湖南省長沙市長郡湘府中學(xué)(410000) 田逢池 李 浩

高效教學(xué)的前提是要研讀材,要從數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容與典型的例習(xí)題中讀出數(shù)學(xué)的本質(zhì),要從靜態(tài)的文字中讀出動(dòng)態(tài)的思想和方法, 要從典型的例題習(xí)題中拓展出豐富的內(nèi)容.深度學(xué)習(xí)要求教師引導(dǎo)學(xué)生深入的研究教材, 經(jīng)常從如下的幾個(gè)角度來考慮,從教材育人價(jià)值的角度、教材的編寫意圖、教材中的探究問題、教材中的典型例題,教材中的課后習(xí)題、“三維目標(biāo)”的落實(shí)和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)等方面來理解和研究教材.總之,對教材的研讀與理解是一個(gè)創(chuàng)造性的研究工作,打造高效課堂,教師要善于做教材的研究者,研讀教材,用好教材,用活教材.

1 聚焦問題,高效教學(xué)

下面我們從2022年全國1 卷高考數(shù)學(xué)第7 題剖析來研讀教材的必要性.

例(2022年全國1 卷第7 題)設(shè)a=0.1e0,1,c=-ln 0.9,則( )

A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜a

C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b

考情分析此題看似簡單,是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)比較大小的常見題型.在高考考試過程中此題讓很多的考生望而卻步,平時(shí)成績一般的學(xué)生根本無從下手,成績優(yōu)秀的學(xué)生中也難免找不到好的辦法,以致耽誤不少的時(shí)間才找到答案.

分析構(gòu)造函數(shù)f(x) = ln(1+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,由此確定a,b,c的大小.

常見解法設(shè)f(x) = ln(1+x)-x,(x ＞-1), 因?yàn)?當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí),f′(x)＞0,當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí)f′(x)＜0,所以函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,所以f(0) = 0,所以故=-ln 0.9,即b ＞c, 所以所以故,所以,故a ＜b.

評(píng)價(jià)學(xué)生難以想到, 解法也不自然, 即使想到此種思路,一個(gè)小題,計(jì)算量如此之大,考試過程中也不允許花費(fèi)較多的時(shí)間,顯然不符合考場的實(shí)際情況.教師在教學(xué)過程中,若對教材研讀不夠深入,對教材的典型例題、習(xí)題不去深入研究,學(xué)生要輕松的解決此題還是較難的.如何讓解法更容易想到? 如何觀察分析問題的規(guī)律? 如何快速找到相應(yīng)的方法? 如何快速的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)求解? 這些都是值得深思的.

2 算理探討,回歸教材

分析其實(shí)ex ＞1 +x(x ＞0), 本題出自于《數(shù)學(xué)選修2-2》人民教育出版社2007年1月第2 版, P32 習(xí)題1.3B 組第1(3) 題.《數(shù)學(xué)選擇性必修2》人民教育出版社2020年3月第1 版, P99 習(xí)題5.3 第12(1) 題.我們不難構(gòu)造函數(shù)f(x) = ex - x -1(x ＞0), 從而證明ex ＞1+x(x ＞0).若從高等數(shù)學(xué)泰勒級(jí)數(shù)觀點(diǎn)我們知道, 這是比較常見的形式,也是數(shù)學(xué)教師的應(yīng)具備的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(MK).適當(dāng)放縮有ex ＜1+x+x2+x3+···+xn=.于是有:我們用”代替“x”,則有:于是,不等式兩邊同時(shí)取對數(shù),會(huì)得到平時(shí)的復(fù)習(xí)過程中,善于研究教材,發(fā)散思維,舉一反三,才能迅速得到上述問題的改進(jìn)解法.

圍繞ex ＞1+x(x ＞0),還可以得到一系列的結(jié)論,比如:

(1)x ＞ln(1+x); (2)x-1＞lnx; (3)等等, 這些都是常見的變形.(4)＜1 +x ＜ex; (5)這兩個(gè)變形式的運(yùn)用,顯得更加隱蔽.

另解令因?yàn)?得:可得c ＜b.又＜1+x ＜ex(x ＞0),令,得到:,即,可得a ＜b.令a= 0.1e0.1,c=-ln(1-0.1),將0.1 抽象成x,所以a=xex,c=-ln(1-x),則a-c=xex+ln(1-x),同上方法構(gòu)造函數(shù),二次求導(dǎo)求解,a ＞c,問題迎刃而解.

評(píng)價(jià)根據(jù)教材典型習(xí)題的研究,迅速捕捉到解題的靈感,利用相關(guān)的二級(jí)結(jié)論,迅速得到c＜b? a＜b.從而聚焦a,c的大小比較,從而構(gòu)造函數(shù),回歸到常規(guī)二次求導(dǎo)解決問題.

從解題的元認(rèn)知視角來看,如何能快速找到思路? 如何利用常見的相關(guān)二級(jí)結(jié)論? 如何提高解題的效率? 如何讓考生自然聯(lián)想到這些,這就考查數(shù)學(xué)教師平時(shí)教學(xué)中的基本功了.所以,平時(shí)教學(xué)中要認(rèn)真去研讀教材,靈活處理教材,要基于教材,研讀教材,超越教材.那么,怎樣去研讀教材呢? 研讀教材的什么內(nèi)容呢?

3 核心素養(yǎng),研讀教材

數(shù)學(xué)教師要落實(shí)核心素養(yǎng)的滲透,平時(shí)教學(xué)中必須從如下幾個(gè)方面深入研讀教材.

3.1 研讀教材的育人價(jià)值

教材編寫中,哪些地方滲透德育的思想,哪些地方體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價(jià)值,這些都是數(shù)學(xué)教師應(yīng)該去思考的問題.同時(shí)也要找到教材的最佳育人切入點(diǎn).比如,一些數(shù)學(xué)史,數(shù)學(xué)應(yīng)用場景,數(shù)學(xué)閱讀材料等等,都是教材中育人的好材料.

3.2 研讀教材的編寫意圖

教材編寫有很強(qiáng)的系統(tǒng)性,知識(shí)的積累和訓(xùn)練都是由易到難,循序漸進(jìn),呈螺旋式上升的.研讀教材時(shí)多問幾個(gè)為什么.例題為什么這樣設(shè)計(jì)? 結(jié)論為什么這樣引出? 習(xí)題為什么這么編排? 例題與習(xí)題關(guān)系怎樣? 習(xí)題能否繼續(xù)拓展? 等等.

3.3 研讀教材的思考題

教材中的思考題是教材對概念的延伸、對知識(shí)的深化拓展.思考題設(shè)置是有編寫者的特殊用意的,用好這些思考題是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要一環(huán);用好這些思考題也能幫助數(shù)學(xué)老師在課堂教學(xué)中,化解難點(diǎn)把握重點(diǎn),幫助學(xué)生深刻理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

3.4 研讀教材中的典型例題

教材中的典型例題,是教材編寫專家們經(jīng)過深思熟慮設(shè)計(jì)的,是研讀的重點(diǎn).研讀例題的地位與作用,弄清例題的功能,讓學(xué)生由例及理、由例及法、由例及類,舉一反三、觸類盤通,讓老師理清知識(shí)點(diǎn),把握好重點(diǎn)難點(diǎn).

3.5 研讀教材的課后習(xí)題

數(shù)學(xué)教材的課后習(xí)題,是體現(xiàn)編者意圖的重要內(nèi)容,教學(xué)中要高度重視, 努力挖掘, 合理運(yùn)用, 幫助學(xué)生深入探究,舉一反三,變式訓(xùn)練,歸納總結(jié).

3.6 研讀教材,落實(shí)三維目標(biāo)

研讀教材,根據(jù)教材編排內(nèi)容體系,結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),合理利用教材中的素材組織教學(xué),才能有效達(dá)成學(xué)生知識(shí)能力、過程方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo).

3.7 研讀教材,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

研讀教材,大膽活用教材,把教材看成是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具與載體,創(chuàng)造性的使用好教材.研讀教材,課堂從學(xué)科知識(shí)的教學(xué)上升至素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué).

3.8 嘗試用高觀點(diǎn)視角研讀教材

教學(xué)中教師要站得高才看得遠(yuǎn).教師要從高觀點(diǎn)下來解析教學(xué)中的疑難,主動(dòng)去挖掘教材中高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn),深刻理解高中數(shù)學(xué)教材中的疑難知識(shí).

我們聽到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最多的抱怨是“老師講的知識(shí)我都聽得懂,但是自己做題的時(shí)候就不會(huì)了.”提高教學(xué)效率,打造高效課堂,要做教材的研究者.教師不僅要做教材的研究者,而且要做題海中的研究者.不能讓學(xué)生陷入題海中,而是要自己深入題海進(jìn)行歸納總結(jié),通過典型例題的深度與廣度的深刻分析,讓學(xué)生清楚問題的本質(zhì)與規(guī)律,這樣學(xué)生才能觸類旁通,舉一反三,靈活多變.為了解決學(xué)生們的這種狀況,這不得不讓我們數(shù)學(xué)教育工作者深思,這也將成為鞭策我們數(shù)學(xué)教師不斷深入研究的動(dòng)力.