利用幾何畫板可視化工具突破“圓周角”教學(xué)難點(diǎn)

劉菁華

(福建省建甌市第四中學(xué),福建 南平 353100)

在初中數(shù)學(xué)幾何課堂上遇到幾何知識中的動(dòng)點(diǎn)問題時(shí),要求初中學(xué)生具有較高的空間想象能力和思維能力.傳統(tǒng)的授課模式是由教師“手工”在黑板上畫出靜態(tài)的圖形進(jìn)行講解,對于那些缺乏空間想象力的同學(xué)就容易產(chǎn)生畏難情緒進(jìn)而失去學(xué)習(xí)興趣.如果在幾何課堂上運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行教學(xué),課堂情況就和傳統(tǒng)課堂完全不一樣了,它能夠準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)幾何問題,讓學(xué)生在直觀演示中發(fā)現(xiàn)問題并探索幾何的本質(zhì).

以“圓周角”為例,談?wù)勅绾卫脦缀萎嫲蹇梢暬虒W(xué)突破“圓周角”教學(xué)難點(diǎn)[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中“圓周角”的課標(biāo)要求:探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系,知道同弧(或等弧) 所對的圓周角相等.了解并證明圓周角定理及其推論:圓周角等于同弧所對圓心角的一半.本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)如下:(1)發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系;(2)同弧所對的圓心角只有一個(gè),而所對的圓周角有無數(shù)多個(gè),一條弧所對的無限多個(gè)圓周角應(yīng)該按什么特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惒⑦M(jìn)行圓周角定理的證明.

1 利用幾何畫板發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證同弧所對的圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系

這節(jié)課先通過復(fù)習(xí)引入,讓學(xué)生體會(huì)圓周角概念的生成過程,根據(jù)已有知識類比得到新知,同時(shí)通過呈現(xiàn)有關(guān)圓周角的正例和反例,讓學(xué)生對于圓周角概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性進(jìn)行比較,加深對于概念的理解.學(xué)生通過找圓周角與圓心角所對的弧,發(fā)現(xiàn)它們之間對的是同一條弧,引發(fā)學(xué)生思考同弧所對的圓周角與圓心角之間是否還存在其它關(guān)系,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生小組合作,經(jīng)歷度量、觀察、猜想、探索圓周角與圓心角之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生通過用量角器分別測量學(xué)案中幾組同弧所對的圓周角和圓心角的度數(shù),發(fā)現(xiàn)并提出猜想:同弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半.

用幾何畫板繪制圖形:畫出⊙O中弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB,并標(biāo)記要度量的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB以及它們的比值.

(1)固定弧AB的位置,拉動(dòng)點(diǎn)C,使點(diǎn)C的位置發(fā)生變化,讓學(xué)生觀察圖像動(dòng)態(tài)的變化

圖1 圓心角與圓周角關(guān)系(a)圖

學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)弧AB的位置不變時(shí),即使點(diǎn)C的位置在變化,弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數(shù)值以及它們的比值始終沒有變化.

(2)固定點(diǎn)B、C,拉動(dòng)點(diǎn)A,使點(diǎn)A的位置發(fā)生變化,讓學(xué)生們觀察圖像動(dòng)態(tài)的變化

圖2 圓心角與圓周角關(guān)系(b)圖

學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)固定點(diǎn)B、C,拉動(dòng)點(diǎn)A時(shí),弧AB發(fā)生了變化,弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數(shù)值明顯發(fā)生了改變,但是它們的比值始終為0.5,并沒有變化.

(3)固定點(diǎn)A、C,拉動(dòng)點(diǎn)B,使點(diǎn)B的位置發(fā)生變化,讓學(xué)生觀察圖像動(dòng)態(tài)的變化.

圖3 圓心角與圓周角關(guān)系(c)圖

學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)固定點(diǎn)A、C,拉動(dòng)點(diǎn)B時(shí),弧AB發(fā)生了變化,弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數(shù)值明顯發(fā)生了改變,但是它們比值始終始終為0.5,并沒有變化.

通過以上幾何畫板動(dòng)畫演示,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化過程中觀察變化的是圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的位置關(guān)系以及不變的是它們比值始終為0.5的數(shù)量關(guān)系,讓學(xué)生通過觀察進(jìn)一步體會(huì)猜想的正確性[2].

2 利用幾何畫板進(jìn)行演示,發(fā)現(xiàn)分類的依據(jù)以及驗(yàn)證分類的正確性

雖然幾何畫板已經(jīng)驗(yàn)證過猜想的正確性,但是此時(shí)猜想還不能當(dāng)作定理來使用,還需要利用所學(xué)知識進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯證明.弧AB所對的圓心角只有1個(gè),弧AB所對的圓周角有無數(shù)個(gè),因此證明圓周角定理時(shí),不能逐一驗(yàn)證無數(shù)個(gè)圓周角,學(xué)生容易理解需要對圓周角進(jìn)行分類,此時(shí)教學(xué)的難點(diǎn)為:弧AB所對的無限多個(gè)圓周角應(yīng)該按什么特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惸?可以分成幾類呢?為了突破這一難點(diǎn),筆者先讓學(xué)生分組探究合作,討論出按某一特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?組長將討論結(jié)果記錄下來,派代表,分享小組的成果.然后筆者再采用幾何畫板進(jìn)行幾何動(dòng)畫演示,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化演示過程中得出分類的依據(jù)以及驗(yàn)證分類的正確性[3].

用幾何畫板繪制圖形:畫出⊙O中弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB,制作“動(dòng)畫點(diǎn)C”.當(dāng)鼠標(biāo)點(diǎn)擊“動(dòng)畫點(diǎn)”時(shí),點(diǎn)C的位置就在弦AB所對的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng),讓學(xué)生觀察圖像動(dòng)態(tài)的變化,找出分類的依據(jù).

圖4 圓心O與圓周角位置關(guān)系(a)圖

學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)C的變化,圓心O與圓周角∠AOB的位置發(fā)生了變化,又因?yàn)閳A既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,所以圓心O與圓周角∠ACB的位置大體分為三類:

圖5 圓心O與圓周角位置關(guān)系(b)圖

幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示,使學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)和理解弧AB所對的無限多個(gè)圓周角應(yīng)該按以圓心O與圓周角∠ACB的位置特征進(jìn)行分類,為后續(xù)的證明提供了正確的方向.

3 利用幾何畫板極大地吸引了學(xué)生上課的注意力,并激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

使用幾何畫板動(dòng)畫演示,改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂枯燥乏味的教學(xué)氛圍,解決了靜態(tài)圖片不連續(xù)、不直觀的局限性,幾何畫板給學(xué)生帶來了非常直觀的效果和視覺的沖擊,極大地吸引了學(xué)生上課的注意力并激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,以上兩個(gè)環(huán)節(jié)通過使用幾何畫板,使學(xué)生的專注度特別高,而且都參與到課堂的各個(gè)環(huán)節(jié),積極討論探索新知,特別是能感到學(xué)生對后續(xù)的證明都躍躍欲試.分組討論后,學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了情況①比較特殊,于是先從情況1開始證明:

圖6 圓心O與圓周角位置關(guān)系(c)圖