江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225009) 熊仁華

構(gòu)造函數(shù)法是指借助函數(shù)將要解決的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,通過輔助函數(shù)本身的性質(zhì)或利用函數(shù)的運(yùn)算結(jié)果解決原問題的方法[1].分析近幾年的高考試題,不難發(fā)現(xiàn)其對構(gòu)造函數(shù)的考察較為頻繁,而許多學(xué)生對于構(gòu)造函數(shù)的學(xué)習(xí)總是浮于表面,未能抓住構(gòu)造函數(shù)的本質(zhì),遇到題目并不知道應(yīng)該如何構(gòu)造.比較大小這類題型是近幾年高考數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn),而構(gòu)造函數(shù)就是其主要解法之一.本文旨在以近五年的高考題為例,橫向劃分四類不同題型,歸納不同題型的構(gòu)造方法,向同學(xué)展示構(gòu)造函數(shù)比較大小的妙用,提升同學(xué)對于構(gòu)造函數(shù)的掌握與應(yīng)用.

1 利用不等式構(gòu)造函數(shù)

對于題干給出不等式尋找某些量與0 的大小關(guān)系的題型,往往需要統(tǒng)一變量將不等號(hào)兩邊化為一致的結(jié)構(gòu)以構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性找出不等式中所涉及變量的大小關(guān)系,從而判斷所給量與0 的大小關(guān)系.

例1(2020,全國Ⅱ卷)若2x-2y ＜3-x-3-y,則( )

A.ln(y-x+1)＞0 B.ln(y-x+1)＜0

C.ln|x-y|＞0 D.ln|x-y|＜0

分析題中給出不等式2x -2y ＜3-x -3-y, 不等號(hào)左右兩邊都含有變量x,y, 不妨通過移項(xiàng),將原不等式化為2x-3-x ＜2y -3-y,從而構(gòu)造函數(shù)解決問題.

解由2x-2y ＜3-x-3-y,可知2x-3-x ＜2y-3-y,構(gòu)造函數(shù)f(x) = 2x-3-x,則有f(x)＜f(y).由于y= 2x為增函數(shù),y= 3-x為減函數(shù), 因此f(x) = 2x -3-x在R上單調(diào)遞增, 故x ＜y.由此可得y - x+ 1＞1, 故ln(y-x+1)＞ln 1=0,A 選項(xiàng)正確;由于|x-y|與1 的大小關(guān)系無法判斷,故C、D 錯(cuò)誤.

綜上所述,答案選A.

點(diǎn)評此題的關(guān)鍵在于通過移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù),得到變量x和y的大小關(guān)系,從而獲得問題的解決,屬于基礎(chǔ)題,讀者應(yīng)熟練掌握.

2 利用等量關(guān)系構(gòu)造函數(shù)

對于題干給出等量關(guān)系尋找大小關(guān)系這類題型,通常是通過統(tǒng)一等式兩邊的某些量(比如: 對數(shù)函數(shù)統(tǒng)一底數(shù)),從而構(gòu)造函數(shù), 將等式兩邊不同的量視為自變量的不同取值,然后通過研究函數(shù)的單調(diào)性得到其大小關(guān)系.

例2(2020,全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

A.a ＞2bB.a ＜2b

C.a ＞b2D.a ＜b2

分析題中給出一個(gè)等式,觀察左右兩邊,不難發(fā)現(xiàn)都是一個(gè)指數(shù)與一個(gè)對數(shù)的和,雖然其底數(shù)不同,但利用指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不難將其化為一致的形式.因此,不妨構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來判定大小.

解2a+ log2a= 4b+ 2log4b= 22b+ logb, 由于22b+ log22b= 22b+ log2b+ 1＞22b+ log2b, 因此22b+log22b ＞2a+log2a.構(gòu)造函數(shù)f(x) = 2x+log2x,因?yàn)閥=2x與y=log2x都為增函數(shù),所以f(x)=2x+log2x在定義域上單調(diào)遞增, 由2a+ log2a ＜22b+ log22b, 即f(a)＜f(2b),得到a ＜2b,故選B.對于a,b2的大小關(guān)系,我們通過對其函數(shù)值作差并利用函數(shù)單調(diào)性來判斷:

當(dāng)b= 1 時(shí),f(a)-f(b2) = 2＞0,即a ＞b2;當(dāng)b= 2 時(shí),f(a)-f(b2)=-1＜0,則a ＜b2.因此a和b2的大小關(guān)系不能確定,C、D 錯(cuò)誤.

點(diǎn)評此題的關(guān)鍵在于通過已知等式構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù), 而原始的等式左右兩邊的底數(shù)不同, 因此讀者需要有統(tǒng)一底數(shù)的意識(shí),從而發(fā)現(xiàn)解決此題的突破口,即構(gòu)造函數(shù)f(x) = 2x+log2x;此外log22b= log2b+1,考查對數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的同時(shí),也巧妙地考查了放縮法.

例3(2018, 浙江) 已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列, 且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1＞1,則( )

A.a1＜a3,a2＜a4B.a1＞a3,a2＜a4

C.a1＜a3,a2＞a4D.a1＞a3,a2＞a4

分析觀察這個(gè)等式,不難發(fā)現(xiàn)a1+a2+a3是公共部分,如果以整體的思維看,這個(gè)等式可以改寫為x+a4=lnx,即lnx-x=a4.那么不妨構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x,再進(jìn)一步去觀察其具有的性質(zhì),逐步得到公比q的范圍,以得到它們的大小關(guān)系.

解由a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3), 得ln(a1+a2+a3)-(a1+a2+a3) =a4, 不妨構(gòu)造函數(shù)f(x) = lnx-x,則,x ∈(0,+∞).顯然當(dāng)0＜x ＜1 時(shí),f′(x)＞0; 當(dāng)x ＞1 時(shí),f′(x)＜0.故f(x) 在區(qū)間(0,1) 上是增函數(shù), 在區(qū)間(1,+∞) 上是減函數(shù).故f(x)max=f(1) = ln 1-1 =-1.因此對一切x ∈(0,+∞),都有f(x) ≤-1 成立,也即lnx≤x-1,因此ln(a1+a2+a3)≤(a1+a2+a3)-1.又因?yàn)閍1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),所以a1+a2+a3+a4≤a1+a2+a3-1,也即a4≤-1.

設(shè)等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q(q≠0),又a1＞1,則q ＜0,因此a2＜0,a3＞0.若q≤-1,則

而

這與a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3) 相矛盾, 故-1＜q ＜0,則a1＞a3,a2＜a4,選B.

點(diǎn)評此題的難點(diǎn)在于通過已給的等式, 構(gòu)造出函數(shù)f(x) = lnx-x,進(jìn)而得到a4的取值范圍,再討論得到q的范圍.對于函數(shù)的構(gòu)造,這里需要通過一定的觀察,以及具備整體代換的思維,讀者在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意練習(xí)積累.

3 尋找共性巧設(shè)函數(shù)

對于給出需要比較的各個(gè)量的式子這類題型,一般的做法是利用作差法與0 作比較,但由于結(jié)果的正負(fù)難以直接判斷,因此通?？梢杂盟鼈兊哪硞€(gè)“共性”來進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造,將這個(gè)“共性”視為自變量,通過討論出函數(shù)的單調(diào)性,再得到“共性”對應(yīng)函數(shù)值的正負(fù),即可得到所求量的大小關(guān)系.

例4(2021, 全國Ⅰ卷) 設(shè)a= 2 ln 1.01,b= ln 1.02,則( )

A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜a

C.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b

分析a,b都是自然對數(shù),因此可以通過比較真數(shù)大小來判斷a,b的大小關(guān)系;對于a,c以及b,c的大小關(guān)系,則可以通過構(gòu)造函數(shù)來進(jìn)行判定.

解由于a= 2 ln 1.01 = ln 1.012= ln 1.0201, 而b= 1.02, 因此a ＞b.a - c= 2 ln 1.01-設(shè)x= 0.01,則因此構(gòu)造函數(shù)顯然,由于(1+x)2-(1+4x)=x2-2x=x(x-2)＜0,故f′(x)＞0,即f(x)在x ∈(0,1)上單調(diào)遞增,則f(0.01)＞f(0)=0,因此a ＞c.

綜上所述,b ＜c ＜a,選B.

點(diǎn)評在分別比較a,c以及b,c的大小關(guān)系時(shí),為了使得所構(gòu)造的函數(shù)最簡潔,分別令x= 0.01 以及x= 0.02,得到f(x)和g(x);當(dāng)然,都令x= 0.01 同樣可以證得結(jié)論(讀者可自行嘗試這種設(shè)法),只是這樣構(gòu)造出的函數(shù)g(x)就會(huì)有所差異,反映了構(gòu)造的靈活性.此外,為了方便討論函數(shù)的單調(diào)性,還應(yīng)限定x的取值范圍,一般以將目標(biāo)x的值包括在內(nèi)的區(qū)間盡可能小為宜,以免范圍太大,導(dǎo)致問題復(fù)雜化.

例5(2022,新高考Ⅰ)設(shè)a=0.1e0.1,,c=-ln 0.9,則( )

A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜a

C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b

分析題干給出的a,b,c三個(gè)量,直接比較顯然行不通,但通過觀察,不難發(fā)現(xiàn)這三個(gè)量都直接或間接地涉及了0.1這個(gè)數(shù),因此不妨通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行大小比較.

解由于a= 0.1e0.1,c=-ln 0.9 =-ln(1-0.1), 不妨構(gòu)造函數(shù)f1(x) =xex,f3(x)=-ln(1-x),x ∈(0,0.2),令

令h(x)=f1(x)-f3(x)=xex+ln(1-x),則h′(x)=令p(x)=ex(1-x2)-1,則p′(x) = ex(1-x2)+ex·(-2x) = ex(1-2x-x2)＞0,故h(x)在x ∈(0,0.2)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x=0 時(shí),h(x)=0,所以x=0.1 時(shí),h(x)＞0,即a ＞c.

綜上,c ＜a ＜b,故選B.

點(diǎn)評判斷幾個(gè)數(shù)的大小是近幾年高考數(shù)學(xué)常考的題型,對于這類題,往往首先需要找出它們的共性(比如此題中這三個(gè)量都涉及了0.1 這個(gè)數(shù)).從某種程度上講,發(fā)現(xiàn)這個(gè)共性是解決此類題型的突破口.當(dāng)然,要發(fā)現(xiàn)這個(gè)共性并非易事,需要讀者細(xì)致入微的觀察.

4 巧湊共性構(gòu)造函數(shù)

對于題干所給量不具備十分明顯的“共性”時(shí),可以有目的地湊出“共性”來構(gòu)造函數(shù),從而通過函數(shù)的單調(diào)性來確定所給量得到大小關(guān)系.

例6(2022, 全國甲卷) 已知試比較a,b,c的大小, 下列正確的是( )

A.c ＞b ＞aB.b ＞a ＞c

C.a ＞b ＞cD.a ＞c ＞b

分析由于b,c都是三角函數(shù),故可通過作商與1 比較得到兩者的大小關(guān)系;是一個(gè)常數(shù),不便直接與b,c比較大小,因此可以考慮構(gòu)造函數(shù).然而題干中并沒有給出等量關(guān)系,也沒有十分明顯的共性存在,因此該問題的難點(diǎn)就在于應(yīng)該如何構(gòu)造函數(shù).

解比較b和由于時(shí),x ＜tanx, 因此即c ＞b.構(gòu)造函數(shù)f(x) = cosx+-1,x ∈(0,1),則f′(x) =-sinx+x.由于f′′(x) = 1-cosx ＞0, 因此f′(x)＞f′(0) = 0, 即f(x) 在x ∈(0,1) 上單調(diào)遞增, 則有即,故b ＞a.

綜上所述,c ＞b ＞a,選A.

點(diǎn)評,由于b,c都涉及了常數(shù),因此不妨也將a表示為含常數(shù)的式子,即,則

結(jié)束語: 構(gòu)造函數(shù)是一種重要的解題方法,其能幫助學(xué)生迅速找到解題思路,并快速解題[2].這種方法不僅在高考中時(shí)有考察,并且對學(xué)生發(fā)展創(chuàng)造力有著重要的作用,有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力以及問題解決能力.本文圍繞構(gòu)造函數(shù)比較大小這個(gè)主題,從四個(gè)維度進(jìn)行了討論,詳細(xì)地給出了每個(gè)維度的特征以及通用的解法,并舉出典型例題進(jìn)行具體說明,以期為讀者提供一些參考與解題思路.構(gòu)造函數(shù)法作為解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一,除了可用于本文中反復(fù)提到的比較大小,還有證明不等式、尋找參數(shù)范圍、證明結(jié)論等多方面的運(yùn)用.因此,教師在日常教學(xué)中,應(yīng)結(jié)合相關(guān)的題目,合理地對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo),鼓勵(lì)學(xué)生多觀察思考,逐步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)然,構(gòu)造函數(shù)法并不是萬能的方法,教師還應(yīng)注意其他重要數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),各方面皆不可偏廢.