)典傅里葉卷積運算,滿足
(Ff)(y)為f 的傅里葉變換,滿足
傅里葉余弦變換(Fcf)(y)與傅里葉正弦變換(Fsf)(y)[22]分別為:
傅里葉余弦與傅里葉正弦的卷積定理分別為:
傅里葉余弦正弦卷積[24]:
且滿足卷積定理:
給出兩類新的傅里葉余、正弦加權(quán)卷積的定義,并研究這兩類卷積的相關(guān)性質(zhì),推導(dǎo)相應(yīng)的傅里葉余、正弦加權(quán)卷積定理。
定義1設(shè)f (t)∈L1(R),g(t)∈L1(R+),則傅里葉余弦加權(quán)卷積與傅里葉正弦加權(quán)卷積分別為:
其中,γ(y)=e-ycos y 為權(quán)函數(shù),且有
定理1設(shè)f (t)∈L1(R),g(t)∈L1(R+),則有,且滿足:
證明由式(13),可得
下證式(15)。由式(4)和式(5),可得
由式(17),可得
由式(17)和式(18),可得
由式(5)和式(13),可知式(15)成立。
式(16)的證明方法與式(15)的類似。
定理1 證畢。
下面給出傅里葉正、余弦加權(quán)卷積與已有卷積的關(guān)系。
定理2設(shè)f (t)∈L1(R),g(t),h(t)∈L1(R+),則有
證明先證(iv)。由式(16),可得
故式(iv)成立。
(i)~(iii)的證明過程與(iv)的證明類似。
定理2 證畢。
定理 3設(shè)g(x)∈Lq(R+),ω(x)∈Lr(R+),其中,p,q,r >1,且滿足,則有傅里葉余弦加權(quán)卷積不等式
證明設(shè)p1,q1,r1>1,滿足。令
由式(21)~式(23),可得
由式(21),可得
由Fubini 定理,可得
由復(fù)數(shù)的性質(zhì)及式(20),可得
同理可得
因此,由式(24)~式(27),可得
再由式(20),可得
同理可得
因此,由式(22)、式(23)、式(29)、式(30),可得
由H?lder's 不等式,可得
定理3 證畢。
卷積方程在許多領(lǐng)域均有非常重要的應(yīng)用,如輻射能量傳播、軸震動等,特別在工程力學(xué)和數(shù)字信號處理中[25],經(jīng)常會遇到形如式(33)和式(39)的積分方程,求解這些方程是目前研究的熱點之一。
λ1,λ2為復(fù)數(shù),φ,k,φ,h∈L1(R+)為已知函數(shù),f,g 為未知函數(shù),I1,I2,I3,I4見定義1。
定理4設(shè),則式(33)在L1(R+)上有解,即
其中,x >0,θ∈L1(R+),且滿足
證明式(33)可改寫為
運用卷積定理,得
由Wiener-Levi's 定理[26],知存在函數(shù)θ∈L1(R+),使得
因此,由式(38),得
由FCT,有
同理可得
定理4 證畢。
卷積方程在許多場合有重要應(yīng)用,不同的卷積方程可解決不同的問題。如積分方程:
其中,
λ1,λ2為復(fù)數(shù),δ,μ,τ,ω1,ω2∈L1(R+)為已知函數(shù),f,g 為未知函數(shù)。
定理5假設(shè)1+H≠0,其中,
則式(39)具有顯式解:
其中,ρ∈L1(R+),且滿足
證明與定理4 的證明類似,此證略。
在現(xiàn)有加權(quán)傅里葉正、余弦變換卷積的基礎(chǔ)上,提出了傅里葉正、余弦變換的混合加權(quán)卷積運算,得到了相應(yīng)的加權(quán)卷積定理;研究了混合加權(quán)卷積的性質(zhì)以及Young 類不等式;最后利用提出的混合加權(quán)卷積,討論了兩類卷積類積分方程的解,得到了相應(yīng)的顯式解。