徐守軍

古有朱熹《觀書有感》云：“半畝方塘一鑒開，開光云影共徘徊.問渠那得清如許，為有源頭活水來.”筆者結(jié)合自身輔導(dǎo)競賽的經(jīng)歷，一直在思考，如何讓課堂清新如許，學(xué)生心有靈犀？競賽試題難度上高于高考，卻離不開高考，技巧性強(qiáng)，但大多數(shù)時(shí)候最后落葉歸根，追本溯源，都可以回歸到高考試題的常規(guī)解法中，細(xì)細(xì)體會，讓思維可視化，還可以撥開云霧，看透實(shí)質(zhì)，使得問題原形畢現(xiàn).本文以一道2018年浙江預(yù)賽試題為例予以探析.

2.2 知識關(guān)聯(lián)可視化

由上述解法可以看出，解法一的核心是使用了極化恒等式，這是泛函分析中的一個(gè)概念：設(shè)（X，（·，·））是內(nèi)積空間，則對任意x，y∈X，有（x，y）=14＼[‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2＼].在實(shí)數(shù)域內(nèi)，等式右邊后面兩項(xiàng)為零，歐式空間中，內(nèi)積可誘導(dǎo)出向量的“長度”當(dāng)知識儲備不完善，方法技巧不熟悉的情況下，極化恒等式是比較難想到，是否有更加普遍的解法可以解決問題.一般地，涉及到內(nèi)積，必定涉及到兩個(gè)向量的模長與夾角的余弦值，與余弦定理有緊密的聯(lián)系，求取值范圍方法甚多，不等式、線性規(guī)劃都是不容忽略的手段.

2.3 題目探源可視化

在2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中有這樣一道題：在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，邊DC上（包含點(diǎn)D、C）的動點(diǎn)P與CB延長線上（包含點(diǎn)B）的動點(diǎn)Q滿足|DP|=|BQ|，則向量PA與向量PQ的數(shù)量積的最小值.

對于這種問題，涉及到平面上矩形內(nèi)部求內(nèi)積的動點(diǎn)問題，學(xué)生會首先想到建立平面直角坐標(biāo)系.這是常用的方法，建系設(shè)點(diǎn)，利用函數(shù)的觀點(diǎn)求最值.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生對于本文中的這道預(yù)賽題就會有新的體會，可以給出下列解法：

如圖4，以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，垂直AB方向y為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

依題意可知，P到AB的距離不小于3，S△PAB=12PA·PB·sin∠APB.

設(shè)PA=a，PB=b，∠APB=θ，則S△PAB=12abcosθtanθ.

∴abcosθ=2Stanθ.要使PA·PB的最小，則abcosθ要最小，則S△PAB盡可能小，θ要盡可能大.

由于底邊長AB已定，則AB邊上的高盡可能小，最小值為3.

∴P在y=3這條直線上，且位于AB的中垂線上即可.解得P的坐標(biāo)為（5，3）.

到此，問題的本質(zhì)就清晰可見.就是平面上動點(diǎn)到定直線的位置關(guān)系，最后只轉(zhuǎn)變成θ一個(gè)變量進(jìn)行討論，使得問題變得簡單明了.

3.教學(xué)反思

透過現(xiàn)象看本質(zhì)是解題的基本能力和要領(lǐng).正如羅增儒老師所說：“對題目的結(jié)構(gòu)，不僅注重外形上的分析，而且注重內(nèi)容上的理解，能從一個(gè)孤立靜止的數(shù)學(xué)形式中找出關(guān)聯(lián)活動的數(shù)學(xué)內(nèi)容.方法是對內(nèi)容的理解，方法寓于概念之中.”數(shù)學(xué)競賽不僅考查學(xué)生的能力，也考查學(xué)生的思維，而數(shù)學(xué)問題萬變不離其宗，思想方法之間有千絲萬縷的聯(lián)系，在教學(xué)上不僅要教給學(xué)生解題的技巧與方法，還要教會學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會挖掘，學(xué)會把問題簡單化，把數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意從內(nèi)容的聯(lián)系上尋找解題思路，才能使思維的高度更上一層樓.