金 毅

(呼和浩特市第二中學,內蒙古 呼和浩特 010000)

2023年新高考數學Ⅱ卷立足基礎、考查能力,突出強調對基本知識和基本概念的靈活掌握,注重考查學科知識的綜合應用能力. 接下來,我們以試卷中的第21題為代表,深度探析其解法和背景.

1 問題呈現

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P,證明點P在定直線上.

當我們準備將韋達定理代入的時候,發(fā)現xP的表達式中,y1,y2變元結構并不對稱,計算的困難由此產生,這就是圓錐曲線中的“非對稱結構”,下面我們給出解決這種問題的方案,并進一步討論解法上的改進.

圖1 新高考Ⅱ卷數學21題圖

2 不對稱結構解決方案的探討

2.1 尋找和積關系,化復雜為簡單

綜上,點P在直線x=-1上.

2.2 尋找代換關系,減少變元個數

點評以上兩種方案,是基于不對稱的代數結構,在代數運算上給出的具體策略. 方案1將乘積化為和的關系,便于和其它項進一步運算,最終得到定值;方案2則是消去其中一個未知數,減少未知數的個數,更加容易做后續(xù)運算,發(fā)現表達式的規(guī)律,最后整體相除得到定值. 這兩種運算方法靈活運用了韋達定理,展示了韋達定理除了整體代換之外另一個層面的運用. 接下來,我們將進一步改進對這個問題的解決思路,進一步優(yōu)化計算.

2.3 尋找斜率關系,簡化直線方程

=-12.

可得點P在直線x=-1.

點評方案3有很強的實戰(zhàn)性. 根據直線MN過定點,推出直線MA1與NA1的斜率乘積為定值,在計算的過程中,關于未知數y1,y2的結構是對稱的. 再結合雙曲線第三定義,得到斜率之間的比為定值. 這樣做的結果就是簡化了直線NA2與直線MA1的形式,便于聯立,大大減少了計算量,回避了非對稱結構的復雜運算.

2.4 尋找定比向量,簡化運算過程

①

②

點評本解法充分考慮向量共線,設定比為λ,再結合雙曲線的定比點差法,解出M,N縱坐標的值,在不用韋達定理的情況下,直接代入求得定值.

2.5 巧用參數方程,恒等代換求值

③

將M,N坐標代入表達式

根據表達式③,可得

=-1.

3 對試題背景的探討

3.1 極點極線的試題背景

文[1]對結論1用初等的曲線系方法已經給出了詳細的證明,因篇幅所限,此處不再贅述. 此時稱U為極點,VP為U關于圓錐曲線f的極線.

圖2 結論1 極點與極線

類似于文獻[1]的證法,可得到結論2.

此時稱點P為極點,UV為點P關于圓錐曲線f的極線.

從結論1、2可以看出,極點可以在曲線外,可以在曲線內,也可以在曲線上. 當極點在曲線上時,極線為圓錐曲線f在這一點處的切線.

3.2 基于極點極線理論的變式探究

點評結論4中,令m=-4,a=2,b=4即得到2023年新高考Ⅱ卷21題. 結論5是對結論4情況的補充. 結論4,5均可用本文的方案1至5進行證明.

2023年新高考Ⅱ卷第21題基于極點與極線的深刻背景,考查學生的數學運算能力與邏輯推理能力,問題的切入點多樣化,解法不唯一,是一道深刻考查數學核心素養(yǎng)的好題. 題目的素材是雙曲線,相比橢圓來說,在考場上做題會感到更陌生,更具有挑戰(zhàn)性. 坐標法是解決解析幾何問題的主要方法,是解決解析問題的通法,它體現著數形結合的思想,從幾何和代數兩個方面體現著數學的無窮魅力[2]. 在平常的高三復習中,一方面要盡可能理解知識背景,另一方面是用好基本方法處理復雜問題,特別是要對比各個基本方法之間的優(yōu)勢與不足,這樣才能真正做到學以致用.