岳芳 吳振華 周清華 肖吉軍

摘要 管理運(yùn)籌學(xué)是研究對(duì)人力、物力等資源進(jìn)行合理籌劃和運(yùn)用，尋找管理及決策最優(yōu)化的綜合性學(xué)科，在經(jīng)濟(jì)、管理、社會(huì)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。然而，該課程知識(shí)概念和方法相對(duì)較多且抽象，導(dǎo)致學(xué)生難學(xué)。文章首先分析了管理運(yùn)籌學(xué)的特點(diǎn)，總結(jié)了教學(xué)過程中存在的不足，探討了引入MATLAB的必要性。然后通過一些實(shí)例，介紹了該軟件在線性規(guī)劃、指派問題、圖論中的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了MATLAB在求解運(yùn)籌學(xué)問題上的優(yōu)勢，達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的目的。

關(guān)鍵詞 管理運(yùn)籌學(xué)；MATLAB；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.15.039

隨著市場競爭的加劇，企業(yè)所面臨的經(jīng)營環(huán)境具有很大的不可預(yù)測性，管理問題也越發(fā)復(fù)雜。這就需要企業(yè)轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)式?jīng)Q策模式，利用科學(xué)的方法，幫助其進(jìn)行決策。而針對(duì)特定的管理場景，管理者可以利用模型分析所面臨的決策問題，并尋找模型的最優(yōu)解。而運(yùn)籌學(xué)為管理者決策提供了方法論的支持。目前管理運(yùn)籌學(xué)在人力資源規(guī)劃與調(diào)度、財(cái)務(wù)規(guī)劃、市場營銷組合規(guī)劃、生產(chǎn)運(yùn)營管理、供應(yīng)鏈管理、投資組合管理、系統(tǒng)調(diào)度、定價(jià)策略、服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃與調(diào)度、風(fēng)險(xiǎn)管理等方面都得到了廣泛的應(yīng)用[1]。

管理運(yùn)籌學(xué)是依照給定條件和目標(biāo)，從眾多方案中選擇最佳決策方案的應(yīng)用科學(xué)。該課程逐漸成為高校工業(yè)工程、信息管理與信息系統(tǒng)、數(shù)字經(jīng)濟(jì)、物流管理、人力資源等專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一。

1基于MATLAB管理運(yùn)籌學(xué)教學(xué)的必要性

管理運(yùn)籌學(xué)包含線性規(guī)劃、對(duì)偶規(guī)劃、運(yùn)輸問題、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、圖與網(wǎng)絡(luò)分析、決策論、對(duì)策論、排隊(duì)論等內(nèi)容。管理運(yùn)籌學(xué)解決問題的一般過程是：①提出問題；②建立模型；③進(jìn)行求解；④解的檢驗(yàn)；⑤解的實(shí)施。在這些過程中，“提出問題”是關(guān)鍵，即將現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，然后再選擇對(duì)應(yīng)的方法進(jìn)行求解。

該課程需要學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的方法非常多。一些方法，例如單純形法、表上作業(yè)法和割平面法等原理比較復(fù)雜，求解過程比較煩瑣，有時(shí)需要迭代多次。而在運(yùn)籌學(xué)授課過程中，傳統(tǒng)教學(xué)方式比較注重算法原理的講解，同時(shí)一些問題的求解過程比較復(fù)雜、運(yùn)算量大，因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，導(dǎo)致其實(shí)踐能力較弱[2]。

針對(duì)管理運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，教師結(jié)合目前學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，在課堂教學(xué)中引入相關(guān)軟件。在教學(xué)過程中，盡可能利用軟件去完成管理運(yùn)籌學(xué)中大量且煩瑣的計(jì)算工作。這樣既能緩解學(xué)生對(duì)復(fù)雜計(jì)算的畏難情緒，又能集中精力攻克“數(shù)學(xué)建模”的難關(guān)和進(jìn)行決策優(yōu)化分析[3]。不但可以提高運(yùn)籌學(xué)的上課效率，使課堂生動(dòng)、活潑，而且也有助于提高學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力。

目前能夠求解運(yùn)籌學(xué)問題的軟件有很多，例如MATLAB、Excel、Lindo、Lingo、Python等，這些軟件特點(diǎn)各有不同。由于管理運(yùn)籌學(xué)中很多方法涉及矩陣運(yùn)算，例如求逆運(yùn)算、轉(zhuǎn)置運(yùn)算等。MATLAB的很多運(yùn)算都是直接針對(duì)矩陣的。各種矩陣操作，在MATLAB中只需要一個(gè)簡單的命令就可以完成，在此選擇MATLAB軟件求解運(yùn)籌學(xué)問題。

2 MATLAB軟件介紹

MATLAB是一種適合多學(xué)科、跨平臺(tái)的大型實(shí)用科學(xué)計(jì)算軟件[4]。MATLAB語言的特點(diǎn)：①使用簡潔直觀。它可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算和實(shí)現(xiàn)算法等。在MATLAB中矩陣運(yùn)算變得非常簡單。②功能強(qiáng)大。其庫函數(shù)十分豐富。MATLAB針對(duì)許多專門的領(lǐng)域，將一些重要的問題通過軟件制作成工具箱。

MATLAB軟件功能強(qiáng)大、應(yīng)用廣泛，已成為21世紀(jì)最為重要的科學(xué)計(jì)算語言。近些年，國內(nèi)的很多高校也將MATLAB列為本科生的必修課程。運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的許多問題可以應(yīng)用MATLAB的內(nèi)置函數(shù)通過簡單的編程進(jìn)行求解。

3應(yīng)用實(shí)例

利用MATLAB軟件求解運(yùn)籌學(xué)問題的步驟如下：首先，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)有針對(duì)性地設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)例[5]；其次，建立相應(yīng)的運(yùn)籌學(xué)模型；然后，利用MATLAB軟件編寫相關(guān)程序；最后，利用軟件求解模型并分析結(jié)果。

3.1 MATLAB在線性規(guī)劃中的應(yīng)用

該標(biāo)準(zhǔn)型與線性規(guī)劃問題定義的標(biāo)準(zhǔn)形式不同。式（1）中，目標(biāo)函數(shù)求極小。x為n維的決策變量。約束條件分為不等式約束和等式約束兩種類型，不等式約束有m1個(gè)，等式約束有m2個(gè)。不等式約束形式為“≤”。對(duì)應(yīng)的，b為m1維列向量；beq為m2維列向量；A為m1×n維矩陣；Aeq為m2×n維矩陣。c、x、lb和ub均為n維列向量。

因此，需要將實(shí)際應(yīng)用中不同類型的非標(biāo)準(zhǔn)型化為MATLAB要求的標(biāo)準(zhǔn)型，操作方法如下：①如果遇到對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極大的問題，需要在函數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)，轉(zhuǎn)化為對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極小的問題。②如果出現(xiàn)“≥”形式的不等式約束，則需要在兩邊乘以（-1），使其轉(zhuǎn)化為“≤”形式。③將不等式約束和等式約束均轉(zhuǎn)化為矩陣形式。

實(shí)例：某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的損耗，如表1所示。單位產(chǎn)品Ⅰ和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別為2元和3元，問應(yīng)如何安排計(jì)劃使該工廠獲利最多[6]？

以上模型的求解結(jié)果是屬于唯一最優(yōu)解的情況。若求解結(jié)果是無窮多最優(yōu)解，MATLAB則只能給出其中一組最優(yōu)解，無法給出其他最優(yōu)解。若求解結(jié)果是無界解，MATLAB給出的結(jié)果是x=[]，fval=[]。若求解結(jié)果是無可行解，MATLAB則給出的結(jié)果是“No feasible solution found”。

3.2 MATLAB在指派問題中的應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)生活中，有各種類型的指派問題。例如，有一些工作需要分配給一些員工來完成；一些班級(jí)需要安排在一些教室上課等。這些問題都需要滿足一定的指派要求，并使指派方案的總體效果最好[7]。

實(shí)例：某汽車公司擬將四種新產(chǎn)品安排到四個(gè)工廠進(jìn)行生產(chǎn)，四個(gè)工廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本如表2所示。求最優(yōu)生產(chǎn)配置方案。

需要注意的是，該指派問題屬于特殊的0-1整數(shù)規(guī)劃問題。MATLAB工具箱中沒有提供相應(yīng)的函數(shù)，因此需要提前準(zhǔn)備好整數(shù)規(guī)劃的函數(shù)intprog，再進(jìn)行調(diào)用。該函數(shù)的調(diào)用格式為[x，fval]=intprog（c，A，b，Aeq，beq，lb，ub，M， TolXInteger）。其中，輸入?yún)?shù)M為有整數(shù)約束條件限制的變量的序號(hào)；輸入?yún)?shù)TolXInteger為判定整數(shù)的誤差限，其他參數(shù)的含義與線性規(guī)劃命令linprog中的參數(shù)基本一致。

運(yùn)行上述程序后，得到該指派問題的最優(yōu)解，x=（1，0，0，0，0，0，0，1，0，0，1，0，0，1，0，0）T，fval=513。即最優(yōu)方案是工廠1生產(chǎn)產(chǎn)品1，工廠2生產(chǎn)產(chǎn)品4，工廠3生產(chǎn)產(chǎn)品3，工廠4生產(chǎn)產(chǎn)品2。此時(shí)生產(chǎn)總成本為513元。但實(shí)際上這個(gè)問題有兩組最優(yōu)解，另一組最優(yōu)解是工廠1生產(chǎn)產(chǎn)品1，工廠2生產(chǎn)產(chǎn)品3，工廠3生產(chǎn)產(chǎn)品4，工廠4生產(chǎn)產(chǎn)品2。需要注意的是，MATLAB計(jì)算得到的是其中一組最優(yōu)解。

3.3 MATLAB在圖論中的應(yīng)用

運(yùn)籌學(xué)在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，除了以上所提到幾個(gè)方面的問題外，還有圖論中的最小樹問題、最短路問題和最大流問題等，這些問題也都可以利用MATLAB進(jìn)行求解。

在各種各樣的圖中，有一類簡單又十分重要的圖，就是樹。樹在電路網(wǎng)絡(luò)分析、管理決策、計(jì)算機(jī)算法等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

實(shí)例：某辦公大樓連接情況圖1所示（p124），試求最佳的網(wǎng)絡(luò)布線方案。

MATLAB工具箱中沒有求解最小樹的命令，因此需要提前準(zhǔn)備好函數(shù)kruskal再進(jìn)行調(diào)用。函數(shù)kruskal設(shè)計(jì)的原理是基于避圈法。kruskal函數(shù)的調(diào)用格式：[T，v，c]= kruskal（b），其中，輸入?yún)?shù)b為所有邊及其權(quán)數(shù)組成的矩陣。輸出參數(shù)T為最小樹的邊，v為最小樹的鄰接矩陣，c為最小樹的總權(quán)數(shù)。

4結(jié)論

通過以上實(shí)例說明，利用MATLAB可以方便地求解生產(chǎn)計(jì)劃等各種管理運(yùn)籌學(xué)問題。MATLAB的優(yōu)點(diǎn)在于，第一，語法規(guī)則簡單，便于學(xué)生理解和使用。第二，MATLAB提供了很多計(jì)算函數(shù)，提高了學(xué)生計(jì)算的效率和準(zhǔn)確性。第三，該軟件靈活度高，對(duì)于一些有特殊要求的模型，可以靠自己編寫程序?qū)崿F(xiàn)。但需要注意的是，第一，如果原問題有最優(yōu)解，利用MATLAB只能給出其中一組最優(yōu)解。第二，MATLAB直接給出結(jié)果，無法展示求解的具體步驟。

本文把MATLAB軟件引入管理運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)，通過有針對(duì)性地設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手編寫相關(guān)程序，使學(xué)生可以直觀地看到算法的實(shí)現(xiàn)過程，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，為將來科研素養(yǎng)的培養(yǎng)打下基礎(chǔ)。

*通訊作者：肖吉軍

基金項(xiàng)目：廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目“融入課程思政的工業(yè)工程專業(yè)課程教學(xué)改革與實(shí)踐”（2021JGB188）；廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目“工程教育專業(yè)認(rèn)證背景下機(jī)械類專業(yè)基礎(chǔ)課程混合式教學(xué)的考核方式改革與實(shí)踐”（2023JGA208）；廣西“四新”研究與實(shí)踐項(xiàng)目“新文科視閾下地方高校新型工業(yè)工程專業(yè)建設(shè)研究與實(shí)踐”。

參考文獻(xiàn)

[1]肖勇波.運(yùn)籌學(xué)：原理、工具及應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2021.

[2]張明，王文文.Matlab在經(jīng)管類運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)教育，2012，1（7）：81-82，89.

[3]吳睿，陳鵬.“管理運(yùn)籌學(xué)”課程教學(xué)改革思路探索[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2009，11（6）：137-139.

[4]李明.詳解MATLAB在優(yōu)化計(jì)算中的應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2017.

[5]王怡.經(jīng)管類專業(yè)運(yùn)籌學(xué)實(shí)驗(yàn)課程優(yōu)化改革探討[J].科教導(dǎo)刊（中旬刊），2015（32）：49-50.

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[7]李軍.管理運(yùn)籌學(xué)[M].北京：中國輕工業(yè)出版社，2016.