李孝武，楊赟瑞*，劉凱凱

（1.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引言

易感態(tài)-感染態(tài)-恢復(fù)態(tài)（susceptible infected recovered，SIR）模型一直備受關(guān)注［1-10］，最早可追溯至KERMACK 等［1］為研究人口密度與傳染性、恢復(fù)率和死亡率間的特定關(guān)系對(duì)流行病產(chǎn)生的影響而提出的常微分方程。然而，SIR 模型并未考慮個(gè)體在空間中的隨機(jī)移動(dòng)和擴(kuò)散。事實(shí)上，許多病毒需通過宿主的隨機(jī)移動(dòng)以及與宿主之間的接觸進(jìn)行傳播。因此，利用反應(yīng)擴(kuò)散方程模擬疾病的傳播更具現(xiàn)實(shí)意義［2-6］。具有經(jīng)典Laplace 擴(kuò)散項(xiàng)的SIR 模型為

疾病的傳播與擴(kuò)散不僅限于當(dāng)前位置，還與相鄰位置甚至整個(gè)區(qū)域有關(guān)，從而涉及發(fā)生在更大范圍內(nèi)的在相對(duì)稠密條件下不相鄰位置間的非局部擴(kuò)散，通常用卷積項(xiàng)表示：

另外，時(shí)滯現(xiàn)象普遍存在，例如病菌的潛伏期，生物的成熟期等。因此，用時(shí)滯非局部擴(kuò)散SIR 模型模擬疾病的傳播更符合客觀實(shí)際［7-10］。時(shí)滯非局部擴(kuò)散SIR 模型為

注意到，上述模型均未考慮防疫策略對(duì)疾病傳播的影響。隨著醫(yī)療技術(shù)的發(fā)展，開發(fā)了針對(duì)各種疾病的疫苗，例如接種新冠疫苗，可有效防治新冠疫情。因此，考慮疫苗接種策略的流行病模型可更準(zhǔn)確反映疾病的發(fā)展趨勢(shì)。Laplace 擴(kuò)散的無時(shí)滯SVIR 模型為

時(shí)滯非局部擴(kuò)散SVIR 模型為

其中，U1(x，t)，U2(x，t)，U3(x，t)和U4(x，t)分別表示位置x 和時(shí)刻t 的易感、接種、感染和康復(fù)個(gè)體的密度；τ 表示病毒的潛伏期；Λ 表示易感個(gè)體的外部輸入率；μ1，μ2，μ3和μ4分別表示易感、接種、感染和移除個(gè)體的自然死亡率；β1和β2分別為易感個(gè)體和接種疫苗的個(gè)體與已感個(gè)體之間的疾病傳播率；α，γ 和γ1分別為疫苗接種率、治愈率和接種疫苗的個(gè)體獲得免疫力的概率。

在行波理論中，行波解的穩(wěn)定性一直是研究重點(diǎn)，特別是單穩(wěn)行波解。由于單穩(wěn)行波解連接的2個(gè)平衡點(diǎn)中有一個(gè)不穩(wěn)定，且在行波解處線性化算子的本質(zhì)譜與原點(diǎn)之間無間隙，因此需引入加權(quán)函數(shù)。加權(quán)能量法和反加權(quán)能量法［12-16］是研究（時(shí)滯）反應(yīng)擴(kuò)散方程單穩(wěn)行波解穩(wěn)定性的有效工具。而在非擬單調(diào)條件下，由于方程的非單調(diào)性，比較原理不成立，許多基于比較原理的單調(diào)性方法失效，例如擠壓技術(shù)、加權(quán)能量法結(jié)合比較原理等。LIN 等［14］利用加權(quán)能量法結(jié)合連續(xù)性方法，研究了一類非擬單調(diào)時(shí)滯Nicholson's 標(biāo)量方程非臨界波速下單穩(wěn)行波解的指數(shù)穩(wěn)定性。隨后，CHERN 等［15］利用反加權(quán)技巧、加權(quán)能量法結(jié)合連續(xù)性方法，研究了一類非擬單調(diào)的Laplace 擴(kuò)散時(shí)滯標(biāo)量方程臨界波速下單穩(wěn)行波解的漸近穩(wěn)定性（不含具體衰減率）。上述文獻(xiàn)得到的均為時(shí)滯標(biāo)量方程小初始擾動(dòng)（非）臨界波速下單穩(wěn)行波解的局部穩(wěn)定性結(jié)果。MEI 等［16］利用反加權(quán)能量法結(jié)合傅里葉變換，同時(shí)建立了一類時(shí)滯Laplace 擴(kuò)散標(biāo)量方程單穩(wěn)行波解（無論其單調(diào)與否）大初始擾動(dòng)非臨界波速下的全局指數(shù)穩(wěn)定性和臨界波速下的全局代數(shù)穩(wěn)定性。此后，ZHANG［17］將MEI 等［16］的結(jié)果推廣至空間非局部的時(shí)滯非局部擴(kuò)散標(biāo)量方程，MA 等［18］和SU 等［19］將該方法分別運(yùn)用于擬單調(diào)的時(shí)滯非局部擴(kuò)散系統(tǒng)和非擬單調(diào)的時(shí)滯Laplace 擴(kuò)散系統(tǒng)。

受上述工作的啟發(fā)，筆者嘗試同時(shí)建立如式（4）所示的非臨界和臨界波速下單穩(wěn)行波解的全局穩(wěn)定性。但是，由于式（4）反應(yīng)項(xiàng)中的耦合項(xiàng)（雙線性函數(shù)）較為特殊：其任一變?cè)亩A偏導(dǎo)均為0，從而無法保證其一階偏導(dǎo)的有界性，故無法直接建立擾動(dòng)系統(tǒng)初值問題解的全局存在唯一性，因此需利用迭代技巧建立解的局部存在唯一性，但這需要小初始擾動(dòng)條件。此外，式（4）反應(yīng)項(xiàng)中耦合項(xiàng)的特殊性，導(dǎo)致同時(shí)建立非臨界和臨界波速下單穩(wěn)行波解的反加權(quán)能量法結(jié)合Fourier 變換失效。因此首先，利用迭代法建立式（4）相應(yīng)擾動(dòng)系統(tǒng)解的局部存在性；其次，借助加權(quán)能量法得到式（4）相應(yīng)擾動(dòng)系統(tǒng)局部解的衰減估計(jì)；最后，將式（4）相應(yīng)擾動(dòng)系統(tǒng)的局部解延拓至全空間，從而得到式（4）非臨界波速下單穩(wěn)行波解的局部指數(shù)穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)論

首先，給出所需的假設(shè)條件。

(J1) J∈C1(R)，J(x) ≥ 0，J(x)=J(-x)，∫RJ (x)dx=1，且J 具有緊支集。

(J2) 存在 λM∈(0，+∞)，使得對(duì)任意的λ∈[0，λM)，有

其次，工作空間及記號(hào)約定如下：C ＞0 為萬有常數(shù)，Ci＞0，i=0，1，…，為特定的常數(shù)。I 表示區(qū)間，L2(I)為由定義在I 上的平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，為加權(quán)L2(I)空間。Hk(I)為由定義在I上且其j(j=0，1，…，k)階導(dǎo)數(shù)是由L2(I)空間內(nèi)的Lebesgue 平方可積函數(shù)構(gòu)成的索伯列夫空間，為加權(quán)索伯列夫空間，加權(quán)函數(shù)ω(x)＞0。的范數(shù)定義為

令T ＞0，B 為Banach 空間。C([0，T] ；B)表示由定義在[0，T]上的B-值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間，L2([0，T] ；B)表示由定義在[0，T]上的B-值平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，類似于由相應(yīng)[0，+∞)上的B-值函數(shù)構(gòu)成的空間定義。

注意到，式（4）有2 個(gè)平衡點(diǎn)：

其中，S0，V0，R0，S*，V*，I*，R*均為正常數(shù)。式（4）連接2 個(gè)平衡點(diǎn)U-和U+的行波解Φi(ξ)=Φi(x+ct)，其中，ξ=x+ct，i=1，2，3，4 滿足：

其中，c 為行波解的波速。

另假設(shè)式（4）滿足初始條件：

命題1（行波解的存在性［20］） 假設(shè)?0：=且條件(J1)和(J2)成立，則對(duì)任意的c ≥c*，式（4）存在行波解，其中c*＞0，λ*=λ(c*)＞0，且Δ(λ*，c*)=0，，

當(dāng)c ＞c*時(shí)，Δ(λ，c)=0 有2 個(gè)不同的正實(shí)根λ1和λ2；當(dāng)c=c*時(shí)，Δ(λ，c)=0 有2 個(gè)相同的正實(shí)根λ*；當(dāng)c ＜c*時(shí)，Δ(λ，c)=0 無實(shí)根。

定義加權(quán)函數(shù)：

其中，ξ0?1，λ∈(λ1，λ2)。

定理1（行波解的穩(wěn)定性） 假設(shè)τ∈(0，τ0)，其中τ0為正常數(shù)，且條件(J1)和(J2)成立。若c 滿足

初始擾動(dòng)滿足

其中，0 ＜T ≤∞。

下面，建立式（4）的擾動(dòng)系統(tǒng)，令ξ=x+ct，且

定義空間X(-τ，T)為

方便起見，給出以下記號(hào)：

其中，V=：（V1(ξ，t)，V2(ξ，t)，V3(ξ，t)，V4(ξ，t)），且T ＞0，從而可得定理1 的等價(jià)定理，即

定理2假設(shè)τ∈(0，τ0)，其中τ0為正常數(shù)，且條件(J1)和(J2)成立。若c 滿足式（8），且初始擾動(dòng)滿足

2 主要結(jié)論的證明

引理1（局部存在性）在定理2 的假設(shè)條件下，對(duì)于滿足c ＞c*的行波解Φi(x+ct)=Φi(ξ)，i=1，2，3，4，若初始擾動(dòng)滿足 (V10(ξ)，V20(ξ)，V30(ξ，s)，V40(ξ))∈X(-τ，0)且MV(0)≤δ1，則存在一個(gè)充分小的t0=t0(δ1)＞0，使得式（12）的解Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)∈X(-τ，t0) 關(guān)于t∈[-τi，t0]局部存在且唯一，且存在常數(shù)m0＞1，使得MV(t0)≤m0MV(0)，其中τ1=τ2=τ4=0，τ3=τ。

證明證明是平凡的，可以利用單調(diào)迭代技巧證明［21］。與以往工作不同的是，這里只需證明局部解

取充分大的正數(shù)m1，m2，m3，m4＞0，使得α+μ1+m1＞?，γ1+μ2+m2＞?，γ+μ3+m3＞?，其中?為正常數(shù)。令b1=α+μ1+m1，b2=γ1+μ1+m2，

由式（14）～式（17），可得

由文獻(xiàn)［17］中的引理2.1 和注記2.1，知Si(ξ，t)為初值問題：

的基本解，且‖Si(t)‖L1(R)≤3，i=1，2，3，4，其中δ(·)為Dirac 函數(shù)。由式（18）～式（21），可得

由Fatou 引理，可知

類似地，可得

另外，標(biāo)準(zhǔn)的能量估計(jì)：

由式（18）～式（21），可知

結(jié)合式（26）和式（27），可知

因此，若0 ＜t0?1 且

證畢！

為研究式（4）單穩(wěn)行波解的穩(wěn)定性，需建立式（12）的解（擾動(dòng)解）的先驗(yàn)估計(jì)。

定義

引理2令ω(ξ)為式（7）中定義的加權(quán)函數(shù)，若式（8）成立，則當(dāng) ξ∈R，0＜μ＜μ'：=時(shí)，有

證明由式（7），可知ω(ξ)=e-λ(ξ-ξ0)，ξ0?1。注意到，故

引理3（先驗(yàn)估計(jì)）令 V(ξ，t)：=(V1(ξ，t)，V2(ξ，t)，V3(ξ，t)，V4(ξ，t))∈X(-τ，T)為式（12）的局部解，則存在與常數(shù)T ＞0 無關(guān)的且均大于1的正常數(shù)δ2，μ和C，使得當(dāng)MV(T)≤δ2時(shí)，

引理4令Vi(ξ，t)∈X(-τ，T)，則存在正常數(shù)δ2，μ，使得當(dāng)0 ＜μ ＜μ'且MV(T)?1 時(shí)，有

證明對(duì)式（12）的第1 個(gè)方程兩邊同乘以e2μtω(ξ)V1(ξ，t)，得

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算，可驗(yàn)證形如g(y1，y2)=β1y1y2的二元函數(shù)的n(n ≥3)階導(dǎo)數(shù)均為0，故由Taylor 公式和Cauchy-Schwarz 不等式，知

將式（35）代入式（34），得

對(duì)式（37）左邊第4 項(xiàng)運(yùn)用Cauchy-Schwarz 不等式，得

將式（38）代入式（37），得

類似地，對(duì)式（12）的第2～4 個(gè)方程分別進(jìn)行能量估計(jì)，可得

此外，參照文獻(xiàn)［9］，對(duì)i=1，2，3，4，由Cauchy-Schwarz 不等式，可知

將式（43）分別代入式（39）～式（42），可得

類似地，有

將式（49）～式（51）代入式（48），可得

因?yàn)镸V(T)?1，且對(duì)ξ∈R，有Ai，μ，ω(ξ)＞0，i=1，2，3，4。因此，存在正常數(shù)δ3，δ4，δ5，使得

令δ2=：min {δ3，δ4，δ5}，則當(dāng)MV(T)≤δ2時(shí)，有

于是，得到能量估計(jì)：

若MV(T)≤δ2，首先對(duì)式（12）關(guān)于ξ求導(dǎo)，然后對(duì)式（12）的前 4 個(gè)方程兩邊分 別乘以 e2μtω(ξ)× V1ξ(ξ，t)，e2μtω(ξ) V2ξ(ξ，t)，e2μtω(ξ) V3ξ(ξ，t) 和e2μtω(ξ)V4ξ(ξ，t)，并對(duì)所得結(jié)果關(guān)于(ξ，t) 在R [0，t]上積分。類似式（53）的分析過程，可得第2個(gè)能量估計(jì)：

最后，結(jié)合式（53）和式（54），可得

證畢！

引理5令，則，且

證明證明過程與文獻(xiàn)［4］類似，此證略。

此外，還需建立Vi(ξ，t)，i=1，2，3，4在ξ=+∞處的指數(shù)衰減估計(jì)。因?yàn)閂i(ξ，t)∈Cunif[-τi，T]，所以關(guān)于t∈[0，T] 一致存在，且當(dāng)t∈[0，T] 時(shí)，有。令，i=1，2，3，4，則滿足

式（58）相應(yīng)的線性系統(tǒng)為

其中，P=A+B。根據(jù)β1和β2的定義，顯然β1≥β2（接種疫苗個(gè)體的感染率低于未接種疫苗個(gè)體的感染率）。利用Hurwitz 判據(jù)，驗(yàn)證矩陣P 的所有特征值均有負(fù)實(shí)部。

由文獻(xiàn)［4］中的引理3.8，可知存在正常數(shù)?，使得

又由Vi(i=1，2，3，4)的連續(xù)性和一致收斂性，不難得到

引理6若τ∈(0，τ0)，則存在正常數(shù)?和充分大的ξ0?1（與t 無關(guān)），使得

選擇滿足0 ＜μ ≤min {?，μ'}的μ，結(jié)合引理5和引理6，可證得引理3。

定理2 的證明正常數(shù)δ2，μ 和C 均大于1，且與常數(shù)T ＞0 無關(guān)。令

由引理1，可知存在t0=t0(δ1)＞0，使得V(ξ，t)∈ X(-τ，t0)。根據(jù)δ0，δ1的選取，可知MV(t0)≤δ2。

首先，利用引理 3 建立當(dāng) t∈[0，t0] 時(shí)Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)的指數(shù)衰減估計(jì)式式（32）。

其次，將式（12）的初始數(shù)據(jù)替換為

再次利用引理1，證明當(dāng)t∈[t0，2t0]時(shí)新的初值問題解的存在性，即V(ξ，t)∈X(-τ，2t0)，由引理3，可得當(dāng)t∈[0，2t0]時(shí)Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)的指數(shù)衰減估計(jì)式式（32）。重復(fù)上述過程，可得V(ξ，t)∈X(-τ，∞)，且當(dāng)t∈[0，∞)時(shí)，Vi(ξ，t)滿足指數(shù)衰減估計(jì)式式（32）。

最后，由引理1 和引理3，可得定理2。

證畢！