嚴(yán)永芳

摘要：會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界是數(shù)學(xué)教育的育人理念之一.本文從培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言的兩大核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析與生活緊密相連的特征出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐案例，進(jìn)一步闡述利用“時(shí)空情境”的巧創(chuàng)設(shè)對(duì)于激發(fā)學(xué)生探究的興趣和提升數(shù)學(xué)語言能力的積極作用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)語言；時(shí)空情境；數(shù)學(xué)建模；數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)作為最重要的基礎(chǔ)學(xué)科，無論接受教育的人將來從事的工作是否與數(shù)學(xué)有關(guān)，通過基礎(chǔ)教育階段所應(yīng)達(dá)成的終極培養(yǎng)目標(biāo)都可以描述為：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

數(shù)學(xué)語言是什么呢？它主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)建模使得數(shù)學(xué)與外部世界緊密相連，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.如今，幾乎所有的學(xué)科在發(fā)展的過程中都需要使用數(shù)學(xué)語言，除了數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)之外，主要是通過建立數(shù)學(xué)模型刻畫研究對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.在大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)分析變得越來越重要，逐漸形成了一種新的數(shù)學(xué)語言，因此課標(biāo)制訂組把數(shù)據(jù)分析作為一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提出.

上海從2020年開始全面使用新教材，“以問題為中心，以學(xué)生為中心”是新課程新課標(biāo)倡導(dǎo)的核心理念.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確指出高中數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)應(yīng)用和聯(lián)系實(shí)際方面需大力加強(qiáng)，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)摹扒榫场?，鼓?lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)的形成過程.數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)語言能力培養(yǎng)的兩大核心素養(yǎng)，與現(xiàn)實(shí)生活緊密結(jié)合，教師在教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)摹皵?shù)學(xué)情境”能使教學(xué)效果事半功倍，“時(shí)空情境”的巧創(chuàng)設(shè)在其中也是非常重要的.

1“時(shí)空情境”的理解

“時(shí)空情境”顧名思義指在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，從時(shí)間和空間兩個(gè)維度出發(fā)，選擇以時(shí)間軸和空間軸為主導(dǎo)，以學(xué)生自主學(xué)習(xí)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為價(jià)值取向的刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息.時(shí)間軸上以數(shù)學(xué)發(fā)展中問題的發(fā)生順序?yàn)橹匾罁?jù)，是一種有方向性的且持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)問題.在空間軸上是指數(shù)學(xué)發(fā)展中不同的空間位置，是反映數(shù)學(xué)發(fā)展范圍的重要依據(jù).在“時(shí)空情境”的概念中，時(shí)間和空間是不同方向的判斷依據(jù)和問題取向，兩者緊密結(jié)合將數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析中很多實(shí)際問題緊密相連，激發(fā)了學(xué)生探究的興趣，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.

2“時(shí)空情境”創(chuàng)設(shè)的實(shí)踐

2.1數(shù)據(jù)分析實(shí)踐應(yīng)用舉例

教師一方面可以以概率統(tǒng)計(jì)為載體培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，另一方面，也可以以高中數(shù)學(xué)新教材四條主線中常見模型和生活中實(shí)例為載體培養(yǎng)學(xué)生的分析能力.有了教師精心設(shè)計(jì)的“時(shí)空情境”更能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的熱情，對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)具有非常重要的意義.

高中“概率統(tǒng)計(jì)”大部分內(nèi)容都是簡(jiǎn)單易理解且來源于生活，教學(xué)創(chuàng)設(shè)的情境都貼近實(shí)際并廣泛存在人們的生活當(dāng)中，如人口預(yù)測(cè)問題、種群增長(zhǎng)問題、垃圾回收問題、產(chǎn)品滿意度調(diào)查、工廠生產(chǎn)銷售問題、商場(chǎng)促銷問題等等.面對(duì)常見的生活問題，在課堂教學(xué)創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，教師精心準(zhǔn)備一些時(shí)空背景的情境，利用古今對(duì)比、空間轉(zhuǎn)換和史料激趣的方式將大大提升學(xué)生的興趣和探究的熱情，引發(fā)學(xué)生的自主思考，讓學(xué)生切實(shí)感受數(shù)學(xué)模型在生活中的應(yīng)用和數(shù)學(xué)給生活帶來的便利.譬如，在創(chuàng)設(shè)人口數(shù)量問題情境時(shí)插播一則實(shí)時(shí)新聞：2022年11月15日，世界人口達(dá)到80億，這將是人類發(fā)展的一個(gè)里程碑.全球人口從70億增長(zhǎng)到80億花了12年的時(shí)間，而從80億到90億則需要大約15年的時(shí)間，這表明全球人口的總體增長(zhǎng)速度正在放緩.這個(gè)人口預(yù)測(cè)是如何實(shí)現(xiàn)的？

此時(shí)加上時(shí)空背景中學(xué)生高一語文學(xué)習(xí)《短歌行》時(shí)曹操憂慮“人生苦短，壯志未酬”，曹操好好的為啥會(huì)感嘆人生苦短呢？據(jù)史料記載：整個(gè)三國(guó)時(shí)代的動(dòng)亂，本質(zhì)上是東漢立國(guó)以后，社會(huì)各階層百年矛盾的集中爆發(fā).所以，處在這一時(shí)期的所有人都異常痛苦、煎熬，為了茍且地活下去，所有人不得不在亂世中拼盡全力地去掙扎.永壽三年（157年），東漢王朝人口統(tǒng)計(jì)，漢帝國(guó)有5647萬余人.而到了三國(guó)后期，《三國(guó)志》記載蜀漢僅有人口94萬余，孫吳也僅僅230萬余，而人口最多的曹魏也僅有443萬余.這也就是說，整個(gè)三國(guó)加起來僅有767萬人.人口損失率高達(dá)86%！古代人口數(shù)量又是如何統(tǒng)計(jì)的呢？

利用古今對(duì)比，加上給予學(xué)生震撼的數(shù)據(jù)，學(xué)生的探究欲望一下子被點(diǎn)燃，對(duì)于人口統(tǒng)計(jì)方法的研究和選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行預(yù)測(cè)的問題被發(fā)現(xiàn)和提出，問題通過學(xué)生的課題研究最終被解決.選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，通過現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)，這是數(shù)學(xué)模型在人口問題上的初探，也幫助了學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)和提出問題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.

在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中選擇學(xué)生身邊的PISA測(cè)試，引出問題1：在國(guó)際經(jīng)合組織主持的國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（簡(jiǎn)稱PISA）研究中，由上海、北京、江蘇和浙江學(xué)生組成的中國(guó)“聯(lián)隊(duì)”于2018年參加測(cè)試，最終在閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)3項(xiàng)測(cè)試中均獲得了全球第一的成績(jī).本次測(cè)試總共吸引了來自79個(gè)國(guó)家（地區(qū)）約60萬學(xué)生參與，中國(guó)“聯(lián)隊(duì)”中四省的參測(cè)學(xué)校達(dá)到361所，學(xué)生代表12058人.某研究人員想要利用PISA的數(shù)據(jù)庫統(tǒng)計(jì)四省市所有15歲初中生的數(shù)學(xué)成績(jī)，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？

此時(shí)再加上時(shí)空背景下的實(shí)際問題2：18世紀(jì)初，時(shí)值我國(guó)清朝時(shí)期，為了慶祝雍正繼位，國(guó)家鑄幣廠要鑄造新的錢幣，鑄幣后需要對(duì)銅幣的質(zhì)量進(jìn)行檢查，檢驗(yàn)銅幣的重量和含銅量是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，全部檢查直接大量的銅幣是不可能完成的，因此有人設(shè)計(jì)了一個(gè)檢驗(yàn)銅錢質(zhì)量的方法.每天把鑄造出來的銅錢隨機(jī)拿出一枚放到檢查箱內(nèi)，月底打開，稱重，融化提純，最后計(jì)算平均每一枚的平均重量和平均純度，看是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).如果質(zhì)量不達(dá)標(biāo)，鑄幣匠將會(huì)遭受上級(jí)的懲罰. 請(qǐng)同學(xué)們給鑄幣匠設(shè)計(jì)一個(gè)更好的檢驗(yàn)銅錢質(zhì)量的方法.

再回到2021年對(duì)于城鎮(zhèn)居民可支配收入民生問題3（表1）：

每年地方統(tǒng)計(jì)局都會(huì)對(duì)當(dāng)?shù)氐娜司芍溥M(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)公布以后，很多人都會(huì)感覺自己沒有達(dá)到平均收入，認(rèn)為自己屬于“拖后腿”的那一類. 請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用已有知識(shí)和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)思考出現(xiàn)這種情況的原因是什么？

利用時(shí)空交錯(cuò)的情境，由問題1提出抽樣方法的選擇、問題2提出利用樣本估計(jì)總體的需求，問題3引發(fā)學(xué)生思考工資分布呈現(xiàn)偏態(tài)分布，小部分人工資較高，而多數(shù)人工資較低，總數(shù)相加起來得到的均值，會(huì)超出絕大多數(shù)人的工資.引出常用的平均數(shù)不足以估計(jì)總體的集中趨勢(shì)的思考，從而引發(fā)恰當(dāng)樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量的需求，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究的欲望.從今到古、從教育到民生，時(shí)空交替不僅使學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)問題深入研究，也讓學(xué)生深深體會(huì)到數(shù)學(xué)就在生活中.

2.2數(shù)學(xué)建模實(shí)踐應(yīng)用舉例

教師針對(duì)性創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境所提出問題肯定要緊貼新課標(biāo)，在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中依據(jù)最近發(fā)展區(qū)，設(shè)計(jì)難度適中的問題，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生去發(fā)揮、去突破，然后師生交流，通過教師引導(dǎo)，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維，積累學(xué)生數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).前面的教學(xué)設(shè)計(jì)都選擇生活中時(shí)空背景的問題情境，其實(shí)在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐中也可以融入時(shí)空背景的情境，以期達(dá)到事半功倍的效果.

【經(jīng)典問題】已知點(diǎn)A（-1，1），B（2，5），P是直線l：x-y+1=0上一動(dòng)點(diǎn)，求|PA|+|PB|的最小值.

在這個(gè)純粹的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題前面加上：傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題.如圖1所示，將軍每天從A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B軍營(yíng)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)著名的問題“將軍飲馬”得到了廣泛的流傳，唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》中“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”一句便蘊(yùn)含著“將軍飲馬”這個(gè)歷史上經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.

【問題反思】本題是典型的解析幾何的應(yīng)用問題，從純數(shù)學(xué)問題中引入西方“將軍飲馬”和古代李頎的詩《古從軍行》的實(shí)例，從古到今、從西方到東方的時(shí)空交替，“時(shí)空情境”將學(xué)生困惑的幾何問題從代數(shù)的“瓶頸”中找到突破口，將A和B看成兩個(gè)點(diǎn)，河看成直線，就可以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后要求學(xué)生能在圖形中建立數(shù)學(xué)模型，抽象出函數(shù)關(guān)系和幾何關(guān)系，借助其幾何意義來解決實(shí)際問題，找到對(duì)應(yīng)的模型和方法進(jìn)行分析和解決.

從“時(shí)空情境”的創(chuàng)設(shè)中，學(xué)生不經(jīng)意間經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，也對(duì)解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟有了更深入的理解，第一步是建立數(shù)學(xué)模型，使生活中的問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，第二步是利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.在解題過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到了發(fā)展，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)思考的習(xí)慣，讓學(xué)生感悟到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

“時(shí)空情境”只是“情境教學(xué)”中的一個(gè)方向，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中充分發(fā)掘出數(shù)學(xué)發(fā)展中時(shí)間和空間兩個(gè)維度出發(fā)的情境，使學(xué)生得到一定的情感體驗(yàn)，培養(yǎng)他們勤于動(dòng)腦、獨(dú)立思考、善于想象的能力，使學(xué)生在課堂情境中享受到了學(xué)習(xí)的樂趣，有效地幫助學(xué)生的心理機(jī)能得到發(fā)展.針對(duì)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中兩大核心素養(yǎng)的特征，即數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析與實(shí)際生活緊密聯(lián)系的特征，教師在教學(xué)中應(yīng)充分利用其本質(zhì)屬性，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)摹皶r(shí)空情境”能對(duì)學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行合理沖擊，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探究、討論的興趣，促使學(xué)生在“時(shí)空情境”中進(jìn)行科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿?，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力.參考文獻(xiàn)：

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