寧鎮(zhèn)宇 馮潔 李紅梅

摘? ?要：通過(guò)常規(guī)的繪圖工具繪圖和理論知識(shí)講解的方式復(fù)習(xí)平拋運(yùn)動(dòng)，學(xué)生難以深入理解平拋運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題和立體空間類(lèi)型的問(wèn)題。結(jié)合Geogebra應(yīng)用的復(fù)習(xí)課，可以將平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，通過(guò)公式的推導(dǎo)、情境的動(dòng)態(tài)分析和立體空間呈現(xiàn)，將復(fù)雜抽象的問(wèn)題以軌跡圖和3 D模型的方式展現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生構(gòu)建平拋運(yùn)動(dòng)的空間模型，降低理解難度，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：Geogebra；平拋運(yùn)動(dòng)；復(fù)習(xí)課

引言

教育部印發(fā)的《教育信息化“十三五規(guī)化”》指出教育信息化的工作要堅(jiān)持促進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的核心理念，將信息技術(shù)融入到教學(xué)和管理模式創(chuàng)新的過(guò)程中，以創(chuàng)新促發(fā)展，推動(dòng)教育服務(wù)供給方式、教學(xué)和管理模式的變革，形成中國(guó)特色的教育信息化發(fā)展路徑；而且隨著信息技術(shù)與教育教學(xué)融合進(jìn)一步深入，教師信息化教學(xué)能力、學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力和信息素養(yǎng)顯著提升，養(yǎng)成數(shù)字化學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展[ 1 ]。

Geogebra是一套結(jié)合幾何、代數(shù)、數(shù)據(jù)表、圖形、統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能，其功能強(qiáng)大，操作簡(jiǎn)單[ 2 ]。

將Geogebra軟件應(yīng)用于“平拋運(yùn)動(dòng)”的復(fù)習(xí)課中，可以將平拋運(yùn)動(dòng)直觀(guān)化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生物理觀(guān)念、科學(xué)思維的形成。

1? 課前分析

1.1? 平拋運(yùn)動(dòng)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)

復(fù)習(xí)課的教學(xué)目的是結(jié)合考試要求與學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑難問(wèn)題，重新組織教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過(guò)有針對(duì)性的問(wèn)題分析，暴露學(xué)生思維過(guò)程中的困惑，進(jìn)而對(duì)知識(shí)進(jìn)行自主重構(gòu)。

本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)：利用Geogebra將平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸納，促進(jìn)學(xué)生物理觀(guān)念的形成；利用Geogebra推導(dǎo)出平拋運(yùn)動(dòng)的公式，幫助學(xué)生構(gòu)建物理模型，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維的形成；將Geogebra的3 D模型應(yīng)用于例題的研究中，幫助學(xué)生形成空間立體模型，從而使學(xué)生進(jìn)一步掌握探究和處理問(wèn)題的能力。

2? 結(jié)合Geogebra軟件的教學(xué)過(guò)程

2.1 利用Geogebra軟件歸納總結(jié)

首先在Geogebra軟件中畫(huà)出平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖1所示；其次通過(guò)改變滑動(dòng)條v0和t，可以發(fā)現(xiàn)在Geogebra軟件中不論速度和時(shí)間如何改變，平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡始終是一條曲線(xiàn)；最后引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平拋運(yùn)動(dòng)的條件是以一定的初速度v0水平拋出，且只受重力的作用。

接著用Geogebra 軟件繪制平拋運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)圖像，體現(xiàn)“一分為二”和“化曲為直”的方法，如圖2。在繪制的圖中收集數(shù)據(jù)證據(jù)（如表1位移的變化），學(xué)生通過(guò)數(shù)據(jù)證據(jù)找出平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。

觀(guān)察表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在相等的時(shí)間內(nèi)，水平方向的位移相等，滿(mǎn)足水平方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；而在豎直方向上，發(fā)現(xiàn)連續(xù)相等時(shí)間T內(nèi)下落的高度之差都為10 cm，則滿(mǎn)足自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律中的？駐Y=gT2，所以物體在豎直上做自由落體運(yùn)動(dòng)。

設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)習(xí)課中單純采用理論知識(shí)來(lái)講解平拋運(yùn)動(dòng)，過(guò)程無(wú)趣、呆板，學(xué)生不易接受，影響學(xué)習(xí)效率。結(jié)合Geogebra軟件來(lái)復(fù)習(xí)平拋運(yùn)動(dòng)，一方面可以激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和好奇心，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)框架；另一方面通過(guò)數(shù)據(jù)證據(jù)可以加深學(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的理解以及鞏固運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)；培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究能力。

2.2 利用Geogebra推導(dǎo)公式

平拋運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)非常重要的推論：一個(gè)是速度偏向角的正切值是位移偏向角的2倍（tanα=2tanθ）；另一個(gè)是瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線(xiàn)一定通過(guò)此時(shí)水平位移的中點(diǎn)[ 3 ]。在以往教學(xué)中采用代數(shù)關(guān)系講解，過(guò)程枯燥抽象，難度較大，學(xué)生不易理解。利用Geogebra軟件可以將平拋運(yùn)動(dòng)的兩條推論通過(guò)繪圖的方式表征出來(lái)，它比黑板上繪制的圖更加規(guī)范，能顯示水平位移的中點(diǎn)、距離和速度延長(zhǎng)線(xiàn)與X軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，還能證明兩條推論在平拋運(yùn)動(dòng)的任何位置都成立，增加復(fù)習(xí)課的趣味性。如圖3和圖4所示，觀(guān)察圖3發(fā)現(xiàn)位移偏向角為53.7°用計(jì)算器得出tan（53.7°）=1.361；速度偏向角為69.83°用計(jì)算器得出tan（69.63°）=2.722，可以證明位移偏向角和速度偏向角的關(guān)系。觀(guān)察圖4發(fā)現(xiàn)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移OB是120 cm，瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線(xiàn)是I點(diǎn)，OI是60 cm，推出OB等于2倍的OI，可以證明瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與水平位移的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)Geogebra軟件來(lái)復(fù)習(xí)平拋運(yùn)動(dòng)的兩條推論，可以將平拋運(yùn)動(dòng)推論的圖像更加直觀(guān)化，學(xué)生易理解，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維的形成。

2.3? Geogebra在例題中的應(yīng)用

2.3.1 平拋運(yùn)動(dòng)中多物體拋出問(wèn)題

例題1：飛機(jī)在水平面上空的某一高度水平勻速飛行，每隔相等時(shí)間投放一個(gè)物體，如果以第一個(gè)物體a的落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、飛機(jī)飛行方向?yàn)闄M坐標(biāo)的正方向。在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系。如圖5所示是第5個(gè)物體e離開(kāi)飛機(jī)后，被拋出的5個(gè)物體（a、b、c、d、e）在空間位置的示意圖，其中不可能的是（? ? ?）。

難點(diǎn)分析：本題的難點(diǎn)是多個(gè)物體在相等時(shí)間間隔內(nèi)做平拋運(yùn)動(dòng)的落點(diǎn)分析，考察學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)分析題目的掌握程度。本題屬于平拋運(yùn)動(dòng)單點(diǎn)的知識(shí)，難度一般。

解析：采用Geogebra軟件來(lái)輔助講解這道題，首先用軟件將四個(gè)選項(xiàng)中的圖形模擬出來(lái)，其次在軟件中可以采用動(dòng)態(tài)分析來(lái)將物體的運(yùn)動(dòng)軌跡描繪出來(lái)如圖6-9，最后通過(guò)運(yùn)動(dòng)的軌跡來(lái)判斷選項(xiàng)中哪個(gè)是錯(cuò)誤的。觀(guān)察圖6可以看出它和A選項(xiàng)是一致，則A是正確的；觀(guān)察圖7看出它與選項(xiàng)C是一樣的落點(diǎn)，則C是正確的；再觀(guān)察圖8，發(fā)現(xiàn)它和D選項(xiàng)是一樣的落點(diǎn)；則D也是正確的；最終可以判定B選項(xiàng)是不可能存在的。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)Geogebra的輔助，可以將物體的軌跡和落點(diǎn)清晰地描繪出來(lái)，將原本固定的點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橐苿?dòng)的點(diǎn)，這樣便于學(xué)生更加理解平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，而且在理論知識(shí)講解和軟件的軌跡分析后，使學(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)點(diǎn)有更進(jìn)一步的理解，對(duì)今后有關(guān)動(dòng)態(tài)分析的題目有了更多的幫助，提高學(xué)生的理解能力、推理能力和分析綜合能力。

2.3.2 平拋運(yùn)動(dòng)中的圓盤(pán)問(wèn)題

例題2：如圖10所示，半徑分別為R和2R的甲、乙兩圓盤(pán)固定在同一轉(zhuǎn)軸上，距地面的高度分別為2h和h，兩物塊a、b分別置于圓盤(pán)邊緣，a、b于圓盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相等，轉(zhuǎn)軸從靜止開(kāi)始緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，a離開(kāi)盤(pán)甲后未與圓盤(pán)乙發(fā)生碰撞，重力加速度g，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則（? ? ）。

A.動(dòng)摩擦因數(shù)μ一定大于

B.離開(kāi)圓盤(pán)前，a所受的摩擦力方向一定與速度方向相同

C.離開(kāi)圓盤(pán)落地時(shí)，a、b運(yùn)動(dòng)的水平位移相等

D.離開(kāi)圓盤(pán)落地時(shí)，a、b到轉(zhuǎn)軸的距離相等

難點(diǎn)分析：本題的難點(diǎn)是圓盤(pán)在做圓周運(yùn)動(dòng)同時(shí)物體還在圓盤(pán)上做平拋運(yùn)動(dòng)，考察學(xué)生對(duì)物體在兩種運(yùn)動(dòng)情況下的動(dòng)態(tài)分析，一方面要考慮物體在做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，另一方面還要考慮圓盤(pán)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)物體的影響。屬于兩種運(yùn)動(dòng)結(jié)合的題目，難度中等。

解析：從題目中已知甲、乙兩個(gè)圓盤(pán)的角速度相等，在轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)后兩個(gè)物塊將做平拋運(yùn)動(dòng)且a不會(huì)落在乙圓盤(pán)上。采用物理方面的知識(shí)和結(jié)合Geogebra軟件來(lái)解決該題。

對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，已知圓盤(pán)甲做圓周運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)a剛好離開(kāi)圓盤(pán)甲時(shí)有μmg=m，剛好a離開(kāi)盤(pán)甲后開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，有h=gt2，x=vt；而且還已知a離開(kāi)盤(pán)甲后未與圓盤(pán)乙發(fā)生碰撞，則可以根據(jù)Geogenbra軟件畫(huà)出a點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)和未與乙碰撞的3 D模型。如圖11、12所示，由圖中可以觀(guān)察到x是物塊a的水平位移，M點(diǎn)是Ob的中點(diǎn)，則根據(jù)勾股定理得出R2+x2≥（2R）2，最終根據(jù)三個(gè)式子得出μ≥，所以A是正確的。

對(duì)于B選項(xiàng)：發(fā)現(xiàn)圓盤(pán)在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)轭}目中說(shuō)轉(zhuǎn)軸是從靜止開(kāi)始緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則物塊a的速度是圍著圓盤(pán)運(yùn)動(dòng)的切線(xiàn)方向，而物塊的摩擦力是與切線(xiàn)方向是相反的，所以B選項(xiàng)不正確。

對(duì)于選項(xiàng)C，利用Geogebra畫(huà)出a、b的運(yùn)動(dòng)軌跡圖13、14，通過(guò)軌跡圖，可以利用平拋運(yùn)動(dòng)的公式進(jìn)行解答，當(dāng)a離開(kāi)圓盤(pán)落地時(shí)，有μmg=m當(dāng)a離開(kāi)盤(pán)甲后做平拋運(yùn)動(dòng)有2h=gt2，x1=v1t1則a運(yùn)動(dòng)的水平位移為x1=2，利用同樣的方法可以得出b的水平位移為x2=2，所以C選項(xiàng)是正確的。

對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)軟件繪畫(huà)出的3 D模型進(jìn)行分析如圖15，從圖中可以發(fā)現(xiàn)a、b到軸的距離是不相等。因?yàn)閍、b到轉(zhuǎn)軸的距離為L(zhǎng)=R2+x，L=（2R2）2+x，所以離開(kāi)圓盤(pán)落地時(shí)，a、b到轉(zhuǎn)軸的距離不相等。

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合Geogebra軟件的3 D模型，可以將物體做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡展現(xiàn)出來(lái)，并且通過(guò)正面和側(cè)面的3 D模型來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以讓學(xué)生更加直觀(guān)化，進(jìn)而讓學(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)點(diǎn)有了進(jìn)一步的加強(qiáng)，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

2.3.3 平拋運(yùn)動(dòng)中臨界問(wèn)題

例題3：一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺(tái)如圖16所示。水平臺(tái)面的長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)1和L2，中間球網(wǎng)高度為h。發(fā)射機(jī)安裝于臺(tái)面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距桌面高度3 h。不計(jì)空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過(guò)選擇合適的方向，就能使乒乓球到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，則v的最大取值范圍是（? ? ?）

難點(diǎn)分析：本題的難點(diǎn)是小球在發(fā)射過(guò)程中，落在什么位置時(shí)速度最大或是最小?？疾鞂W(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題的掌握程度，本題屬于綜合型題目，難度大。

解析：該題采用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)和Geogebra的3 D模型進(jìn)行分析就能得出結(jié)果。由題目分析和觀(guān)察3 D模型圖17，可以看出當(dāng)小球沿中線(xiàn)巧好過(guò)網(wǎng)時(shí)，速度v最??；而當(dāng)球落到臺(tái)面的兩個(gè)邊角速度v最大。由此可以計(jì)算在速度最小時(shí)有3h-h=時(shí)，=vt聯(lián)立兩公式得v1=，當(dāng)速度最大時(shí)有：=vt，3h=gt，聯(lián)立兩式得出v所以D選項(xiàng)正確。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)Goegebra軟件繪制出小球在乒乓球桌上的3 D模型，觀(guān)察小球的落點(diǎn)位置來(lái)判斷出最大速度和最小速度，進(jìn)而讓學(xué)生掌握平拋運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，做到對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)的全面應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和處理問(wèn)題的能力。

3? 總結(jié)

在復(fù)習(xí)課中運(yùn)用Geogebra軟件可以幫助學(xué)生將問(wèn)題和研究的對(duì)象更加直觀(guān)化地表現(xiàn)出來(lái)，有利于問(wèn)題的解決。從而促進(jìn)學(xué)生物理觀(guān)念、科學(xué)思維的形成。另一方面，在Geogebra的輔助功能下，學(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典例題有更深的理解，對(duì)動(dòng)態(tài)分析有了更深入的研究，而且這種可視化教學(xué)還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，營(yíng)造良好的課堂氛圍，提高復(fù)習(xí)課的效率和教學(xué)質(zhì)量。

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