廣東省五華縣教師發(fā)展中心 (514400) 宋淮南

高中數(shù)學(xué)高效課堂,宜以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的啟發(fā)式、探究式的教學(xué)方式,用較少的精力、有限的時間投入獲得最優(yōu)的教學(xué)效能. 因此,在教學(xué)中精心設(shè)計問題串,以問題為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究、拓展延伸,是提高課堂教學(xué)效果,發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要手段. 所謂“問題串”教學(xué),就是指在教學(xué)過程中,教師根據(jù)課標(biāo)、結(jié)合教材,圍繞一定目標(biāo)和某個中心問題,根據(jù)學(xué)情以及知識點(diǎn)的層層深入,設(shè)計一系列的問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)學(xué)生積極思考、探究,讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“活”起來,以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果. 下面筆者結(jié)合平時的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剢栴}串的設(shè)計策略.

1 數(shù)學(xué)概念形成過程中設(shè)計問題串,加深概念理解

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為,概念的建構(gòu)應(yīng)通過問題情境—師生活動—意義建構(gòu)—數(shù)學(xué)理論這四個重要環(huán)節(jié)來實(shí)現(xiàn),因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)圍繞學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)計出科學(xué)、合理的問題串進(jìn)行教學(xué), 有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),這是符合新課標(biāo)的要求,也是新課改方向.

如在必修一第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)—3.1 函數(shù)的概念及其表示”中,把課本里的列舉的問題情境分別設(shè)計問題串:

問題情境1: 某“復(fù)興號”高速車加速到350km/h 后保勻速運(yùn)行半小時. 這段時間內(nèi),車行進(jìn)的路程S(單位: h)與運(yùn)行時間: (單位: km)的關(guān)系可以表示S=350t,這里,S=350t,t和S是兩個變量,而且對于t的每一個確定的值,S都有唯一確定的值與之對于,所以S是t的函數(shù).

這是有解析式的, 要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注t在取值范圍, 例如“高鐵加速到300km/h 后,運(yùn)行半小時,路程S隨時間t的變化而變化的規(guī)律是S=350t”,應(yīng)該設(shè)置問題:

問題1: 時間t的變化范圍是什么?

問題2: 你能回答“1 小時后對應(yīng)的距離是多少”嗎? 為什么?

問題3: 你認(rèn)為如何描述才能真實(shí)反映列車的運(yùn)動過程?

問題情境3: 圖1 是北京市2016 年11 月23 日的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)變化圖. 如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的值I? 你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎?

問題1: 時間的變化范圍是什么? AQI 的值I變化范圍是什么?

問題2:I是t的函數(shù)嗎? 為什么?

不能僅以“因?yàn)槿我庖粋€時間t都有唯一一個AQI 的值與之對應(yīng)”了事, 應(yīng)讓學(xué)生在圖上找出來, 再借助信息技術(shù),把對應(yīng)過程表達(dá)出來!

問題3: 從所給的圖中能回答“11 月24 日8 時對應(yīng)的AQI 是多少”嗎?

問題4: 這是一個函數(shù),有解析式嗎? 如果讓你表示出這個函數(shù),你會怎么做?

把這個圖搬出來嗎?

從而產(chǎn)生符號意識,I=f(t)呼之欲出.

你認(rèn)為按表3.1-1 給出的對應(yīng)關(guān)系,恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎? 如果是,你會用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)?

表3.1-1 我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

問題1: 這個表格中,時間的變化范圍是什么? 能不能用[2006,2015]表示? 恩格爾系數(shù)的變化范圍是什么? (可以是[0.2857,0.3817],其實(shí)是(0,1])

問題2: 由這個表格,能判斷恩格爾系數(shù)是不是年份的函數(shù)? 你能說清楚到底是怎么對應(yīng)的嗎?

問題3: 由這個表格,能得到2016 年的恩格爾系數(shù)嗎?

問題4: 這是一個函數(shù),有解析式嗎? 你認(rèn)為該如何表示這個函數(shù)?

從而形成符號意識, 設(shè)恩格爾系數(shù)為r, 年份為y,r=f(y)呼之欲出.

問題5: 它們都是函數(shù),有什么共同特征?

問題6: 怎樣簡潔地表示出來?

由于是在初中時已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)等簡單函數(shù),故設(shè)計上述問題串,引導(dǎo)學(xué)生在不斷深化,將已有的知識經(jīng)驗(yàn)遷移、拓展到新內(nèi)容中. 而且,在解決問題的過程中,師生、生生探討,交流,呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念的形成過程,進(jìn)而達(dá)成數(shù)學(xué)目標(biāo). 實(shí)際上,問題串可以看作整節(jié)課的骨架,把它設(shè)置在其重要的關(guān)節(jié)點(diǎn),具有很好的階梯性、明確的指向性、良好的啟發(fā)性較強(qiáng)的探究性.

2 探索數(shù)學(xué)的規(guī)律中設(shè)計好問題串,提高探究能力

課程標(biāo)準(zhǔn)重視觀察與猜想等探索活動. 很多數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)、法則的發(fā)現(xiàn)都經(jīng)歷了一個觀察、猜想、驗(yàn)證等思維推理過程. 探索性問題串的設(shè)計主要圍繞定理法則和公式的發(fā)生形成發(fā)展的三個過程展開,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納、猜想、動手操作等過程,充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、形成與發(fā)展,從中獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn),提高探索能力,體味到數(shù)學(xué)的無窮魅力.

如在學(xué)習(xí)橢圓性質(zhì)時,以問題串引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.

問題1: 觀察橢圓的形狀,可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形. 如何利用橢圓的方程描述橢圓的對稱性?

問題3: 不同橢圓的扁平程度不同. 扁平程度是橢圓的重要形狀特征, 你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎?

上述系列化情境以問題為載體,構(gòu)建了“分析背景—問題導(dǎo)向—探索幾何特征”的系列化數(shù)學(xué)活動,提高學(xué)生的探究能力,促進(jìn)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng)的發(fā)展.

又如,在用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系時,可圍繞空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示,構(gòu)建了這樣一條問題串,通過空間向量的運(yùn)算加以解決.

問題1:“如何用向量表示空間中的一個點(diǎn)? ”引導(dǎo)學(xué)生思考空間中點(diǎn)的向量表示.

問題2:“我們知道,空間中給定一個點(diǎn)A和一個方向就能唯一確定一條直線l. 如何用向量表示直線l? ”引導(dǎo)學(xué)生思考空間中直線的向量表示.

問題3:“一個定點(diǎn)和兩個定方向能否確定一個平面? 進(jìn)一步,一個定點(diǎn)和一個定方向能否確定一個平面? 如果能確定,如何用向量表示這個平面? ”引導(dǎo)學(xué)生思考空間中平面的向量表示.

問題4:“由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系,可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系? ”引導(dǎo)研究空間中直線、平面的平行.

問題5:“類似空間中直線、平面平行的向量表示,在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中,直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系? ”引導(dǎo)研究空間中直線、平面的垂直.

通過五個問題的步步追問、環(huán)環(huán)相扣、由淺入深把學(xué)生引向有意義的方向思考,再使之抽象到坐標(biāo)系中,讓學(xué)生比較分析、大膽歸納,最后得到可靠的結(jié)論,提高學(xué)生邏輯思維能力,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度. 達(dá)到“道而弗牽、強(qiáng)而弗抑、開而弗達(dá)”的境界.

3 探究解決問題的方法設(shè)計問題穿,拓寬學(xué)生思路

問題串教學(xué)讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)很好的體現(xiàn)自主、合作、探究與開放. 提出恰當(dāng)?shù)?、有較好啟發(fā)性的問題串,有利于學(xué)生思考和開展探究活動;同時能激發(fā)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)規(guī)律、體驗(yàn)過程、研究創(chuàng)新,形成積極主動、合作探究的高效學(xué)習(xí)方式,從中會產(chǎn)生許多有價值的生成性資源,提高學(xué)生解決問題的能力,有利于培養(yǎng)他們的探究能力和創(chuàng)新精神.

例如,在拋物線與直線的位置關(guān)系的習(xí)題課中,我設(shè)計了下面的問題串,讓學(xué)生探究.

例: 斜率為3 的直線經(jīng)過拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).

問題1. 求線段AB的長.

學(xué)生分析、思考后,容易得到兩種解法,解法一是聯(lián)立直線方程與拋物線方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用兩點(diǎn)間距離公式求得線段AB的長; 解法二是聯(lián)立直線方程與拋物線方程,求出交點(diǎn)橫坐標(biāo),再運(yùn)用拋物線定義求解.

問題2: 可不可以用求交點(diǎn)的坐標(biāo)求出線段AB的長?

這個設(shè)問在于運(yùn)用韋達(dá)定理可實(shí)現(xiàn)不解方程來解決問題,是設(shè)而不求的思想,具有一般性,為解決問題3 做好鋪墊.

問題3: 將斜率3 改為k,求線段AB的長.

追問1: 能否得到過拋物線焦點(diǎn)的弦長公式?

追問2: 能否得到直線與圓錐曲線相交所得弦長的公式?

拓展探究:

問題4: 當(dāng)直線段經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時,以AB為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線位置關(guān)系怎樣?

問題5: 斜率為3 的直線被拋物線所截,求截得的線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程.

問題6: 求該物線內(nèi)弦長為a(a＞4)的動弦AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的最小值.

問題7: 求該拋物線上的點(diǎn)到直線y= 2x+6 的距離的最小值.

問題是探究的源泉,是培養(yǎng)學(xué)生思維的核心. 以最基礎(chǔ)的問題為出發(fā)點(diǎn),通過改變已知條件或需求解的結(jié)論或?qū)栴}進(jìn)行延伸拓展,設(shè)計不同情景下的問題串,引導(dǎo)學(xué)生思考與探究,學(xué)生的思維始終處于活躍、積極的狀態(tài),不但掌握了相關(guān)的知識,得到解決問題的規(guī)律與思想方法,學(xué)生的核心素養(yǎng)也得到發(fā)展.

4 糾正學(xué)生錯誤過程中設(shè)計問題穿,增強(qiáng)嚴(yán)謹(jǐn)思維

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯誤是不可避免的,他往往能暴露學(xué)生的真實(shí)想法,反應(yīng)學(xué)生的思維過程,包含著有價值的成分,教師若能善于發(fā)現(xiàn)錯誤背后隱藏的價值,巧用典型錯誤,通過設(shè)計問題串,變換問題的條件和結(jié)論,變換問題的形式,而不變換問題的本質(zhì),使學(xué)生更容易看清問題的本質(zhì).

例: 若函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

問題3: ∵f′(x) = 3x2+ 2ax≥ 0,x∈∴Δ ≤0,解出a的范圍就可以,是嗎?

通過對3 個問題的聯(lián)系與講解,使學(xué)生對這類問題注意的情況了解更加全面,思維的嚴(yán)謹(jǐn)性得到提高. 教育家波利亞說過:“好問題跟蘑菇有些像,它們都成堆生長,找到一個后,在周圍再找找,很可能附近就有好幾個. ”問題串就象這樣成群生長的蘑菇. 好的問題串能讓學(xué)生對所學(xué)的知識融會貫通,幫助他們跳出題海,達(dá)到高效學(xué)習(xí),提高綜合能力.

合理、有效的“問題串”,能夠把整節(jié)課的知識聯(lián)系、整合在一起,是一堂成功的數(shù)學(xué)課的重要組成部分,成功的問題串能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,打開學(xué)生學(xué)習(xí)的思維,促進(jìn)學(xué)生積極思考、探究、合作與交流, 真正讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“活”起來,提高學(xué)生的創(chuàng)新能力,促進(jìn)他們核心素養(yǎng)的發(fā)展.