苑濤 戴漢寧? 陳宇翱

1) (中國科學技術大學,合肥微尺度物質科學國家研究中心和物理學院,合肥 230026)

2) (中國科學技術大學,上海量子科學研究中心和中國科學院量子信息與量子科技創(chuàng)新研究院,上海 201315)

3) (合肥國家實驗室,合肥 230088)

在拓撲系統(tǒng)中,探索相互作用引起的新奇的拓撲泵浦現(xiàn)象日益受到人們的關注,其中包括由相互作用誘導的非線性拓撲泵浦.本文提出可以利用超冷原子動量光晶格系統(tǒng),有效地模擬一維非線性的非對角Aubry-André-Harper (AAH) 模型,研究非線性拓撲泵浦的實驗方案.首先,通過數(shù)值方法計算了一維非對角AAH模型的非線性能帶結構隨相互作用強度的變化,得到了非線性系統(tǒng)的孤子態(tài)解.然后,分析了不同相互作用強度下孤子態(tài)的拓撲輸運,發(fā)現(xiàn)其質心的移動距離具有量子化的輸運特征,由所占據(jù)能帶的陳數(shù)決定,并討論了非線性拓撲泵浦對相互作用符號的依賴性.同時還計算了在不同相互作用強度下,系統(tǒng)最低能帶和最高能帶對應陳數(shù)的分布.最后,基于 7 Li 原子的動量光晶格實驗系統(tǒng),提出了一個非線性拓撲泵浦方案.本文構造了一種近似于孤子態(tài)分布的初始態(tài)并演示了其動力學演化過程,并分析了絕熱演化條件對泵浦過程的影響.結果表明,在動量晶格系統(tǒng)中演示非線性拓撲泵浦具有可行性.本文的工作為在超冷原子系統(tǒng)中研究非線性拓撲泵浦提供了一個可行的途徑,有助于進一步探測非線性引起的拓撲相變和邊界效應.

1 引言

拓撲泵浦[1]是一種在絕熱調制的周期性勢阱中的量子化輸運現(xiàn)象,在實現(xiàn)粒子的量子化傳輸[2]、糾纏態(tài)產(chǎn)生[3]和探索高維拓撲系統(tǒng)性質[4]方面有重要的應用.因此,人們對其進行了大量的研究[5?7],并在超冷原子[8]、自旋[9]、光波導[10]以及聲波波導[11]等實驗系統(tǒng)中觀測到了量子化的拓撲泵浦現(xiàn)象.最近,在拓撲系統(tǒng)中,探索相互作用引起的新奇的泵浦現(xiàn)象日益受到人們的關注.例如由相互作用誘導的非線性拓撲泵浦,其特征為中等強度的非線性支持孤子態(tài)的量子化輸運,而強非線性使得孤子態(tài)呈現(xiàn)局域特性.通過理論研究,人們提出可以利用液晶[12]、超冷原子[13,14]和光波導[15]系統(tǒng)具有的非線性效應,實現(xiàn)對非線性拓撲泵浦的探索.到目前為止,人們僅在光波導系統(tǒng)中通過引入克爾型吸引非線性觀測到了量子化的整數(shù)[15]和分數(shù)拓撲泵浦現(xiàn)象[16].所以,在不同的系統(tǒng)中開展進一步的研究工作仍然是有必要的,可以更深入地理解非線性拓撲泵浦現(xiàn)象并探索其應用前景.

在超冷原子系統(tǒng)中,人們可以利用光晶格[17]和Feshbach 共振[18]技術對原子之間的相互作用進行精確的調控,這使其成為研究由相互作用誘導的非線性效應的理想平臺.例如人們已經(jīng)研究了物質波孤子[19]和非線性局域化[20]等現(xiàn)象.特別是,隨著超冷原子動量晶格技術的發(fā)展[21],可以利用其具有的晶格參數(shù)和系統(tǒng)相互作用可獨立精確調制的特性,來研究非線性動力學和拓撲物理,并在實驗上觀測到了相互作用導致的自陷俘效應[22]以及對遷移率邊的影響[23].值得注意的是,在超冷原子系統(tǒng)關于拓撲泵浦的研究中,相對于線性拓撲泵浦而言,對于非線性拓撲泵浦的研究仍然很少.因此,本文提出可以利用超冷原子動量晶格系統(tǒng)來演示非線性拓撲泵浦,為進一步探索非線性拓撲輸運提供了一定的指導.

本文用數(shù)值求解方法計算一維非對角Aubry-André-Harper (AAH)模型的非線性能帶結構隨相互作用強度的變化,并分析了孤子態(tài)的非線性拓撲泵浦具有量子化的輸運特征.進一步,基于7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),提出了一個演示非線性拓撲泵浦的方案,并分析了絕熱演化條件對泵浦過程的影響.結果表明,在動量晶格系統(tǒng)中演示非線性拓撲泵浦具有可行性.本文為在超冷原子系統(tǒng)中研究非線性拓撲泵浦提供了一個可行的途徑,可進一步擴展對非線性拓撲現(xiàn)象的研究.

全文結構安排如下: 第2 節(jié)對一維非對角AAH模型的非線性能帶和孤子態(tài)進行分析;第3 節(jié)對不同相互作用系統(tǒng)中非線性泵浦過程進行了分析;第4 節(jié)基于7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),提出了一個具體的非線性拓撲泵浦方案.第5 節(jié)是對非線性拓撲泵浦的總結與展望.

2 理論模型

本方案研究的是一維非對角AAH 模型[24?26]的非線性拓撲泵浦.如圖1(a)所示,在一維非對角AAH 模型中,每個原胞包含3 個格點(分別表示為A,B和C),最近鄰格點之間的耦合強度分別為Jab(t) ,Jbc(t) 和Jca(t),且每個格點上的能量均為零.在緊束縛近似下,一維非對角AAH模型的有效哈密頓量表示為

圖1 (a)一維非對角AAH 模型示意圖,每個晶格原胞有3 個格點(A,B,C),最近鄰格點之間的耦合強度(Jab,Jbc,Jca)隨時間變化,每個格點上的能量設置為零;(b)在一個泵浦周期內,耦合強度的周期性調制函數(shù) (由(2)式定義);(c)在 Ω t=0 時刻,非對 角AAH 模型非線性能帶結構在不同相互作用強度 g=0,1.5,2.0 下的分布.圖中的物理量均以 Jmax 為單位,耦合強度值Jab=0.77,Jbc=0.10 和Jca=0.77Fig.1.(a) Schematic illustration of 1D off-diagonal AAH model with three sites (A,B,C) per unit cell and time-dependent couplings (Jab,Jbc,Jca) between neighbouring sites;(b) variation of the couplings during one pumping cycle defined by Eq.(2);(c) energy bands of nonlinear off-diagonal AAH model vs.interaction strength g.All quantities shown in the pictures are given in units of Jmax,with coupling strength values Jab=0.77,Jbc=0.10 and Jca=0.77 .

其中,j=0,1,2 分別對應的是Jab(t),Jbc(t) 和Jca(t)耦合項;Jmax表示系統(tǒng)的最大耦合躍遷強度,設定Jmax=1 作為能量單位;Ω為耦合強度的調制頻率,要求調制頻率盡可能低,以滿足絕熱演化條件.在一個調制周期內(Ωt=2π),耦合強度的調制曲線如圖1(b)所示.同時,根據(jù)不同的J/K比值,一維非對角AAH 模型具有不同的拓撲特征[27].本文選擇J=0.55 和K=0.45,那么系統(tǒng)3 個能帶的陳數(shù)分別為C={-1,2,-1}.

進一步,在一維非對角AAH 模型的基礎上,考慮到平均場相互作用帶來的格點上的非線性項,那么,第n個原胞中A,B和C格點的波函數(shù)演化將由一組離散的非線性薛定諤方程決定,具體如下:

其中,φn,a(t),φn,b(t),φn,c(t) 分別表示在t時刻原胞n中3 個格點上的波函數(shù)振幅;g＞0 (或g＜0)表示相互作用強度.

之后,通過求解定態(tài)薛定諤方程H(k,Φ(k))Φ(k)=EΦ(k),就可以得到非線性系統(tǒng)的本征值(E)和本征態(tài)(Φ(k)).具體而言,采用的求解過程如下所示.將定態(tài)薛定諤方程H(k,Φ(k))Φ(k)=EΦ(k) 展開后,可以得到:

該方程組是一個6 元目標函數(shù)F(X)=(F0,F1,F2,F3,F4,F5)T,其中X=(E,a,b,c,u,v) 為變量.對每個方程均求一階偏導數(shù)后,可以得到目標函數(shù)F(X) 的雅可比矩陣J(X) .之后,通過牛頓迭代法,利用泰勒展開式對目標函數(shù)進行局部近似,并通過求解近似函數(shù)的根來逐步逼近方程的真實解,得到E,a,b,c,u,v這6 個變量的解,從而得到能量E和波函數(shù)Φ(k)=(?a,?b,?c)T.

利用上述數(shù)值計算方法,計算了在相互作用強度g＞0 的情況下,非對角AAH 模型的非線性能帶結構,結果如圖1(c)所示.這里設定的是Ωt=0時刻的耦合強度值,即Jab=0.77,Jbc=0.10 和Jca=0.77.從圖中可以看出,能帶結構因相互作用的存在產(chǎn)生了改變.隨著g強度的增加,第二能帶和最高能帶的能量發(fā)生了偏移,但其能帶的色散關系沒有發(fā)生變化.相比之下,最低能帶除了發(fā)生了能量偏移,其能帶色散關系也出現(xiàn)了調制,從具有色散特征的能帶逐漸變成了平帶結構.對于一個無色散的平帶系統(tǒng)而言,系統(tǒng)的群速度為零,波包可以作為一個整體在晶格中進行演化,表現(xiàn)為物質波孤子態(tài)[28].

圖2(a)是在相互作用g＞0 情況下,最低能帶的孤子態(tài)分布.該孤子態(tài)主要分布在單個原胞3 個格點上,且φn,a,φn,c和φn,b之間存在著π 相位.如圖2(b)所示,將這種孤子態(tài)作為初始注入態(tài),在g ＞0的非線性系統(tǒng)中進行淬火動力學演化,可以發(fā)現(xiàn)孤子態(tài)表現(xiàn)出局域化效應.采用同樣的方法,也可以計算出相互作用g＜0 非線性的非對角AAH 模型的能帶結構隨g的變化,如圖2(d)所示.可以看出,g＜0 的相互作用主要是對最高能帶的結構產(chǎn)生調制,使其從具有色散特征的能帶逐漸變?yōu)槠綆ЫY構.如圖2(c)所示,其本征態(tài)同樣具有孤子態(tài)的分布特征,且3 個格點上的波函數(shù)是同相位的.這些結果為進一步探索非線性系統(tǒng)中的拓撲泵浦現(xiàn)象提供了基礎.

圖2 (a),(b)在 g ＞0 的 系統(tǒng)中,計算得到的最低能帶的孤子態(tài)的波函數(shù)分布,在淬火動力學演化過程中是嚴格局域化的;(c),(d)在 g ＜0 的系統(tǒng)中,最高能帶的孤子態(tài)波函數(shù)分布和能帶結構的分布Fig.2.(a),(b) In the system of g ＞0,the wave function distribution of soliton state for the lowest energy band is strictly localized in the process of the quench dynamics;(c),(d) in the system of g ＜0,the wave function distribution of soliton state for the highest band and the energy band structure.

3 結果分析

接下來,對非線性系統(tǒng)中的孤子態(tài)的拓撲泵浦過程進行了分析.分別在g＞0 和g＜0 區(qū)間選取了一個典型的相互作用強度值,對孤子態(tài)的演化過程進行了數(shù)值求解.圖3(a)給出的是在無相互作用系統(tǒng)中的線性拓撲泵浦過程.這里選擇的初始態(tài)為占據(jù)最低能帶(C0=-1)的瓦尼爾態(tài),且耦合強度的調制頻率為Ω/Jmax=0.02,滿足絕熱演化條件.在這種情況下,物質波包的衍射效應呈主要作用,波包在演化過程中存在著明顯的色散.在一個泵浦周期內,波包質心向左移動了3 個晶格格點的距離,具有量子化泵浦的特征,受所占據(jù)能帶的陳數(shù)決定.隨著相互作用的增強,系統(tǒng)會產(chǎn)生穩(wěn)定的非線性拓撲孤子態(tài),波包作為整體在晶格中進行移動,此時相互作用起到了將波包局域化的效果.圖3(b)給出的是g=1.5 情況下的非線性拓撲泵浦.選擇的初始態(tài)和圖2(a)所示的波函數(shù)分布形式一致,是處在最低能帶上的孤子態(tài)分布,耦合強度的調制頻率為Ω/Jmax=0.01,滿足絕熱演化條件.在每個泵浦周期內,質心仍遵循向左移動3 個晶格格點的距離,仍由最低能帶的陳數(shù)決定.利用同樣的方法,計算了在g=-1.5 的系統(tǒng)中,對于占據(jù)最高能帶的孤子態(tài)(圖2(c)),同樣表現(xiàn)為具有量子化的非線性拓撲泵浦過程,結果如圖3(c)所示.

圖3 非線性拓撲泵浦 (a) g=0 系統(tǒng)中,最低能帶上分布的瓦尼爾態(tài)的線性泵浦演化;(b) g=1.5 系統(tǒng)中,最低能帶的孤子態(tài)的非線性演化;(c) g=-1.5 系統(tǒng)中,最高能帶的孤子態(tài)的非線性演化;(d) 在兩個泵浦周期內,系統(tǒng)的質心位移結果.上述結果均是對(3)式進行數(shù)值求解所得,所用參數(shù): (a)耦合強度 Jmax=1,調制頻率 Ω/Jmax=0.02,原胞數(shù) Nc=101 ;(b),(c)耦合強度Jmax=1,調制頻率 Ω/Jmax=0.01,原胞數(shù)Nc=21Fig.3.Interaction induced nonlinear propagation in topological pumps: (a) At g=0,the linear pump evolution of uniformly distributed Wanier states at the lowest band;(b) at g=1.5,the nonlinear evolution of the soliton state for the lowest occupancy band;(c) at the g=-1.5,the nonlinear evolution of the soliton state for the highest occupancy band;(d) displacement of the centre of mass for the cases shown in a to c.The results are obtained by numerically solving Eq.(3) with parameters: (a) Jmax=1,Ω/Jmax=0.02,Nc=101 ;(b),(c) Jmax=1,Ω/Jmax=0.01,Nc=21 .

通過對非線性拓撲泵浦過程的數(shù)值分析可以得到,在較弱的相互作用強度條件下,系統(tǒng)存在的孤子態(tài)的演化過程滿足量子化的輸運特征.同時,利用本文提到的數(shù)值求解方法對系統(tǒng)的能帶結構進行求解H(k)|Φn(k)〉=En(k)|Φn(k)〉,得到了能帶和波函數(shù).那么第n個能帶對應的陳數(shù)為[29]

其中,Fn=〈?tΦn|?kΦn〉-〈?kΦn|?tΦn〉 為貝里曲率.這里,采用數(shù)值方法[30]對能帶陳數(shù)進行計算,具體結果如圖4 所示,在g＞0 的弱相互作用區(qū)間,最低能帶的陳數(shù)保持為C0=-1 ;在g＜0 的弱相互作用區(qū)間,最高能帶的陳數(shù)保持為C2=-1 .同樣,Jürgensen 等[15]通過一種自定義的間接方法,在弱相互作用區(qū)間對最低能帶的陳數(shù)進行了計算,陳數(shù)也為C0=-1 .

圖4 在 g ＞0 和 g ＜0 的弱相互作用系統(tǒng)中,分別計算最低能帶的陳數(shù) C0 和最高能帶的陳數(shù)C2Fig.4.Chern number associated with the energy band are calculated for g ＞0 and g ＜0 in the regime of weak interaction strengths,respectively.

4 實驗方案

本節(jié)基于玻色子7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),提出了一個演示非線性拓撲泵浦的實驗方案.圖5(a)簡要描述了動量晶格的實現(xiàn)原理[21].將一對對射晶格光(波長為λ)照射到BEC 原子團上,其中向右傳播的晶格光包含單一頻率(E+cos(kx-ω++?+)),而向左傳播的晶格光中包含多個頻率成分.通過雙光子布拉格躍遷,每對光場 (ω+和) 都會對相鄰的動量態(tài)(|n〉 和|n+1〉)之間的耦合躍遷產(chǎn)生影響.這里,晶格光的波長為λ=1064 nm,遠 失諧 于7Li 原子 的能級躍遷線(671 nm).同時,對于處在基態(tài)原子團的色散關系可以近似處理為自由粒子的色散關系,那么相鄰動量態(tài)|n〉 和|n+1〉 之間的能級差為ΔE=4Er(2n+1),其中,原子的反沖能 量Er=?2k2/(2M) (M是原子質量),對于λ=1064 nm 的晶格光,Er=2π× 25 kHz.并且,每對光場 (ω+和) 之間的頻率差滿足 4Er(2l+1)/?,相位差滿足.那么,描述動量晶格系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

圖5 利用動量晶格系統(tǒng)演示非線性拓撲泵浦方案 (a) 動量晶格示意圖;(b) 初態(tài)制備過程;(c) 在兩個泵浦周期內,調制頻率為 Ω/Jmax=0.5 時孤子態(tài)的動力學演化;(d) 在兩個泵浦周期內質心移動的晶格距離(紅線為動量晶格的實際哈密頓量計算的結果,藍線為理想哈密頓量計算的結果);(e) 絕熱演化條件分析,不同 Ω/Jmax 對應的每個泵浦周期質心位置的移動距離.設置參數(shù)為: Jmax=2π×10.0 kHz,U/Jmax=1.5,Nc=21Fig.5.Implementatial proposal of nonlinear topological pumping based on the momentum lattice: (a) Schematic diagram of the momentum lattice;(b) preparation of initial state;(c) dynamics evolution of soliton state in two pumping periods,with modulation frequency of Ω/Jmax=0.5 ;(d) lattice displacement of the center-of-mass during two pumping periods (The red line is the result calculated from actual Hamiltonian of the momentum lattice,and the blue line is the result of the ideal Hamiltonian);(e) analysis of adiabatic evolution conditions.The shift of center-of-mass for each pumping period corresponding to different values of Ω/Jmax .Parameters are: Jmax=2π×10.0 kHz,U/Jmax=1.5,Nc=21 .

在平均場近似和Hartree-Fock 近似處理下,每個動量態(tài)波函數(shù)的動力學演化均由Gross-Pitaevskii (GP) 方程決定,其表達式與(3)式類似,即

其中,相互作用強度項為U=4π?2asρN/M(ρN是BEC 原子團密度,as是s 波散射長度).通過Feshbach 共振[18]技術調節(jié)原子間的散射長度as,可實現(xiàn)對相互作用的精確調節(jié).同時,在不同演化時刻下,系統(tǒng)波函數(shù)的分布均需滿足歸一化條件,即

在動量晶格系統(tǒng)中演示非線性拓撲泵浦方案,表征原子團輸運特征的觀測量可以定義為在一個泵浦周期內原子團的平均動量的變化量,即

其中,n為動量態(tài) |n〉 對應的晶格格點坐標;|φn(t)|2表示原子分布在動量態(tài) |n〉 的概率;動量態(tài)質心移動的距離單位是 2 ?k.實驗中可以通過時間飛行測量來探測所有動量態(tài)的原子團的密度分布,從而得到不同演化時刻下的所有動量態(tài)分布情況,即|φn(t)|2.通過(10)式可計算出原子團的平均動量移動的距離.

下面對演示方案進行具體描述.由文獻[31,32]可得,對于|F=1,mF=1〉 內態(tài)的7Li 原子系統(tǒng),可以利用Feshbach 共振技術精確調控原子間的相互作用.當囚禁BEC 原子團的勢阱頻率為(ωx,ωy,ωz)=2π×(70,800,800) Hz,并在偏置磁場強度調節(jié)到710 G 左右,即散射長度達到約 200a0(a0表示玻爾半徑)時,可以得到原子數(shù)為N=3.0×105的BEC 原子團.在動量晶格中,設定最大耦合強度為Jmax=2π×10 kHz,且滿足Jmax?8Er的條件.同時設定偏置磁場為B=731.548 G左右,使得s 波散射長度為as≈1000a0,可調控相互作用強度為U/Jmax=1.5 .

為了在動量晶格系統(tǒng)上更方便地制備初態(tài)并演示非線性拓撲泵浦過程,將初態(tài)構造成近似滿足孤子態(tài)的形式,即將波函數(shù)全部分布在中間原胞的格點上,而其他原胞格點上的分布忽略不計.圖5(b)是初態(tài)制備的示意圖.這里選擇將|-1〉,|0〉,|+1〉3 個動量態(tài)組成初態(tài)所占據(jù)的原胞.在t=0 時刻,系統(tǒng)處在零動量的BEC 狀態(tài),此時波函數(shù)為Ψ0=(0,1,0)T.之后,同時打開|-1〉,|0〉 和|0〉,|+1〉動量態(tài)之間的耦合躍遷項,分別設置為Je-iθ和Jeiθ,原子會在3 個動量態(tài)格點之間進行拉比振蕩.經(jīng)過時間t的演化,得到的目標初始態(tài)為Ψini=這樣,通過選擇合適的耦合項參數(shù)J,θ和時間t,就可以制備所需要的初始態(tài).如當選擇參數(shù)J=2π×4.0 kHz,θ=π/2 和t=18.1μs 時,初 始態(tài)分布為Ψini=(-0.424,0 .800,-0.424)T,滿足相互作用為U/Jmax=1.5 的系統(tǒng)對孤子態(tài)分布的要求.

圖5(c)給出了在相互作用強度為U/Jmax=1.5的系統(tǒng)中,上文所示初始態(tài)的非線性泵浦過程.這里,相鄰動量態(tài)之間的耦合強度按照(2)式進行調制,設定的最大耦合強度為Jmax=2π×10.0 kHz,調制頻率為Ω/Jmax=0.5,系統(tǒng)原胞數(shù)為Nc=21 .從圖5(d)所示的質心位移結果可以發(fā)現(xiàn),計算得到的質心位移值基本上體現(xiàn)出了量子化的輸運特征,但其與理想值 〈pc〉=-3.0 之間仍有一定偏離,主要是受到實際動量晶格中的非共振的多頻率光帶來的能級失諧和系統(tǒng)絕熱演化條件等因素的影響.

通過數(shù)值分析,評估了演化過程中的絕熱條件對非線性泵浦效果的影響,如圖5(e)所示.計算了在不同的調制頻率Ω/Jmax情況下,單個泵浦周期內原子動量態(tài)質心 (〈pc〉) 移動的晶格距離.從圖中可以看出,調制速率越慢,即Ω/Jmax越小,〈pc〉越接近理想的移動距離 〈pc〉=-3.0 .隨著Ω/Jmax的增加,逐漸破壞演化過程所需要的絕熱條件,〈pc〉 會逐漸偏離理想值.當Ω/Jmax=0.5 的時候,〈pc〉≈2.8,基本也能夠體現(xiàn)出非線性拓撲泵浦的主要特征.并且,在此調制頻率下,每個調制周期所需的時間為T=2π/Ω=0.2 ms,這樣的參數(shù)在實驗上具有一定的可行性.同時,考慮到囚禁BEC 原子團的外勢阱形狀對原子團分布和相干演化時間的影響,動量晶格系統(tǒng)演化的相干時間在1 ms 以內.這樣,基本上可以從3 個調制周期內的動力學演化結果中得到能帶的陳數(shù).

5 結論

本文使用數(shù)值求解方法計算了一維非對角AAH 模型的非線性能帶和孤子態(tài)解,并分析了在g ＞0 和g＜0 的相互作用系統(tǒng)中,存在著處于最低能帶和最高能帶的孤子態(tài)的量子化的輸運現(xiàn)象.此外,基于7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),還提出了一個演示非線性拓撲泵浦的實驗方案,并分析了其在動量晶格實驗上的可行性.本文為在超冷原子系統(tǒng)中實現(xiàn)非線性拓撲泵浦提供了一個新穎且可行的途徑,可進一步用于研究非線性系統(tǒng)的拓撲輸運現(xiàn)象,例如邊界態(tài)在相互作用系統(tǒng)中的拓撲輸運[33?35].

感謝中國科學技術大學鄭煒教授和羅祎帆博士的有益討論.