許美娟

［摘 ?要］ 搭建支架有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師可以搭建操作性支架、思維性支架、表達(dá)性支架等。要讓支架的搭建富有針對(duì)性，教師可以在教學(xué)重難點(diǎn)處、轉(zhuǎn)折點(diǎn)處、創(chuàng)新處搭建支架。直觀性、體驗(yàn)性和耦合性的支架，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)想象。作為教師，要讓支架充分發(fā)揮育人功能，彰顯育人價(jià)值。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；支架式學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)路徑

“雙減”政策的落地，要求教師真正地展開(kāi)“減負(fù)”“增效”的優(yōu)質(zhì)化、生態(tài)性的教學(xué)。搭建支架，讓學(xué)生開(kāi)展自主性、自能性學(xué)習(xí)，將學(xué)習(xí)時(shí)空、權(quán)利等真正賦予學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，是“雙減”政策背景下數(shù)學(xué)教學(xué)之應(yīng)然。支架式學(xué)習(xí)，以學(xué)生為中心、以學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”為目標(biāo)，通過(guò)支架的引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生圍繞著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)開(kāi)展，滲透相關(guān)的學(xué)習(xí)方法、思想、策略等。實(shí)踐證明，支架式教學(xué)對(duì)于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性、開(kāi)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛質(zhì)具有重要的作用。

一、有哪些支架

所謂支架，是指“在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師為了助推學(xué)生完整挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)而設(shè)計(jì)研發(fā)的一種腳手架”［１］。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，支架的類型很多，常見(jiàn)的有操作性支架、思維性支架、表達(dá)性支架等。其中，有些支架能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)部認(rèn)知，如思維性支架，有些支架能促進(jìn)學(xué)生的外部活動(dòng)，如操作性支架等。不同的支架，在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中發(fā)揮著不同的功能。作為教師，要深入發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科支架的功能，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科支架的意義和價(jià)值。

1. 操作性支架

操作性支架是一種最常見(jiàn)的“支架”，其搭建的目的是為了促進(jìn)學(xué)生的深度實(shí)踐活動(dòng)。操作性支架有助于提升學(xué)生的操作效能，讓學(xué)生的操作更有針對(duì)性、方向性和實(shí)效性等。比如教學(xué)“梯形的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，教師可以有意識(shí)地針對(duì)不同的推導(dǎo)方法設(shè)計(jì)研發(fā)不同的支架，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)操作。如“平行四邊形的面積是怎樣推導(dǎo)的？梯形的面積可以怎樣推導(dǎo)呢？”“三角形的面積是怎樣推導(dǎo)的？梯形的面積可以怎樣推導(dǎo)呢？”“能將梯形分成兩個(gè)三角形嗎？”等等。這樣的一種針對(duì)學(xué)生操作而搭建的語(yǔ)言支架，就是一種操作性支架。操作性支架，能提高學(xué)生的做事效率。

2. 思維性支架

相較于操作性支架，思維性支架的搭建應(yīng)當(dāng)更具啟發(fā)性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過(guò)搭建思維性支架，幫助學(xué)生規(guī)劃好思考的路線圖，然后讓學(xué)生“按圖索驥”，探尋到問(wèn)題解決的路徑、策略，形成問(wèn)題解決的方案。比如教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”，為了助推學(xué)生對(duì)“兩條小棒的長(zhǎng)度和等于第三根小棒時(shí)，3根小棒不能圍成三角形”的思考，筆者搭建了這樣的思維支架：你扔一個(gè)骨頭給小狗吃，小狗會(huì)怎樣走過(guò)去吃骨頭？在一個(gè)三角形形狀的三點(diǎn)位置上，你怎樣從其中的一點(diǎn)走到另一點(diǎn)？這樣的一種旁敲側(cè)擊的引導(dǎo)，其實(shí)搭建的就是一種思維性支架。思維性支架有助于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)迷思、相異構(gòu)想，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生一種豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，即能讓學(xué)生進(jìn)入一種頓悟狀態(tài)。

3. 表達(dá)性支架

表達(dá)性支架是支架搭建的又一種方式。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生的學(xué)習(xí)是“茶壺里煮餃子——有貨倒不出”。為此，教師可以搭建表達(dá)性支架，助推學(xué)生厘清、表達(dá)清楚自己的思維過(guò)程，從而讓學(xué)生的表達(dá)更清晰、更完整。比如教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”時(shí)，學(xué)生將圓柱的側(cè)面展開(kāi)成了長(zhǎng)方形后，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積推導(dǎo)圓柱的側(cè)面積公式。筆者就搭建了這樣的表達(dá)支架：因?yàn)閳A柱的側(cè)面積展開(kāi)是一個(gè)什么圖形，所以圓柱的側(cè)面積就是什么圖形的面積？因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于什么，而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于什么、寬相當(dāng)于什么、面積相當(dāng)于什么，所以圓柱的側(cè)面積等于什么？這樣的表達(dá)支架，讓學(xué)生的思維更加嚴(yán)密，讓學(xué)生的表達(dá)更加天衣無(wú)縫。

實(shí)踐證明，搭建支架有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生搭建支架，幫助學(xué)生在支架的牽引下進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與探究。借助支架，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷地進(jìn)階，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維逐步從低階邁向高階。要豐富支架的內(nèi)容，拓展支架的形式，讓支架能發(fā)揮更大的育人功能，彰顯更大的育人價(jià)值。

二、在哪里搭建支架

支架，能有效地發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階認(rèn)知、高階思維，助推學(xué)生形成良好的思考、探究習(xí)慣、品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生獨(dú)特心智的成長(zhǎng)，能健全學(xué)生的人格，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中搭建支架，要依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容的特質(zhì)而展開(kāi)，要觀照學(xué)生的具體學(xué)情。

1. 在學(xué)習(xí)重難點(diǎn)處搭建

在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與學(xué)生的具體學(xué)情的鏈接處、斷裂處實(shí)施，有助于讓教師的教學(xué)切入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“現(xiàn)實(shí)水平”邁向“可能水平”［２］。學(xué)科知識(shí)與學(xué)生具體學(xué)情的鏈接處、斷裂處，用人們的日常話語(yǔ)來(lái)表達(dá)就是“教學(xué)重點(diǎn)”“教學(xué)難點(diǎn)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，鎖定學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，在學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)處搭建支架，是促進(jìn)學(xué)生高效學(xué)習(xí)的作用點(diǎn)。比如教學(xué)“釘子板上的多邊形”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“控制變量法”展開(kāi)實(shí)驗(yàn)探究，搭建突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的支架，助推學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)。

支架（1）：讓多邊形的邊上的釘子數(shù)相同，變化多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，探究多邊形的面積與多邊形的邊上的釘子數(shù)的關(guān)系；

支架（2）：讓多邊形的邊上的釘子數(shù)相同，變化多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，探究多邊形的面積與多邊形的內(nèi)部的釘子數(shù)的關(guān)系；

支架（3）：概括、總結(jié)多邊形的面積與多邊形邊上的釘子數(shù)、內(nèi)部的釘子數(shù)之間的關(guān)系。

通過(guò)這樣的支架，教師可引導(dǎo)學(xué)生環(huán)環(huán)相扣、步步深入，逐步建構(gòu)、創(chuàng)造出“皮克定理”。在學(xué)習(xí)重難點(diǎn)處搭建支架，能促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地解決問(wèn)題。

2. 在學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)折點(diǎn)處搭建

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有許多不同的環(huán)節(jié)，比如導(dǎo)入階段、學(xué)習(xí)階段、作業(yè)階段、總結(jié)階段等。在課堂學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、過(guò)渡點(diǎn)處，教師可以設(shè)計(jì)研發(fā)相關(guān)的支架，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加連貫、自然。實(shí)踐證明，在學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)折處設(shè)計(jì)問(wèn)題，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)渡、想象過(guò)渡、表達(dá)過(guò)渡等，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加自然、銜接更加順暢。比如教學(xué)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體”這一部分內(nèi)容時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、理解、掌握了長(zhǎng)方體的特征后，筆者搭建了這樣的支架，助推學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)：正方體的面、棱和頂點(diǎn)有怎樣的特征呢？有長(zhǎng)方體的特征嗎？?jī)H僅有長(zhǎng)方體的特征嗎？請(qǐng)你按照長(zhǎng)方體特征的猜想、驗(yàn)證思路，猜想、驗(yàn)證正方體的特征。這樣的一個(gè)支架，有助于學(xué)生充分調(diào)動(dòng)自我學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體特征時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)正方體的特征積極主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)，并展開(kāi)積極的論證，促進(jìn)學(xué)生對(duì)正方體和長(zhǎng)方體的關(guān)系的理解。

3. 在學(xué)習(xí)創(chuàng)新處搭建

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程?！霸俳?gòu)”“再創(chuàng)造”就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種創(chuàng)新。創(chuàng)新，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力，也是學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造、建構(gòu)的確證與表征。在學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)新處搭建支架，有助于學(xué)生展開(kāi)個(gè)性化的學(xué)習(xí)，有助于培育學(xué)生的創(chuàng)新性思維品質(zhì)。比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”這一部分內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生都是通過(guò)“量角器量角的度數(shù)”“將三角形的三個(gè)角撕下來(lái)，然后拼接在一起”或者“將三角形的三個(gè)內(nèi)角折在一起”等實(shí)驗(yàn)方法來(lái)探究的。這樣的一種實(shí)驗(yàn)探究式學(xué)習(xí)，是一種感性的學(xué)習(xí)，總是不能讓學(xué)生“滿意”。有學(xué)生創(chuàng)新猜想：能否通過(guò)拼兩個(gè)三角形為長(zhǎng)方形或者平行四邊形的方法來(lái)推導(dǎo)？一石激起千層浪，這種大膽猜想引發(fā)了學(xué)生的交流。在學(xué)生的創(chuàng)新思維、創(chuàng)新想象的地方，筆者搭建了這樣的學(xué)習(xí)支架：將兩個(gè)直角三角形拼成長(zhǎng)方形，推理直角三角形的內(nèi)角和；將任意一個(gè)銳角三角形或鈍角三角形沿著高分成兩個(gè)直角三角形，推理銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和。這樣的支架，有助于學(xué)生的動(dòng)手操作、深度探究形成學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)的“作用點(diǎn)”。

支架的類型很多，包括資源性支架、程序性支架以及方法性支架等。作為教師，不僅要借助支架促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更要讓支架成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有機(jī)組成部分。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于搭建支架、樂(lè)于搭建支架，讓支架能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，能為學(xué)生的生活服務(wù)等。

三、怎樣搭建支架

在哪里搭建支架，是支架搭建的一個(gè)首當(dāng)其沖的問(wèn)題。而怎樣搭建支架，則是一個(gè)支架搭建的方法問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于搭建支架，在支架的導(dǎo)引下，豐富學(xué)生的感受與體驗(yàn)，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在魅力，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)科學(xué)習(xí)體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的無(wú)限創(chuàng)造潛質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)多元知識(shí)的理解。

1. 設(shè)置直觀性支架，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象化、符號(hào)化、概念化、公理化、形式化的。如何促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解？筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中可以創(chuàng)設(shè)直觀、形象的具體情境，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解。搭建直觀性支架，可以采用實(shí)物圖、模擬圖等形式向?qū)W生呈現(xiàn)。比如教學(xué)“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題”時(shí)，為了讓學(xué)生有效把握“量率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，筆者搭建了直觀性支架，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的理解。如“先畫(huà)哪一個(gè)量？”“題目中哪一個(gè)量是單位‘1’的量？”“再畫(huà)哪一個(gè)量？”“這個(gè)量畫(huà)得比單位‘1’的量長(zhǎng)還是短呢？為什么？”“怎樣標(biāo)注分率和具體數(shù)量？”“問(wèn)號(hào)應(yīng)當(dāng)標(biāo)注在哪里？”等等。直觀性支架的搭建，能助推學(xué)生畫(huà)出有效的線段圖，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題展開(kāi)分析，幫助學(xué)生有效地找到解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的解題思路，形成稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的解題策略。直觀性的支架搭建，能輔助學(xué)生輕松愉快地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

2. 設(shè)置體驗(yàn)性支架，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造

設(shè)置體驗(yàn)性支架，能助推學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，形成對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的感受與體驗(yàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)置體驗(yàn)性的支架，能激活學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生的多種感官協(xié)同參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造。比如教學(xué)“圓的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生受到“多邊形的面積”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的正向遷移，認(rèn)為可以將圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)的平行四邊形、三角形和梯形的面積。但在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中出現(xiàn)了相關(guān)的問(wèn)題。為此，筆者設(shè)置體驗(yàn)性的支架，引發(fā)學(xué)生的深度思考、探究?！皩A轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的圖形與以前學(xué)習(xí)多邊形面積的轉(zhuǎn)化相同嗎？有哪些不同點(diǎn)？”“怎樣才能產(chǎn)生一個(gè)角呢？從哪里剪可以產(chǎn)生一個(gè)角呢？”通過(guò)這樣的語(yǔ)言支架，能激活學(xué)生的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)探究。如有的學(xué)生認(rèn)為，可以沿著半徑剪開(kāi)，就能將圓分成一個(gè)個(gè)的小扇形；有的學(xué)生認(rèn)為如果分得細(xì)密一些，這些小扇形就近似于三角形，就產(chǎn)生了一個(gè)個(gè)的角，或許就可以將圓轉(zhuǎn)化成其他圖形了，等等。體驗(yàn)性支架，引發(fā)了學(xué)生的大膽猜想，讓學(xué)生開(kāi)展了積極的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證活動(dòng)，進(jìn)而有效地助推了學(xué)生的數(shù)學(xué)操作，讓學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造出“圓的面積”公式。

3. 設(shè)置耦合性支架，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)想象

所謂耦合性支架，是指“將數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科知識(shí)無(wú)縫對(duì)接起來(lái)”［３］。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面要把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在性特質(zhì)，另一方面要具有相關(guān)的跨學(xué)科知識(shí)、跨界知識(shí)。只有這樣，才能有效地設(shè)置耦合性支架，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中與其他相關(guān)學(xué)科、與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)等建立起“超級(jí)索引”。比如教學(xué)“蒜葉的生長(zhǎng)”這一課，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到蒜的根須、葉片生長(zhǎng)需要不同的環(huán)境，筆者在數(shù)學(xué)學(xué)科與科學(xué)學(xué)科的連接處設(shè)置耦合性支架：蒜的根須、葉片是如何生長(zhǎng)的？我們?cè)鯓硬拍苡^察到呢？蒜的根須、葉片在陽(yáng)光下還是在黑暗處生長(zhǎng)快些呢？基于這樣的問(wèn)題性支架搭建，能催生學(xué)生調(diào)動(dòng)科學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中的相關(guān)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行自主性、自能性的設(shè)計(jì)。如有學(xué)生認(rèn)為，可以用兩盆蒜放水，兩盆蒜放土，然后將其中的一盆分別放置在陽(yáng)光下和房間中。這樣的設(shè)計(jì)，有助于學(xué)生記錄根須、葉片的生長(zhǎng)等，并繪制折線統(tǒng)計(jì)圖，對(duì)根須、葉片的生長(zhǎng)條件進(jìn)行分析。

著名科學(xué)家阿基米德說(shuō)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬起整個(gè)地球?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，搭建支架，能促進(jìn)學(xué)生從數(shù)學(xué)的感性認(rèn)知過(guò)渡到理性認(rèn)知。支架式教學(xué)，有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)感知，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。設(shè)置支架，能激發(fā)學(xué)生的主題性，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)性，表現(xiàn)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性。

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［３］ 洪樹(shù)蘭. 數(shù)學(xué)“支架式教學(xué)”研究［Ｄ］. 云南師范大學(xué)，２００６.