感受位值的數(shù)學智慧

陳勝欽 程汝瑩

［摘 要］10是學生認識兩位數(shù)的開始，它的寫法涉及位值制、計數(shù)單位、十進制等概念。教學“10的認識”，要從計數(shù)單位“十”產(chǎn)生的歷史背景出發(fā)，讓學生在數(shù)數(shù)活動中認識10，知道“十”是一個計數(shù)單位，十位、個位是數(shù)位，進而理解位值的含義。

［關(guān)鍵詞］10的認識；教學實踐；十進制；位值

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0076-04

一、課前慎思

10是學生認識的第一個兩位數(shù)，它的寫法和0～9不同：它不再是用一個新的符號來表示，而是由學過的“1”和“0”這兩個數(shù)字符號組合而來的，數(shù)位是關(guān)鍵概念。對此教材是如何編排的呢？筆者對比了人教版2012版教材及2021版《生本學材》。人教版教材從數(shù)的意義、讀寫、排序、組成等對 “10”進行介紹，側(cè)重于對數(shù)的認識；而《生本學材》則突出了“十”作為計數(shù)單位的里程碑式的意義，從用1根大樹枝表示10根小樹枝，到生活中按十計數(shù)的習慣，再到用1根小棒表示十，將人類幾百年的創(chuàng)造位值制的歷史濃縮在一段教材內(nèi)，引導學生感受位值制的精妙。

作為入學不到三個月的一年級學生，他們又有怎樣的認知基礎(chǔ)呢？筆者從每個班隨機選出幾名學生進行訪談。對于問題“請你幫牧羊人計數(shù)，用一根樹枝代表1只羊，數(shù)到10只，再來1只羊，樹枝不夠了，怎么辦？”，不少學生的回答是可以找一塊石頭，或再折一根樹枝來計數(shù)，由此可見，學生的思維停留在用一個物體對應(yīng)另一個物體這種一對一的計數(shù)方法，而沒有達到“一對多”“以一當十”的水平。

這也讓筆者想到，學生在數(shù)數(shù)時，遇到的難點之一就是數(shù)到幾十九后不知道接下來怎么數(shù)。實際上，學生產(chǎn)生學習障礙最根本的原因是沒有理解十進位值制計數(shù)法的本質(zhì)：一個一個地數(shù)，每個數(shù)位上最大的數(shù)字是9，哪一位上滿十，則應(yīng)該向前一位進1。例如，數(shù)到29，再數(shù)一個，個位滿十向十位進1，個位變?yōu)榱?，十位進1變成了3，是30。掌握了這個抽象的位值思想方法，就可以此類推。因此，“10的認識”這一課的數(shù)學本質(zhì)就是要讓學生體會位值的思想。

二、教學過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新

師：同學們，我們已經(jīng)認識了好幾個數(shù)，這節(jié)課讓我們穿越時空，和古人一起來繼續(xù)學習認數(shù)吧！古代的牧羊人是怎么數(shù)羊的呢？羊圈里走出來1只羊，牧羊人就在地上擺1根樹枝。

師（課件依次出示小羊）：請一位小朋友當牧羊人來數(shù)一數(shù)羊。

生1：1只、2只、3只、4只、5只、6只、7只、8只。

師：又來了1只羊，8添上1是9，再來1只羊，9添上1是幾？

生2：9添上1是10。

【設(shè)計意圖】課件依次出示小羊，讓學生在數(shù)數(shù)的過程中，理解數(shù)的本質(zhì)，初步感受“數(shù)是一個一個地數(shù)出來的，而且一個比一個大”“9添上1就是10”。同時請一位學生上臺模擬牧羊人數(shù)羊，屏幕上每出來1只羊，學生就擺1根小樹枝，增加數(shù)數(shù)的趣味性的同時，也讓學生體驗一一計數(shù)的方法。

2.實踐操作，探究新知

（1）在數(shù)數(shù)中發(fā)展數(shù)感

師：大家都來當一當牧羊人吧！如果用一個圓片表示一只羊，應(yīng)該擺幾個呢？請你們從盒子里拿出圓片，快速地在桌子上擺一擺。

師：你擺了幾個圓片來表示小羊的只數(shù)？

生3：10個。

師：我們一起來數(shù)一數(shù)，看看有沒有擺對。

生（齊）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

師：很準確，剛剛我們是一個一個地數(shù)，還可以怎么數(shù)呢？

生4（邊擺圓片邊數(shù)）：可以兩個兩個地數(shù)，2、4、6、8、10。

生5：10里面有5個2。

生6：三個三個地數(shù)，3、6、9，另外多出1個，一起是10。

生7：我能五個五個地數(shù)，是5、10。

師：請大家像生7這樣五個五個地數(shù)圓片，看10里面有幾個5？

生8：10里面有2個5。

【設(shè)計意圖】用半抽象的圓片表示數(shù)，讓學生完整經(jīng)歷從實物到抽象的過程。用不同方法數(shù)出10，豐富了學生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗，在數(shù)數(shù)中發(fā)展學生的數(shù)感。

（2）學習10的組成

師（出示圖1）：10只羊和10個圓片成了好朋友，圖上還有什么可以跟10個圓片做好朋友？你是怎么看出10個的？

生9：我看到了10個橙子，左邊3個右邊7個。

師：觀察得真仔細，左邊3個與右邊7個合成10。

生10：我還看到了10個蘋果，4和6合成10。

生11：我還看到了10朵花，8和2合成10。

生12：還有10個梨，5和5合成10。

師：蘋果、橙子、梨、花，它們的形狀相同嗎？大小、顏色呢？

生13：都不相同。

師：那為什么它們都可以和10個圓片做好朋友？

生14：因為它們都是10個。

師：正如同學們所說，因為它們的數(shù)量都是10，所以它們都是10的好朋友。

【設(shè)計意圖】圖1上的蘋果、梨、橙子、花的數(shù)量都指向10的組成。讓學生觀察圖片，找10個圓片的好朋友，學生能感受10是物體個數(shù)為10的集合標記，感受數(shù)是對數(shù)量的抽象。

（3）學習按群計數(shù)

師：我們在這兒數(shù)數(shù)，羊圈里的小羊們可著急了，它們也想和大家一起玩。這時，又出來1只羊，一共有11只羊了，可是現(xiàn)在沒有小樹枝了，牧羊人該怎么計數(shù)呢？

生15：用1個蘋果代替1只羊。

生16：用1塊石頭代替1只羊。

師：你們想到的方法都是找一個其他物品代替1只羊。古人跟你們一樣，也找了一個物品—— 一根大樹枝，不過是用大樹枝代替這里的10根小樹枝，再拿出一根小樹枝，就表示了11只羊。

師：你覺得誰的方法更好呢？

生17：我覺得古人的方法很好，用一根大樹枝表示10，我能很快知道有多少只羊。

師：誰再說一說，古人是怎么用這個大樹枝表示11只羊的呢？

生18：用1根大樹枝代替10根小樹枝，再加上1根小樹枝。

師：10根樹枝、10個圓片，還有這1根大樹枝，都可以用數(shù)字10來表示，這就是我們今天要認識的新朋友（把“10”貼在黑板上）。10跟以前我們學的數(shù)有什么不一樣的地方？

生19：10是由1和0兩個數(shù)字組成的，以前學的數(shù)是一個數(shù)字。

師：是的，10是我們學的第一個兩位數(shù)。10的左邊是1，右邊是0，合起來讀“十”，今天我們就一起來認識10。

【設(shè)計意圖】用1根大樹枝代替10根小樹枝，讓學生經(jīng)歷從“一一計數(shù)”到“按群計數(shù)”的過程。

（4）感受計數(shù)單位“一”和“十”之間的十進關(guān)系

師：我們的學具——小棒也想和10做朋友，請從你的學具盒子里數(shù)出10根小棒。老師跟你們一起數(shù)，比比誰數(shù)得快！10根小棒數(shù)了幾次？

生（齊）：10次。

師：一根小棒是1個一，你們數(shù)了幾個一？

生（齊）：10個一。

師（貼1捆小棒）：10個一就是10，為了讓人一眼看出它是10，把它們捆在一起，這一捆就表示1個十。

師：現(xiàn)在把1捆小棒拆開，它是10個一，再把它捆起來，它是1個十，數(shù)量沒變，那我們就說10個一是1個十。

【設(shè)計意圖】學生經(jīng)歷玩小棒活動，把10個一變成1個十，又把1個十變成10個一。在變的過程中，學生深刻理解10個一就是1個十，感知計數(shù)單位“一”和“十”的關(guān)系。

（5）初步感知位值

師：剛才我們把10根小棒捆成一捆，用一捆來表示十。聰明的古人也用1根小棒表示了10，你們能猜到他們是用什么方法表示10的嗎？

生20：在小棒上貼1個“十”字。

生21：把小棒切成10段。

生22：在后面加個0。

生23：把小棒擺在不同的位置。

師（出示圖3）：聰明的古人把1根小棒放在右邊的竹筒，表示1個一；把1根小棒放在左邊的竹筒，表示1個十。

師：后來，人們用珠子代替小棒，計數(shù)時把珠子擺在不同的位置表示不同的數(shù)，根據(jù)這個原理，后來人們就發(fā)明了的計數(shù)器。

師（邊撥計數(shù)器的算珠邊問學生）：老師這里有一個計數(shù)器，我們一起來數(shù)一數(shù)。我們在這一位上撥的算珠每顆都表示1個一，所以這一位就叫作“個位”。1個十怎么表示？

生24：在十位上撥1顆算珠。

師：個位上的10個一表示10，十位上撥1顆算珠是1個十，也表示10，哪種方法更簡便？

生25：1個十。

師：在十位上撥的算珠每顆都表示1個十，我們把它叫作“十位”。

師（在田字格里示范寫10）：10這樣寫。1后面為什么要加個0？

生26：因為個位上的10顆算珠變成了十位上的1顆算珠，所以個位上就變成了0。

師：0可以省略不寫嗎？

生27：不可以，不寫0的話，10就變成了1。

【設(shè)計意圖】從十進制到位值制經(jīng)歷了漫長的過程，這部分的學習對學生來說也是一個難點?！霸鯓佑?根小棒來表示10”學生根據(jù)已有知識和經(jīng)驗進行討論交流，想出可以把小棒放在不同的位置，進而教師引出計數(shù)器這個學具，并用其直觀地表示“十位”“個位”作為數(shù)位，且“十”“一”作為計數(shù)單位的含義。

3.對比關(guān)聯(lián)，感受位值的精妙與簡潔

師：我們跟著古人一起學習了計數(shù)的方法，還認識了一個新朋友——10，你能從圖4的每一組框里找到10嗎？

（課件出示圖4）

生28：大樹枝是10，小樹枝是1。

師：大樹枝是用幾根小樹枝換來的呢？

生29：10根。

師：在這里，我們是根據(jù)樹枝的大小來區(qū)分1和10。

生30：一捆小棒也是10。

生31：計數(shù)器十位上的1顆算珠也是10。

師：算珠的大小、數(shù)量一樣，為什么同樣的算珠表示的意思卻不同呢？

生32：因為這兩顆算珠所在的位置不同，右邊計數(shù)器中的算珠在個位，左邊計數(shù)器的算珠在十位。

師：你說得太好了！同樣的一顆算珠，放在個位就表示1個一，放在十位就表示1個十，算珠所在的位置不同，表示的數(shù)量不一樣。

【設(shè)計意圖】從用1根大樹枝表示十，到用1捆小棒表示十，再到計數(shù)器十位上的1顆算珠表示十，學生在對比與關(guān)聯(lián)中體會位值制的簡潔與精妙。

三、教學反思

學生在上小學之前已經(jīng)會認讀10，但僅僅是從表面上認識。如何讓學生從本質(zhì)上認識10呢？0～9各數(shù)是一位數(shù)，只有個位，而10是兩位數(shù)，有個位和十位兩個數(shù)位，學生認識10不僅要經(jīng)歷數(shù)量到數(shù)的抽象過程，更重要的是理解數(shù)位、發(fā)展數(shù)感。

1.經(jīng)歷數(shù)的抽象過程

數(shù)是對數(shù)量的抽象，本課遵循“具體—半抽象—抽象（符號）—具體”的學生認知規(guī)律設(shè)計教學活動，由小羊、蘋果、梨子、橘子、花的數(shù)量，抽象出10個圓片組成的點子圖，讓學生思考后發(fā)現(xiàn)它們的共同點是數(shù)量相同，進而明確“雖然數(shù)的事物不同，只要數(shù)量相同，都可以用同樣數(shù)量的點子圖表示”，滲透“10是物體個數(shù)為10的集合的標記”的含義，接著回到“具體”——數(shù)出10根小棒并捆成一捆，進一步加深學生對10的認識。本課的教學活動讓學生完整地經(jīng)歷了數(shù)的抽象過程。

2.培養(yǎng)學生的數(shù)感

“10的認識”的學習，承載著培養(yǎng)數(shù)感的重任。這節(jié)課安排了大量的活動幫助學生建立數(shù)感。

“數(shù)”出數(shù)感。數(shù)羊，一個一個、兩個兩個、五個五個地數(shù)小圓片；數(shù)小棒、在計數(shù)器上數(shù)，不同材料、不同形式，數(shù)數(shù)的活動達到10次以上，充分地“數(shù)”能很好地讓學生感知10這個符號對應(yīng)的數(shù)量是多少。

“看”出數(shù)感。牧場里的蘋果、梨、橙子、花數(shù)量都是10，學生在觀察圖片的過程中能形成10有多少的直覺。

“玩”出數(shù)感。玩小棒，把10個一變成1個十，又把1個十變成10個一，學生能在玩的過程中感知計數(shù)單位“一”和“十”的關(guān)系，建立進率的概念。

3.感受位值的數(shù)學智慧

為什么表示10時沒有再用新的數(shù)字，而是從0～9中選擇0和1這兩個數(shù)字呢？這里蘊含著我們祖先計數(shù)的數(shù)學智慧——位值。如何讓剛?cè)雽W三個多月的一年級學生也能感受這一智慧，教學中設(shè)計了挑戰(zhàn)性任務(wù)。

任務(wù)1：怎么表示11只羊呢？當學生想不出辦法時，教師提示“古人用1根大樹枝表示十”，再引導“用1根大樹枝加1根小樹枝表示11，和你們不斷地找新物品來代替，兩種方法哪種更好？好在哪里？”。

任務(wù)2：怎么用1根小棒表示10？當學生想不出辦法時，教師提示“可以通過把小棒擺在不同位置來表示10”，再引導“用1根小棒表示10，用1捆小棒表示10，哪個更好？好在哪里？”。

任務(wù)3：為什么同樣一顆算珠，大小、多少都一樣，卻能表示10？有了前面兩次的比較，可以看到學生在回答這個問題時是非常順暢的，說明位值在他們心中已經(jīng)烙下了深深的印記，學生能充分地感知位值制的簡潔美。

在這樣的教學活動中，學生完整經(jīng)歷了數(shù)的抽象過程，體會了位值的簡潔與精妙，形成初步的數(shù)感。

（責編 楊偲培）