黃蔓云，費(fèi)有蝶，衛(wèi)志農(nóng)，鄭玉平，孫國(guó)強(qiáng)，臧海祥

（1.河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院,江蘇省南京市 211100；2.南瑞集團(tuán)有限公司（國(guó)網(wǎng)電力科學(xué)研究院有限公司）,江蘇省南京市 211106）

0 引言

隨著越來(lái)越多的新能源以分布式電源（distributed generator,DG）的形式接入配電網(wǎng)以及電動(dòng)汽車(chē)等直流負(fù)荷比重的不斷提高［1-2］,傳統(tǒng)配電網(wǎng)正逐步轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄茉垂╇姷慕恢绷髦鲃?dòng)配電網(wǎng)［3-5］。然而,間歇性DG 和柔性負(fù)荷的增多會(huì)加劇節(jié)點(diǎn)電壓的波動(dòng),易導(dǎo)致電壓越限、電能質(zhì)量降低等問(wèn)題［6-7］。因此,運(yùn)用狀態(tài)估計(jì)（state estimation,SE）技術(shù)［8-9］實(shí)時(shí)感知交直流配電網(wǎng)的當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài),預(yù)知未來(lái)電壓變化趨勢(shì),對(duì)保障交直流配電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義。

由于配電網(wǎng)實(shí)時(shí)量測(cè)較少,需要大量基于歷史數(shù)據(jù)或預(yù)測(cè)得到的偽量測(cè)（如DG 出力數(shù)據(jù)、負(fù)荷功率）保證全網(wǎng)的可觀測(cè)性［10］。但偽量測(cè)的誤差難以保證,其具體的概率分布更是難以準(zhǔn)確獲取,這將導(dǎo)致加權(quán)最小二乘（weighted least square,WLS）法等點(diǎn)估計(jì)方法精度下降。為解決此問(wèn)題,在配電網(wǎng)SE中需要考慮不確定變量的影響。常用方法主要包括概率模型［11］、模糊數(shù)模型［12］和區(qū)間模型［13］。前兩者模型需要預(yù)先獲取所需的概率密度函數(shù)或隸屬度函數(shù),而區(qū)間模型僅需變量的上下界信息,不需要特定的分布,在實(shí)際應(yīng)用中具有更強(qiáng)的適用性。

目前,區(qū)間SE 或潮流計(jì)算的方法主要包括以下幾類(lèi)。1）區(qū)間約束傳播法［14-16］:利用區(qū)間運(yùn)算迭代收縮狀態(tài)的取值范圍,但其忽略了同一變量在不同約束中的相關(guān)性,保守性較高。2）基于Krawczyk算子的方法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)Krawczyk 算法）［17-18］:利用相量測(cè)量單元（phasor measurement unit,PMU）和數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控（supervisory control and data acquisition,SCADA）系統(tǒng)的混合量測(cè),通過(guò)量測(cè)變換建立線(xiàn)性方程組進(jìn)行求解,但量測(cè)變換過(guò)程中會(huì)擴(kuò)張量測(cè)區(qū)間,并且配電網(wǎng)的低量測(cè)覆蓋率和PMU的高配置成本降低了該方法在大多數(shù)配電網(wǎng)中的工程實(shí)用性。3）仿射算法［19-21］:將不確定變量用仿射數(shù)表示進(jìn)行計(jì)算,然而仿射的非線(xiàn)性運(yùn)算較為復(fù)雜,引入的新噪聲元會(huì)導(dǎo)致區(qū)間擴(kuò)張,計(jì)算結(jié)果較為保守。4）優(yōu)化法［22-24］:非線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型非凸,無(wú)法保證解的完備性,相關(guān)的線(xiàn)性化方法或依賴(lài)于區(qū)間中值的準(zhǔn)確性,或無(wú)法快速確定準(zhǔn)確的初始迭代區(qū)間。隨著直流配電網(wǎng)的發(fā)展,不確定性分析的研究對(duì)象逐漸從單一交流配電網(wǎng)轉(zhuǎn)向交直流混合配電網(wǎng)［25-27］,但交直流區(qū)間SE 主要是使用已有的非線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型,鮮有改進(jìn)。

針對(duì)交直流配電網(wǎng)中DG 出力波動(dòng)、量測(cè)冗余度低、三相不平衡等特點(diǎn),本文構(gòu)建了一種基于狀態(tài)預(yù)測(cè)的交直流配電網(wǎng)線(xiàn)性區(qū)間SE 模型。設(shè)計(jì)了一種含辨識(shí)修正環(huán)節(jié)的狀態(tài)區(qū)間預(yù)測(cè)方法以縮小狀態(tài)搜索空間,提高區(qū)間SE 的計(jì)算效率。放縮非線(xiàn)性約束方程,在無(wú)需量測(cè)變換的情況下,將非線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型,保證了區(qū)間估計(jì)結(jié)果的完備性和可靠性,仿真驗(yàn)證了本文方法的可行性和準(zhǔn)確性。

1 交直流配電網(wǎng)區(qū)間SE

不同于傳統(tǒng)交流配電網(wǎng)區(qū)間SE 模型,交直流配電網(wǎng)區(qū)間SE 模型在狀態(tài)變量、量測(cè)模型和潮流約束方面均有所擴(kuò)充。狀態(tài)變量方面,引入了直流配電網(wǎng)和電壓源換流器（voltage source converter,VSC）出口的狀態(tài)量；量測(cè)模型方面,增加了直流配電網(wǎng)和DG 的量測(cè)方程；潮流約束方面,計(jì)及了VSC的控制方式和交、直流配電網(wǎng)的功率耦合關(guān)系。

1.1 換流器等效模型

直流配電網(wǎng)和大部分DG 需要通過(guò)電力電子換流器才能接入交流配電網(wǎng)。其中,電壓源換流器應(yīng)用最為廣泛,VSC 的潮流模型如圖1 所示。圖中:i為連有VSC 入口交流節(jié)點(diǎn)的編號(hào)；j為VSC 出口交流節(jié)點(diǎn)的編號(hào)；d為VSC 的直流節(jié)點(diǎn)的編號(hào)；rij,a和xij,a分別為VSC 支路ij中a 相的等效電阻和電抗；rij,b和xij,b分別為VSC 支路ij中b 相的等效電阻和電抗；rij,c和xij,c分別為VSC 支路ij中c 相的等效電阻和電抗；Pvsc,d和Pvsc,j分別為VSC 直流側(cè)節(jié)點(diǎn)d和交流側(cè)節(jié)點(diǎn)j的有功功率,以圖中箭頭方向?yàn)檎较?；Pvsc,loss為換流器的有功損耗。

圖1 換流器模型Fig.1 Converter model

以直角坐標(biāo)形式表示電壓和電流,VSC 交直流兩側(cè)的功率平衡關(guān)系為:

式中:Ure,j,φ和Uim,j,φ分別為節(jié)點(diǎn)j的φ相電壓的實(shí)部和虛部；Ire,ij,φ和Iim,ij,φ分別為VSC 支路ij的φ相電流的 實(shí) 部 和 虛 部；Ivsc,φ為VSC 支 路φ相 電 流 的 幅 值；η1、η2和η3為VSC 的功率損耗系數(shù)。

假設(shè)VSC 結(jié)構(gòu)三相對(duì)稱(chēng),阻抗相間無(wú)耦合［28］,則有rij,φ+jxij,φ=rij,?+jxij,?（φ,?∈{a,b,c}）,其中,rij,φ和xij,φ分 別 為VSC 支 路ij中φ相 的 等 效 電 阻 和 電抗,rij,?和xij,?分 別 為VSC 支 路ij中?相 的 等 效 電 阻和電抗。此外,VSC接入交流配電網(wǎng)時(shí)可進(jìn)行三相不平衡補(bǔ)償,使其端口電壓三相對(duì)稱(chēng)［29］,表達(dá)式如式（4）所示。

1.2 交直流配電網(wǎng)狀態(tài)變量

區(qū)間SE 中,量測(cè)向量z和狀態(tài)向量x都以區(qū)間數(shù)的形式出現(xiàn),即處在已知的上下限之內(nèi):

式中:inv(?)為區(qū)間數(shù)；和分別為量測(cè)向量的上、下限；和分別為狀態(tài)向量的上、下限。為了表述方便,本文的量測(cè)量和狀態(tài)變量均省略了區(qū)間數(shù)的形式。

本文選取的狀態(tài)向量為:

式中:Ure和Uim分別為交流節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部向量；Ire和Iim分別為交流支路電流的實(shí)部和虛部向量；Ivsc為VSC 支路電流幅值向量；Udc為直流節(jié)點(diǎn)電壓幅值向量。

由于增加了狀態(tài)變量的維數(shù),需要增加有關(guān)狀態(tài)變量的方程保證系統(tǒng)可觀:

式中:rij,φ?和xij,φ?分別為交流支路ij中φ相和?相間的 電 阻 和 電 抗；Ire,ij,?和Iim,ij,?分 別 為 交 流 支 路ij中?相電流的實(shí)部和虛部。

1.3 交直流配電網(wǎng)量測(cè)方程

1.3.1 交流和直流配電網(wǎng)量測(cè)方程

交流配電網(wǎng)的量測(cè)量為電壓幅值、支路電流幅值、節(jié)點(diǎn)注入有功功率和無(wú)功功率。其中,電壓幅值轉(zhuǎn)換為電壓幅值的平方,支路電流幅值轉(zhuǎn)換為支路電流幅值的平方,轉(zhuǎn)換后的量測(cè)滿(mǎn)足誤差傳遞規(guī)律。由于狀態(tài)量和量測(cè)量均為區(qū)間變量。因此,量測(cè)方程中可以不考慮誤差項(xiàng)。量測(cè)方程的具體形式為:

式 中:Vac,m,i,φ為 交 流 節(jié) 點(diǎn)i的φ相 電 壓 幅 值 的 平 方；Lac,m,ij,φ為 交 流 支 路ij的φ相 電 流 幅 值 的 平 方；Pac,m,i,φ和Qac,m,i,φ分 別 為 交 流 節(jié) 點(diǎn)i的φ相 注 入 的 有功功率和無(wú)功功率；Nac,i為與節(jié)點(diǎn)i相連的交流節(jié)點(diǎn)集合。

直流配電網(wǎng)的量測(cè)量為節(jié)點(diǎn)電壓幅值、支路電流幅值和節(jié)點(diǎn)注入功率。量測(cè)方程的具體形式為:

式中:Udc,m,μ為直流節(jié)點(diǎn)μ的注入電壓；Udc,μη為節(jié)點(diǎn)μ和 節(jié) 點(diǎn)η之 前 的 直 流 支 路 的 電 壓；Idc,m,μη為 直 流 支路μη的 電 流；Udc,μ為 直 流 節(jié) 點(diǎn)μ的 電 壓；gdc,μη為 節(jié)點(diǎn)μ和 節(jié) 點(diǎn)η之 前 的 直 流 支 路 電 導(dǎo)；Pdc,m,μ為 注 入 直流 節(jié) 點(diǎn)μ的 有 功 功 率；Gdc,μη為 直 流 配 電 網(wǎng) 節(jié) 點(diǎn) 導(dǎo) 納矩陣中的對(duì)應(yīng)元素；Ndc,μ為與節(jié)點(diǎn)μ相連的直流節(jié)點(diǎn)集合；NVSC,μ為與節(jié)點(diǎn)μ相連的VSC 集合。

1.3.2 換流器控制變量方程及DG 出力方程

對(duì)于與直流配電網(wǎng)相連的VSC,本文考慮主從控制模式,將一臺(tái)換流站作為主換流站維持直流側(cè)節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定,其余換流站的控制方式采用交流側(cè)并網(wǎng)有功功率和無(wú)功類(lèi)變量（交流并網(wǎng)側(cè)電壓或交流并網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率）的組合。作為交直流配電網(wǎng)中的關(guān)鍵設(shè)施,換流站的控制信息需要及時(shí)傳達(dá)至調(diào)度中心,并且其控制目標(biāo)值接近于實(shí)際值。因此,VSC 的控制信息在交直流配電網(wǎng)的不確定性分析中可作為確定性信息提高系統(tǒng)的可觀測(cè)性。

根據(jù)VSC 的控制方式,約束方程為:

式中:Udc,d為VSC 直流側(cè)節(jié)點(diǎn)d的電壓幅值；Uset,d為VSC 直流側(cè)節(jié)點(diǎn)d的電壓設(shè)定值；Pin,set和Qin,set分別為VSC 通過(guò)交流并網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流入交流配電網(wǎng)的三相總有功和無(wú)功功率的設(shè)定值；Uset,i為VSC 對(duì)并網(wǎng)節(jié)點(diǎn)i正序電壓的設(shè)定值。

DG 的并網(wǎng)方式有經(jīng)換流器并網(wǎng)和直接并網(wǎng)［30］。兩種方式的等效模型均有支路參數(shù)三相對(duì)稱(chēng)、端口電壓三相對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)。DG 出力為從并網(wǎng)點(diǎn)流入配電網(wǎng)的三相總功率。因此,兩種并網(wǎng)方式下DG 出力的量測(cè)方程相同。假設(shè)DG 出力由預(yù)測(cè)方法獲得,由于難以精準(zhǔn)預(yù)測(cè)瞬時(shí)風(fēng)速、太陽(yáng)輻射等天氣因素,預(yù)測(cè)獲得的偽量測(cè)誤差遠(yuǎn)大于實(shí)時(shí)量測(cè)誤差。量測(cè)方程為:

式中:Pin,DG、Qin,DG分別為DG 有功和無(wú)功出力的量測(cè)量。

1.4 區(qū)間SE 模型

區(qū)間SE 基于誤差未知但有界理論,將量測(cè)集合映射到狀態(tài)集合,狀態(tài)真值則被界定在狀態(tài)集合中。因此,估計(jì)結(jié)果具有較高的可信性。利用區(qū)間數(shù),量測(cè)方程可以統(tǒng)一表示為:

式中:h(?)為狀態(tài)向量和量測(cè)向量之間的函數(shù)關(guān)系。

量測(cè)向量z和狀態(tài)向量x的每一分量均為區(qū)間數(shù),可以看出,用區(qū)間數(shù)表示量測(cè)值,消除了對(duì)量測(cè)誤差概率分布的假設(shè)。

求出每個(gè)狀態(tài)變量的上下界即可求得狀態(tài)區(qū)間為[minxτ,maxxτ],其中xτ為狀態(tài)向量x的第τ個(gè)分量。因此,可建立模型為:

將量測(cè)系統(tǒng)提供的量測(cè)區(qū)間作為量測(cè)估計(jì)值的初始區(qū)間,當(dāng)完整考慮所有約束方程時(shí),量測(cè)估計(jì)值的區(qū)間與初始區(qū)間相比,范圍可能會(huì)縮小。因此,以每個(gè)量測(cè)估計(jì)值變量作為目標(biāo)函數(shù),可獲得量測(cè)估計(jì)值新的上下界:

2 區(qū)間SE 的線(xiàn)性化求解方法

原始的非線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型（式（25）和式（26））綜合考慮了量測(cè)上下界約束、零注入功率約束、狀態(tài)變量的關(guān)系約束以及換流器的控制約束,但由于該模型是非凸的,無(wú)法保證獲得全局最優(yōu)解。為了提高結(jié)果的完備性,本文將原優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型,并采用迭代計(jì)算的方式,不斷縮小狀態(tài)變量和量測(cè)變量的區(qū)間以降低估計(jì)結(jié)果的保守性。

2.1 約束方程的線(xiàn)性化

同理,區(qū)間SE 模型中的其余非線(xiàn)性約束方程都可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)線(xiàn)性不等式,最終實(shí)現(xiàn)區(qū)間估計(jì)模型的線(xiàn)性化。值得一提的是,采用直角坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)電壓、支路電流以及VSC 支路電流幅值作為交流配電網(wǎng)的狀態(tài)變量,雖然增加了式（8）至式（10）的約束,但簡(jiǎn)化了交流約束方程的偏導(dǎo)函數(shù),以及式（1）至式（3）和式（17）組成的VSC 直流側(cè)節(jié)點(diǎn)注入功率方程的偏導(dǎo)數(shù)。因此的求解較為簡(jiǎn)便,降低了線(xiàn)性化過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度。

2.2 區(qū)間SE 求解模型

利用2.1 節(jié)的方法將區(qū)間SE 的原始非線(xiàn)性求解模型轉(zhuǎn)化為:

由于對(duì)非線(xiàn)性等式進(jìn)行了放縮,單次求解得到的區(qū)間具有較高的保守性,因此需要進(jìn)行迭代求解,具體步驟如下:

步驟1:設(shè)置狀態(tài)變量的初始區(qū)間x0,根據(jù)量測(cè)系統(tǒng)提供的量測(cè)區(qū)間獲得量測(cè)量的初始區(qū)間z0。

步驟2:設(shè)置迭代次數(shù)l=1。

步驟3:求解式（34）獲得狀態(tài)量區(qū)間xl和量測(cè)量區(qū)間zl。

步驟 4:比較區(qū)間數(shù)向量 [xl,zl]T和[xl-1,zl-1]T,若區(qū)間寬度的最大差值小于收斂門(mén)檻值ε,則停止迭代,否則轉(zhuǎn)至步驟5。

3 預(yù)測(cè)輔助的區(qū)間估計(jì)算法

在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和線(xiàn)路參數(shù)不變的情況下,交直流配電網(wǎng)的運(yùn)行狀態(tài)受到負(fù)荷功率和DG 輸出功率的影響。一方面,從長(zhǎng)期來(lái)看,系統(tǒng)狀態(tài)的變化具有一定的規(guī)律性,本文將兩參數(shù)指數(shù)平滑法改成區(qū)間形式,擬合狀態(tài)的變化趨勢(shì)；另一方面,在較短的時(shí)間段內(nèi),系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)因負(fù)荷和DG 功率的隨機(jī)波動(dòng)而波動(dòng),可能導(dǎo)致預(yù)測(cè)區(qū)間不準(zhǔn)（不包含真值）,本文設(shè)計(jì)一種預(yù)測(cè)區(qū)間修正方法,辨識(shí)并修正不準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)區(qū)間,進(jìn)而輔助提高區(qū)間SE 結(jié)果的可靠性。

根據(jù)區(qū)間數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則［20］,用區(qū)間數(shù)表示兩參數(shù)指數(shù)平滑法的形式為:

若預(yù)測(cè)區(qū)間不準(zhǔn)確,則估計(jì)區(qū)間必然不包含狀態(tài)真值,并且可能導(dǎo)致區(qū)間SE 的解為空集。在此情況下,本文采用如下修正方案。

3）若xk+1,opt的 某 一 分 量 區(qū) 間xk+1,opt,τ未 被 完 全包 含 在對(duì) 應(yīng) 的 分 量中,則 判 斷為不準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)區(qū)間,按此原則辨識(shí)出中所有不準(zhǔn)的預(yù)測(cè)區(qū)間,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)集合設(shè)為Np。

4）以xk+1,opt中 集 合Np的 狀 態(tài) 區(qū) 間xk+1,opt,Np的中點(diǎn)為中心點(diǎn),以先前各時(shí)間斷面集合Np的預(yù)測(cè)區(qū)間的平均寬度為區(qū)間寬度,重新生成預(yù)測(cè)區(qū)間,代替原區(qū)間。

需要說(shuō)明的是,在量測(cè)誤差區(qū)間包含真值的前提下,雖然非線(xiàn)性模型式（25）的解是激進(jìn)的、不全面的,但其求解出的區(qū)間xk+1,opt是滿(mǎn)足所有約束的可行解,并且包含真值［24］。因此,不能完全覆蓋xk+1,opt的預(yù)測(cè)區(qū)間可能是不準(zhǔn)確的。雖然步驟3 可能會(huì)將準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)區(qū)間辨識(shí)為不準(zhǔn),但修正后的區(qū)間是準(zhǔn)確的,對(duì)區(qū)間SE 結(jié)果的可靠性沒(méi)有影響,具體測(cè)試效果見(jiàn)第4.1 節(jié)。將狀態(tài)的預(yù)測(cè)區(qū)間作為初始區(qū)間,基于2.2 節(jié)的區(qū)間SE 算法對(duì)初始區(qū)間進(jìn)行收縮。與根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)設(shè)置的初始區(qū)間相比,預(yù)測(cè)區(qū)間的保守性更低,有助于減少后續(xù)區(qū)間SE 的迭代次數(shù),加快收斂速度。本文算法在第k+1 個(gè)時(shí)段的計(jì)算流程如圖2 所示。

圖2 第k+1 個(gè)時(shí)段算法流程圖Fig.2 Flow chart of the proposed algorithm during the(k+1)thtime period

4 算例分析

為驗(yàn)證本文算法的估計(jì)效果,將三相不平衡的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)拓展成交直流配電網(wǎng)作為本文的測(cè)試系統(tǒng),系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如附錄A 圖A1 所示,測(cè)試系統(tǒng)的線(xiàn)路參數(shù)和負(fù)荷參數(shù)來(lái)自文獻(xiàn)［31］。其中,交流配電網(wǎng)的基準(zhǔn)電壓為12.66 kV,直流配電網(wǎng)的基準(zhǔn)電壓為10 kV,基準(zhǔn)容量均為10 MV·A。VSC 的參數(shù)及控制方式如表A1 所示。交流配電網(wǎng)中,DG 均通過(guò)換流器并網(wǎng),其中,DG3 為風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng),其余為光伏發(fā)電系統(tǒng),并網(wǎng)參數(shù)如表A2 所示。直流配電網(wǎng)的DG 為光伏發(fā)電系統(tǒng),額定容量為400 kW。量測(cè)值是在潮流真值的基礎(chǔ)上添加隨機(jī)噪聲得到的,實(shí)時(shí)量測(cè)（電壓幅值、支路電流幅值、部分節(jié)點(diǎn)注入功率）的最大誤差為5%；負(fù)荷節(jié)點(diǎn)功率偽量測(cè)的最大誤差為10%；DG 出力偽量測(cè)的最大誤差為25%。量測(cè)配置信息如表A3 所示,各量測(cè)類(lèi)型的數(shù)目為三相總數(shù)。

4.1 估計(jì)效果測(cè)試

根據(jù)負(fù)荷曲線(xiàn)和DG 出力曲線(xiàn),以15 min為間隔,進(jìn)行連續(xù)100 個(gè)時(shí)間斷面的測(cè)試,在每個(gè)時(shí)間斷面使用基于WLS 法的點(diǎn)估計(jì)和基于本文算法的區(qū)間SE。其中,WLS法的輸入為服從正態(tài)分布的量測(cè)點(diǎn)值向量zmea,標(biāo)準(zhǔn)差向量為σ；區(qū)間SE 的輸入是以zmea±3σ邊界的量測(cè)向量區(qū)間。采用平均估計(jì)誤差和最大估計(jì)誤差衡量 WLS 法的估計(jì)精度,表達(dá)式為:

式中:Eavg和Emax分別為平均估計(jì)誤差和最大估計(jì)誤 差；N為 時(shí) 間 斷 面 數(shù)；n為 狀 態(tài) 變 量 數(shù)；xestk,τ為第k個(gè) 時(shí) 段 第τ個(gè) 狀 態(tài) 變 量 的 估 計(jì) 值；xtruek,τ為 第k個(gè)時(shí)段第τ個(gè)狀態(tài)變量的真值。

對(duì)于區(qū)間SE,采用真值覆蓋率衡量其可靠性,采用平均區(qū)間寬度和最大區(qū)間寬度衡量其保守性,各指標(biāo)的計(jì)算式為:

式 中:C為 真 值 覆 蓋 率；ck,τ為 第k個(gè) 時(shí) 段 第τ個(gè) 狀 態(tài)區(qū) 間 是 否 包 含 其 真 值 的0-1 變 量和-xk,τ分 別 為第k個(gè) 時(shí) 段 第τ個(gè) 狀 態(tài) 變 量 的 上、下 限,若≤xtruek,τ≤,則ck,τ=1,否則ck,τ=0；Wavg和Wmax分別為平均區(qū)間寬度和最大區(qū)間寬度。

測(cè)試結(jié)果如表1 所示。顯然,本文所提出的預(yù)測(cè)輔助區(qū)間狀態(tài)估計(jì)（forecast aided interval state estimation,FAISE）算法具有較高的可靠性,并且估計(jì)區(qū)間的保守性較低。

表1 WLS 法和FAISE 算法的估計(jì)結(jié)果Table 1 Estimation results of WLS method and FAISE algorithm

由表1 可知,相比于FAISE 算法,WLS 法估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性較低,這是由于WLS法的優(yōu)化目標(biāo)是量測(cè)估計(jì)值與量測(cè)值較為接近,而這并不能保證SE值與狀態(tài)真值較為接近。此外,WLS法在計(jì)算過(guò)程中不考慮量測(cè)誤差的范圍為-3σ～+3σ,這可能導(dǎo)致由WLS法的SE 值所計(jì)算出的量測(cè)估計(jì)向量不滿(mǎn)足zmea-3σ≤≤zmea+3σ,影 響 估 計(jì) 結(jié) 果 的 準(zhǔn) 確 性。而FAISE 算法在求解過(guò)程中利用約束條件限制了量測(cè)估計(jì)值必須滿(mǎn)足zmea-3σ≤≤zmea+3σ。

在某一時(shí)段,使用蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation,MCS）法［32］進(jìn) 行10 000 次 抽 樣,與FAISE 算法的對(duì)比如圖3 所示。由圖3 可知,MCS法的保守性過(guò)高,這是由于MCS 法獲得的狀態(tài)集合是WLS 法點(diǎn)估計(jì)值的組合,其中包含了不符合量測(cè)約束的狀態(tài)運(yùn)行點(diǎn)。

圖3 MCS 法和FAISE 算法的估計(jì)區(qū)間Fig.3 Estimation intervals of MCS method and FAISE algorithm

4.2 與Krawczyk 算法的線(xiàn)性化區(qū)間SE 對(duì)比測(cè)試

為驗(yàn)證本文所提線(xiàn)性化模型的有效性,將本文算 法 與Krawczyk 算 法 的 線(xiàn) 性 區(qū) 間SE［17,33］進(jìn) 行 對(duì)比。Krawczyk 算法的區(qū)間SE 是將量測(cè)量轉(zhuǎn)換為電壓實(shí)部、虛部或電流實(shí)部、虛部量測(cè)以線(xiàn)性化量測(cè)方程。需要指出的是,由于VSC 的損耗和DG 注入交流配電網(wǎng)功率的三相不平衡,式（1）、式（21）以及VSC 和DG 關(guān)于三相功率和的量測(cè)方程難以通過(guò)量測(cè)轉(zhuǎn)換的方法線(xiàn)性化,而本文的線(xiàn)性化方法不需要量測(cè)轉(zhuǎn)換,能夠適用于上述方程。

為了在相同的條件下對(duì)兩種算法進(jìn)行客觀比較,本小節(jié)對(duì)交流和直流配電網(wǎng)分別進(jìn)行區(qū)間估計(jì),并使兩種區(qū)間估計(jì)器的輸入量測(cè)相同。兩種算法估計(jì)結(jié)果的相應(yīng)指標(biāo)如表2 所示。顯然,FAISE 算法相比于Krawczyk 算法估計(jì)區(qū)間更窄、保守性更低,估計(jì)結(jié)果的可靠性更高?？梢灶A(yù)見(jiàn),若在FAISE 算法中增加Krawczyk 算法無(wú)法線(xiàn)性化的量測(cè),估計(jì)區(qū)間的保守性會(huì)進(jìn)一步降低,說(shuō)明本文所提的線(xiàn)性化模型具有一定的優(yōu)越性。

表2 FAISE 算法和Krawczyk 算法的估計(jì)結(jié)果Table 2 Estimation result of FAISE method and Krawczyk algorithm

為了對(duì)兩種算法進(jìn)行更加直觀的對(duì)比,圖4 給出了交流配電網(wǎng)部分狀態(tài)量和直流配電網(wǎng)狀態(tài)量的估計(jì)區(qū)間。由圖4 可知出,在任一節(jié)點(diǎn)處,FAISE 算法求解出的區(qū)間范圍均小于Krawczyk 算法求解出的區(qū)間范圍。通過(guò)分析可知,由于FAISE 算法在每一次迭代中同時(shí)求解量測(cè)量和狀態(tài)量的區(qū)間,而量測(cè)區(qū)間的縮小有助于進(jìn)一步縮小狀態(tài)區(qū)間,FAISE算法可以有效緩解不確定狀態(tài)區(qū)間的保守性。

圖4 交流和直流配電網(wǎng)中FAISE 算法和Krawczyk 算法的估計(jì)區(qū)間Fig.4 Estimation intervals of FAISE method and Krawczyk algorithm in AC and DC distribution networks

4.3 收斂性能和計(jì)算效率

由于配電網(wǎng)實(shí)時(shí)量測(cè)主要以支路電流為主［16］,本節(jié)改變交流配電網(wǎng)支路電流幅值實(shí)時(shí)量測(cè)的數(shù)量,研究本文算法的收斂性能。需要說(shuō)明的是,利用式（34）求解交直流配電網(wǎng)狀態(tài)量和量測(cè)量的上下界時(shí),雖然目標(biāo)函數(shù)不同,但約束相同。因此,每次迭代中的線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型可以并行求解。設(shè)閾值ε=10-4,圖5 顯示了在不同實(shí)時(shí)量測(cè)配置下,交流節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)部的平均區(qū)間寬度在迭代過(guò)程中的變化。由圖5 可知,支路電流量測(cè)的數(shù)量越少,迭代次數(shù)越少,但最終的估計(jì)區(qū)間寬度較大。當(dāng)電流量測(cè)數(shù)量增加到15×3 個(gè)后,估計(jì)區(qū)間平均寬度的減小幅度很小,而迭代次數(shù)卻逐漸增多,說(shuō)明不需要大量配置支路電流實(shí)時(shí)量測(cè)。對(duì)于本文算例,配置數(shù)量為15×3 個(gè)時(shí)能夠以較少的迭代次數(shù)獲得較窄的估計(jì)區(qū)間。

圖5 交流節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)部的平均區(qū)間寬度在不同支路電流量測(cè)配置下的變化過(guò)程Fig.5 Variation process of average interval width of real part of AC node voltage with different branch current measurement configurations

圖5 中各量測(cè)配置下的計(jì)算時(shí)間如表3 所示。由表3 可知,本文算法的計(jì)算時(shí)間小于3 s,能夠滿(mǎn)足配電網(wǎng)SE 的要求。

表3 不同量測(cè)配置下的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間Table 3 Numbers of iterations and computation time with different measurement configurations

5 結(jié)語(yǔ)

本文主要工作如下:

1）為計(jì)及DG 出力的間歇性、量測(cè)誤差的不確定性對(duì)交直流配電網(wǎng)SE 的影響,本文采用區(qū)間描述不確定變量,建立了交直流配電網(wǎng)的區(qū)間SE 模型,該模型能夠考慮系統(tǒng)的三相不平衡問(wèn)題,避免了對(duì)DG 出力和量測(cè)誤差的分布進(jìn)行假設(shè)。

2）為解決原始區(qū)間SE 模型非凸而難以獲得全局最優(yōu)解的問(wèn)題,本文在無(wú)需量測(cè)變換的情況下將非線(xiàn)性約束轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性約束,通過(guò)迭代縮小狀態(tài)量和量測(cè)量的區(qū)間。算例測(cè)試表明,所提方法既能保證SE 解的可靠性,也能有效降低估計(jì)區(qū)間的保守性。

3）為提前獲取電壓波動(dòng)信息,為區(qū)間SE 提供可靠的初始區(qū)間,本文基于指數(shù)平滑法設(shè)計(jì)了一種狀態(tài)區(qū)間預(yù)測(cè)方法。該方法能在狀態(tài)變化平緩時(shí)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)狀態(tài)區(qū)間,在狀態(tài)突變時(shí)辨識(shí)并修正預(yù)測(cè)區(qū)間,為區(qū)間SE 的有效應(yīng)用提供了前提和保證。

今后,可在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究分布式區(qū)間估計(jì)技術(shù)提高計(jì)算效率,研究關(guān)于量測(cè)區(qū)間的壞數(shù)據(jù)辨識(shí)技術(shù)提高區(qū)間估計(jì)器的魯棒性,計(jì)及VSC 控制方式的切換以及更多的運(yùn)行約束提高區(qū)間SE 的在線(xiàn)應(yīng)用能力。

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