豐富具身經(jīng)驗 培養(yǎng)量感素養(yǎng)
——以北師大版數(shù)學教材四年級上冊“角的度量”一課為例

陳金飛

（江蘇省啟東實驗小學）

“角的度量”這部分內(nèi)容屬于《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）“空間與圖形”領(lǐng)域中“測量”的內(nèi)容。在學習此內(nèi)容之前，從縱向來看，學生已經(jīng)學習了“角的初步認識”，知道了角有大小，“角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，與角的兩條邊長短無關(guān)”；從橫向來看，學生已經(jīng)學習了線段的度量，經(jīng)歷了建立長度單位表象、統(tǒng)一長度單位的過程。“角的度量”和線段的度量、面的度量雖然分布在不同的年級，但它們是具有內(nèi)在聯(lián)系的知識。角的度量本質(zhì)就是用度量單位的個數(shù)描述角的大小，其關(guān)鍵在于找度量單位。這就需要教師讓學生直觀感知角有大小及角的可測量屬性，進而進行角的比較，并在描述角的大小過程中產(chǎn)生統(tǒng)一單位的需求，所以本節(jié)課應(yīng)抓住“度量單位”這一核心概念統(tǒng)領(lǐng)教學。

一、尋找度量標準的統(tǒng)一過程，形成具身經(jīng)驗

統(tǒng)一性是計量的本質(zhì)屬性。測量長度需要一把“長度尺”，因為“長度尺”上有統(tǒng)一的長度單位?！敖堑亩攘俊苯虒W著力點不在于引出量角器，而是幫助學生引出角有大小，大小是由標準的個數(shù)所決定的。然而，角的大小非常抽象，因此，用學生熟悉的鐘面作為載體，可喚醒學生已有的認知基礎(chǔ)，變抽象為直觀。動態(tài)的分針能讓學生直觀感悟角的動態(tài)生長，而鐘面上的大格、小格就成了比較角的大小的參照物，這樣的學習素材有利于學生自主生成多種方法去比較角的大小，自然生成“標準”意識。

師：觀察主題圖（見上頁圖1），小東和小麗上學路上所用的時間為分針掃過的兩個角，你能比較它們的大小嗎？

圖1 小東和小麗上學路上所用的時間

【比一比】

你能想到幾種不同的方法來比較下面∠1 和∠2的大??？

【說一說】

和組內(nèi)小伙伴們分享自己的思考過程。

第一小組用數(shù)格子的方法進行比較。

生：我用“數(shù)大格”的方法，∠1 是2 個大格，∠2 是3個大格還多，所以∠2大。

生：我用“數(shù)小格”的方法，∠1 是10 個小格，∠2是18個小格，所以∠2大。

師：用“大格”或者“小格”作為標準，誰含有的標準數(shù)多，誰就大。角的大小由標準的個數(shù)決定。

第二小組用三角板上的角作為標準進行比較。

生：我是用直角作為標準來量的，∠1 比直角小，∠2比直角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的大銳角為標準來量的，∠1等于大銳角，∠2比大銳角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的小銳角為標準來量的，∠1等于2個小銳角，∠2比3個小銳角大，所以∠2大。

師：用三角尺的角作為標準，分別測量兩個角的大小，再作出比較。

第三小組用直尺量出角張開的距離進行比較。

生：角的大小跟它兩條邊張開的大小有關(guān)，我們小組量出∠1 張口的大小是3 厘米，∠2 張口的大小是5厘米，所以∠2大。

師：比較∠1 和∠2 的大小，通過剛才三個小組的交流匯報，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我想補充一點，標準越小，結(jié)果越精確。比如小格比大格度量的結(jié)果精確，小角比大角度量的結(jié)果精確。

生：角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，里面含有的格數(shù)越多，角越大。

生：大格對應(yīng)的圓弧長，小格對應(yīng)的圓弧短。

師（小結(jié)）：角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)。在同圓中，大角對應(yīng)的弧線長，小角對應(yīng)的弧線短。我們要測量角的大小，在測量之前要用統(tǒng)一的單位進行度量。

教師引領(lǐng)學生經(jīng)歷了理解角的內(nèi)涵的不同層次：直觀感知角有大小，角在鐘面上開口變大，就是角變大了；尋找標準，用“小角”度量大角，用“數(shù)+單位”來描述角的大小。學生在尋找度量標準的統(tǒng)一過程中，不斷累積具身經(jīng)驗，喚醒度量意識。

二、經(jīng)歷單位量感的建構(gòu)過程，發(fā)展度量意識

數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學注重把概念的形成鑲嵌于知識體系之中，以核心概念為中心，用思想方法建構(gòu)起知識網(wǎng)絡(luò)，通過橫向聯(lián)系知識實現(xiàn)舊知遷移，促進新知的學習。如度量長度，應(yīng)使用一個規(guī)定的長度作為長度單位，要知道一條線段的長度，就要看被測量的長度里含有幾個這樣的長度單位。對于二維空間里的角，教師要讓學生感受到“描述一個角的大小，就是看大角里面含有幾個小角”。因此，教師要引導學生借助鐘面上的大格、小格所對應(yīng)的角作為標準，來測量角的大小。

2.3.1 混播組合對混播植物SOD活性的影響 混播組合對禾草SOD活性影響明顯(表5)。20個不同混播組合，A3B1組合禾草SOD活性最高，達到304.21 U/g，顯著高于A1B0、A1B4、A2B1、A2B2、A2B3、A2B4組合(P<0.05)。不同混播比例下虉草的SOD活性明顯高于披堿草。混播組合對苜蓿SOD活性的影響沒有禾草明顯(表6)。除A4B1組合苜蓿SOD活性顯著高于A2B4組合和單播苜蓿外，其余組合苜蓿SOD活性沒有顯著差異(表5)。

【量一量】

選擇合適的標準角分別量出下面兩個角的大小。

師：剛才同學們借助不同的“標準”進行比較，都得出∠2 大于∠1，一起回顧一下，我們怎樣測量物體的長度？

生：我們創(chuàng)造長度單位1厘米、1分米、1米，用長度單位去測量。

師：大家從中受到什么啟發(fā)？

生：量大長度用小長度作為標準，量大角要用小角作為標準。我們可以用鐘面上一大一小這兩個角作為測量工具。

師：我們把鐘面上一大格對應(yīng)的角稱為大格角，一小格對應(yīng)的角稱為小格角，借助學具袋中的大格角和小格角，分別量出∠3和∠4各有多大。

師：先來匯報你們是怎么測量∠3 的，具體結(jié)果是多少。

第一小組：我們小組測量到∠3 等于2 個大格角多一點兒、3個大格角少一點兒。

第二小組：我們同時用大格角和小格角，∠3 等于2個大格角和2個小格角。

第三小組：我們?nèi)坑眯「窠?，? 等于12 個小格角。

師：大家在測量的過程中，用大格角和小格角結(jié)合起來測量，非常好，合適的是最好的。那∠4 有多大？

第一小組：我們小組用大格角和小格角都測了，都不正好。

第二小組：我們小組測到1 個大格角加半個小格角，或者全部用小格角測，是5個半小格角。

師：大家有沒有聽清楚？怎么出現(xiàn)了半個？

生：1 個小格角還大，我們把它對折，就正好，所以最后有半個。

師：這個小組太厲害了，1 個還大，繼續(xù)細分，得到更小的單位。大家聯(lián)系我們學過的長度單位，是否有所啟發(fā)？

生：我們可以找到一個很小的角，把它看作“1”，用這個“1”去度量角的大小，數(shù)一數(shù)就知道了。

師：你真有想法。讓我們一起看一下角的度量單位是怎樣產(chǎn)生的。

教師引入介紹：將半徑旋轉(zhuǎn)一周形成的角叫周角，規(guī)定為360 度，把它平均分成360 份，其中的1 份就是1度的角。度是角的計量單位，用符號“°”表示，如1度記作1°。

∠3（72°）不能用大格去度量，只有用大格結(jié)合小格才能度量?！?（33°）用大格結(jié)合小格仍無法表達出角的大小，學生從而產(chǎn)生繼續(xù)細分的想法。學生在這樣一步步的思維行進過程中認識到，角也像長度一樣，要想知道一個角的大小，就要用統(tǒng)一的度量單位來測量；要準確測量角的大小，就要確定合適的度量單位。對于同一個大角，單位小角的不同，導致了對角的大小的描述不同，所以，單位小角還需要進一步完善，尋找一個單位小角的標準（1°角）。學生在新舊知識的類比推理中實現(xiàn)正向遷移，自然生長出對1°角的需求，為知識關(guān)聯(lián)找到了認知通道。學生經(jīng)歷單位量感的建構(gòu)過程，完善了認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展了度量意識。

三、加強累加量感的感悟過程，精準完善量感

量感在日常教學中往往被教師視作“規(guī)定”知識，直接告訴學生，從而掩蓋了知識產(chǎn)生的過程，忽略了背后鮮活的體驗。在核心概念統(tǒng)領(lǐng)下的結(jié)構(gòu)化教學中，教師應(yīng)著力于激發(fā)學生在認知沖突中思考，引導學生經(jīng)歷標準量的建構(gòu)、量角器的形成過程，把抽象的量感與具體的體驗相結(jié)合，在積累豐富活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，將量感內(nèi)化為穩(wěn)定的表象。

師：思考一下，測量長度，可以把長度單位累加形成長度尺，便于用來測量。是否可以借助這樣的經(jīng)驗，創(chuàng)造出適合我們使用的量角工具？

【創(chuàng)一創(chuàng)】

在透明的半圓形膠片上創(chuàng)造出一個量角的工具，標出數(shù)據(jù)。教師課件演示：0刻度線出發(fā)，動態(tài)產(chǎn)生1°角，1°角通過累加得到5°，10°，30°，60°，90°，180°角。學生借助課件演示，體會每個角都是由若干個1°角拼合而成的。

師：觀察量角器，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：量角器是由1°角不斷累加而成的，與長度尺不同的是，長度尺是從0 刻度線依次往右不斷增長的，而量角器的刻度線是旋轉(zhuǎn)而成的，角的頂點一直不變，中心就是角的頂點。

師（小結(jié)）：確定了角的計量單位，有了1°角，讀懂了量角器的構(gòu)成，我們就可以準確地測量角的大小了。

師：動手量一量∠3和∠4的大小，說一說，你是怎么測量的。

生：角的頂點與量角器的中心對齊，一條邊與0刻度線對齊，另一條邊對著幾，就是幾度?！?=72°，∠4=33°。

師：請利用我們創(chuàng)造的量角器來測量一下∠5 的度數(shù)。

生：我測得∠5=120°。

生：∠5不可能大于90°，因為它比直角小?！?的一條邊對齊180°刻度線，不是對齊0°刻度線，所以應(yīng)該用180°-120°=60°。

生：我把量角器旋轉(zhuǎn)了一下，一條邊對齊0 刻度線，我也測量到是60°。

師：觀察∠5，它與∠3、∠4。有什么不同？

生：開口的方向不同，所以測量起來容易出錯。

師：人們在測量角的大小過程中，也發(fā)現(xiàn)了這個問題，怎樣才能解決開口反向的問題？

生：我們在外面再標一組數(shù)據(jù)，左邊180 度刻度線對應(yīng)0刻度線，這樣就可以“一尺兩用”了。

師：你和雙向量角器的發(fā)明者想得一樣。請大家拿出量角器，觀察各部分組成。剛才，我們創(chuàng)造了量角器，積累了測量經(jīng)驗，接下來，請用我們學到的知識去估計一下生活中角的大小（見圖2）。

圖2 生活中角的大小

生：圖2 中的左圖可以分成一個直角和一個銳角，銳角大約是90°的一半，所以大約是135°。

生：圖2 中的右圖，左邊的銳角估測比直角少一個銳角，銳角大約是30°的一半，所以估計75°。右邊那個角用180°減去75°，大約是105°。

師：借助30°，45°，60°，90°等這些特殊的角進行估計，是估測的一個有效策略。下面請用量角器驗證一下估測的結(jié)果。

角的度量的本質(zhì)是看被測對象中含有多少個“單位小角”，這是學生理解量角器的邏輯基礎(chǔ)。量角器的本質(zhì)是“單位小角”的不斷累加，用1°累加成2°，3°，10°，30°……學生在這個過程中，首先感受到角的有限可加，進而認識更多的度數(shù)，明白“度量的對象里包含了多少個度量單位就是多少度”。其次，所有這些角的頂點都重合在一個點上，而這個點就是量角器的中心點，同時也是角的頂點，這也為角的頂點與中心點重合找到了思維的根基。最后，在實際測量中，學生感受到了單邊一圈量角器的不足，自然產(chǎn)生了完善量角器的需求，在外圈再反向（順時針）標一圈刻度，讓內(nèi)圈刻度與外圈刻度完美對應(yīng)，突破了量角器上兩圈刻度讀法的難點。教師再引導學生在量角器上找角、估角與量角、生活中找角，幫助學生加強對量的深度體驗、對單位量的感知以及對累加量的感悟，形成了不同單位量的表象，拓展了度量單位，豐富了量感。

量感的培養(yǎng)是一個較長期的、反復體驗、不斷矯正的過程，與學生個體的活動經(jīng)驗有關(guān)。學生能根據(jù)實際情況靈活地選擇不同的度量單位進行度量，這是量感發(fā)展的最高境界。