聚焦核心素養(yǎng) 優(yōu)化例題設計

摘 要 核心素養(yǎng)是新義務教育課程改革的主旨理念，也是初中數(shù)學課堂教學的目標。例題是培育核心素養(yǎng)的重要途徑，教師需要重視例題創(chuàng)新設計。通過“問題前置”，樹立模型觀念，構建數(shù)學模型；“拓展整合”，發(fā)散活躍思維，培養(yǎng)推理能力；“多變求同”，建立數(shù)形關系，培養(yǎng)幾何直觀能力；“自主創(chuàng)設”，形成思維網絡，培養(yǎng)分析歸納能力等方法，將原生例題重新加工以達到不斷優(yōu)化例題教學，促進數(shù)學學科育人價值的實現(xiàn)。

關鍵詞 初中數(shù)學 核心素養(yǎng) 例題教學 優(yōu)化設計

作者簡介：牟麗麗（1974— ），女，山東日照人，山東省日照市嵐山區(qū)虎山鎮(zhèn)初級中學高級教師，大學本科，研究方向：初中數(shù)學教學研究。

例題教學是數(shù)學課堂教學的重要組成部分，也是學生學習數(shù)學知識、培育核心素養(yǎng)的重要途徑。初中數(shù)學例題具有基礎性、探究性和典型性等特點，對培育學生核心素養(yǎng)具有非常重要的作用。一般來說，教材中的例題都是經過編者反復推敲后精心編選的，具有一定的代表性。但是在教學中面對的實際情況各不相同（如城鄉(xiāng)差別、地域差別、學生認知水平差異等），教師需要根據實際情況，立足學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)，對教材中的例題進行全方位剖析。通過更換、補充、拓展、整合或自主創(chuàng)設等方式，有針對性地對例題進行“二次設計”。在設計中重點突出針對學生的“建模”“推理”“幾何直觀”“綜合分析”等能力的培養(yǎng)，以適應不同地區(qū)、不同學生的學習需求，從而優(yōu)化例題教學[1]2-36。

下面以人教版九年級數(shù)學中習題設計為例，從培養(yǎng)和發(fā)展學生核心素養(yǎng)的角度，來闡述初中數(shù)學例題的優(yōu)化設計策略。

一、“問題前置”，樹立模型觀念，構建數(shù)學模型

模型是數(shù)學學習中的一個重要概念，是例題設計不可或缺的關鍵要素。學生的數(shù)學學習過程，實際上是一個持續(xù)地建構模型和應用模型的過程。教師要重視學生已有經驗，善于搭橋鋪路，將問題前置，讓學生體驗從具象中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、得到結果、解決問題的過程。

例如，在“垂直于弦的直徑”一節(jié)中，教材通過探究“圓是軸對稱圖形”得到“垂徑定理”及其推論后，直接安排了一個實際應用的例題——求趙州橋主橋拱半徑。

趙州橋（如圖1所示）是我國隋代建造的石拱橋，距今約1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶。它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37 m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23 m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數(shù)點后一位）。

根據題中描述的信息，學生能夠在教師的指導下畫出圖形。但是通過圖形直接構建模型，理解并掌握模型的思想方法，這對于理解能力與應用能力較弱的學生是非常困難的。所以，在對例題進行重新設計時，教師可以小梯度設置幾個有梯度的問題，并將問題前置，讓學生拾級而上，使其在層遞式的觀察、思考、討論及體驗中，逐漸掌握例題所呈現(xiàn)出來的數(shù)學思想與方法，建立相應的數(shù)學模型，并應用模型[2]。具體做法如下：

1.條件判別

問題1：如圖2所示，圓中一條弦AB，OE垂直于AB，垂足為點E，此圖形中條件是否符合垂徑定理的條件？若符合，可得出哪些結論？

問題1的設計是根據建構主義理論，啟發(fā)學生調動已有學習知識和經驗，使已有知識對新知識發(fā)生正向遷移。

2.建立模型

問題2：如圖3所示，若半徑R = 5，OE = 3，則AB = ____。

問題3：如圖3所示，若AB = 8，OE = 3，則半徑R = ____。

問題2和問題3的設計在于引導學生回顧勾股定理，使“垂徑定理”與“直角三角形”等相關知識在意義上發(fā)生關聯(lián)。引導學生以原有知識經驗作為新知識的“生長點”，進行知識轉換和處理，形成對問題的理解和解釋，從而樹立模型觀念。

問題2和問題3解決后，學生就會發(fā)現(xiàn)：弦長、弦心距、半徑三者關系恰好是直角三角形三邊關系。學生初步建立起“垂徑定理的應用轉化為直角三角形求邊長”的數(shù)學模型。

3.理解模型

模型建立后，需要進一步引導學生對模型所體現(xiàn)出的思想與方法深入理解。繼續(xù)對原圖形進行變形。

問題4：如圖4所示，延長OE交圓于點F，若AB = 8，EF = 2，則半徑R = ____。

問題5：如圖5所示，反向延長OE交圓于點F，若AB = 8，EF = 8，則半徑R = ____。

問題4和5的設計意在拓展學生對垂徑定理的變形應用，讓學生直觀感受垂徑定理，并從本質上理解這一模型。

4.應用模型

此時呈現(xiàn)教材中的例題——“求趙州橋主拱橋的半徑”。由于前面幾個有梯度的問題鋪設，學生很容易理解此模型的思想與方法。由“圖形”得“模型”，趙州橋主拱求解問題也就很容易得到解決。

二、“拓展整合”，發(fā)散活躍思維，培養(yǎng)推理能力

教材中的例題均具有典型性，示范意義很強。但是教材中有些例題往往是一題一問，賦予學生的思維空間較小，不利于培養(yǎng)學生的思維深度和廣度?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調要逐漸拓展和加深課程內容，適應學生的發(fā)展需求。因此在充分發(fā)揮例題示范功能的基礎上，將例題加以引申、拓展是非常必要的。

例如，在“直線和圓的位置關系”一節(jié)中，內切圓的相關例題可以做如下設計。

原題：如圖6所示，△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB = 9 cm，BC = 14 cm，CA = 13 cm，求AF、BD、CE的長。

原題是在學習了切線性質、切線長定理及內切圓定義后給出的一道綜合例題，例題融合了多個知識點，滲透了多種數(shù)學思想和方法，綜合性強，關聯(lián)度高，延伸性好，對拓展學生思維、提高學生分析問題、解決問題能力有很好的幫助[3]。

首先，引導學生探求解題思路。該題可以用方程思想設所求的這三條線段中一條長為x，根據題中的線段關系列方程求解；還可以設這三條線段的長分別為x、y、z，根據線段關系列方程組來解。

然后，讓學生總結規(guī)律。若AB = c，BC = a，CA = b，繼續(xù)求解上述三條線段的長。引導學生總結得到：

用字母來代替數(shù)值，其意義在于幫助學生在具象中抽象出數(shù)學問題，及時建立起一種“已知三角形三條邊求切線長”的數(shù)學模型。

（一）拓展一：深化條件，探求新結論

學生在解決上述問題時，關注點往往在求切線長的方法上，思維太單一，而數(shù)學知識是相互聯(lián)系的，這時教師可引導學生思考：由題設中的這些條件能否求解出其它的相關量？

1.求面積。通過教師引導后學生就會發(fā)現(xiàn)，如圖7所示，作BC邊上的高，利用勾股定理關系AB2 - BD2 = AC2 - CD2，設BD = x或CD = x，列方程求出BD或CD，就可求得題設中三角形ABC的面積。代入數(shù)值，得出S△ABC = [1810]cm2。

基于此，學生可得出已知三角形三條邊長，求三角形面積的結論，并掌握其求解方法。

2.求半徑。由三角形面積公式，能夠聯(lián)想到底邊與高的求解問題。教師可以進一步引導：如圖8所示。已知三角形的面積為[1810]，能求出此三角形內切圓的半徑嗎？（即OF、OE、OD的長），思路是什么？

學生通過觀察能夠得出△ABC的面積為△AOB、△BOC、△AOC面積之和，于是得到[12（9+14+13）r=1810]，得r =[10]，進而得到三角形內切圓半徑r、周長l、面積s的關系式[s=12lr]，將公式變形得到[r=2sl]。

通過深化條件，學生完成了內切圓半徑與三角形邊長、切線長以及面積等內在關系的探究，獲得了新發(fā)現(xiàn)，形成了新結論，學生思維的觸角得以向更深層次延伸和發(fā)展。

（二）拓展二：改變條件，化一般為特殊

教師改變題設條件，引導學生觀察思考。如圖9所示，把三條線段的長改為AC = 6 cm，BC = 8 cm，AB = 10 cm，求其內切圓的半徑？應該怎么求？有幾種方法？

1.求面積法。由以上條件，學生能夠判斷此三角形為直角三角形。根據“拓展一”的結論可知，它的面積既可用[12ab]（a，b表示直角邊，c表示斜邊）表示，又可用[12（a+b+c） r]表示，即ab = （a + b + c） r，由此得到求直角三角形內切圓半徑的一般公式：[r=aba+b+c]。

2.求切線長法。有了直角這個特殊條件，引導學生繼續(xù)觀察思考。①四邊形FCDO是什么圖形？（正方形），能得到什么結論？（r = OF = OD = CF = CD）。②CD、CF是什么特殊線段？（表示切線長的線段）③應用前面的規(guī)律能得出什么結論？[r=CD=CF=a+b-c2]。

對r的兩種求法都是建立在直角三角形條件之下的，這種特殊性的出現(xiàn)能夠促進學生思維的轉化，使學生更加充分地認識模型的本質和涵義，從而更好地培養(yǎng)學生“從一般到特殊”的數(shù)學思維觀念和推理能力。

這道常規(guī)例題經過一系列拓展整合，不僅讓學生在知識上“能求三段相等的切線長，一般三角形與直角三角形內切圓的半徑長”，而且在方法上“能用方程模型的思想解決圖形問題，學會從一般到特殊、從特殊到一般的思考問題方法”。在一定程度上深化了學生認知，培養(yǎng)和訓練了學生歸納、演繹等數(shù)學推理能力，學生思維的深度和廣度得到提升。

三、“多變求同”，建立數(shù)形關系，培養(yǎng)幾何直觀能力

一題多變是數(shù)學學習中的普遍現(xiàn)象，通過動態(tài)思維尋求例題的多種變化。多變求同，并借助數(shù)形關系，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)內進行多角度、多渠道探究，是例題教學的一種常態(tài)。

例如，在“二次函數(shù)與一元二次方程”教學時，利用函數(shù)圖象求方程x2 - 2x - 2 = 0的實數(shù)根（結果保留小數(shù)點后一位）。因為圖象與x軸交點橫坐標為近似值，學生對此一元二次方程的圖象解法感受不直觀，理解也不深刻。另外，一元二次方程的圖象解法不唯一，靈活多變，但萬變不離其宗，方程的解不會改變。所以通過變換、補充等形式對此類例題進行改編，通過建立數(shù)形關系，讓學生在多變中尋求不變，體會函數(shù)圖象與方程的緊密關系，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。

1.變換方程。利用函數(shù)圖象，求方程x2 - 2x - 3 = 0的解。此處變換方程的原因是此方程的解為整數(shù)。對應函數(shù)y = x2 - 2x - 3的圖象與x軸交點橫坐標為整數(shù)，如圖10所示。

通過圖象與x軸的交點橫坐標與方程的解作對比，學生能直觀地得到此方程的解為對應函數(shù)與x軸交點的橫坐標，并能更好地理解它們之間的聯(lián)系。

2.變形方程。對不同形式進行思考、演示、類比。

（1）教師引導。若把方程x2 - 2x - 3 = 0變形為x2 - 2x = 3，方程的解是什么？如何利用函數(shù)圖象求方程x2 - 2x = 3的解？類比于“變換方程”中的思路，學生可以把此方程的解理解為函數(shù)y = x2 - 2x的圖象與y = 3的圖象交點的橫坐標，并進行驗證，如圖11所示。

（2）學生創(chuàng)設。方程變形為x2 = 2x + 3，則它的解是否為y = x2的圖象與y = 2x + 3的圖象的交點橫坐標？如圖12所示。方程變形為x2 - 3 = 2x，它的解是否為y = x2 - 3的圖象與y = 2x的圖象的交點橫坐標？能不能利用圖象求y = x2 - 3與y = 2x所聯(lián)立的方程組的解？這些猜想都要由學生自主創(chuàng)設，由教師利用幾何畫板進行驗證。

此題設計意在引導學生建立數(shù)形關系，并從中發(fā)現(xiàn)同一個方程的解是不變的，但是它有多種變化形式，而每一種變化所對應的函數(shù)是不一樣的。方程無論轉化為何種形式，它的解都可以理解為兩個對應函數(shù)圖象的交點橫坐標。而且通過這一建構過程，更好地夯實學生對一元二次方程圖像解法的理解與掌握，培養(yǎng)發(fā)散思維，開拓解題思路，增強解題能力。

3.方程一般化。在學生有前面的認知和體驗后，啟發(fā)學生繼續(xù)探究。給一個任意的一元二次方程ax2 + bx + c = 0，是否可以用不同的圖象法求解？

繼續(xù)探究的目的是讓學生學到“從特殊到一般”的數(shù)學思想和方法，并能由此進行邏輯推衍，培養(yǎng)舉一反三能力。

數(shù)學是思維的體操。在幾何畫板中，學生通過同一方程的不同變形，直觀地感受函數(shù)與方程的關系?！耙活}多變”“多變求同”讓學生認知重塑，思維放大，幾何直觀能力得到有效地提升。

四、“自主創(chuàng)設”，形成思維網絡，培養(yǎng)分析歸納能力

新課標要求組織學生經歷圖形的分析與比較過程，引導學生關注事物的共性，形成合適的“類”。例題設計也要充分地考慮到共性問題，以“例”帶“類”，通過對相關知識的梳理、整合，進行“自主創(chuàng)設”。

例如，二次函數(shù)圖象中字母與系數(shù)的關系是學習二次函數(shù)重要內容之一，也是中考的高頻考點之一，考點多，靈活多變，學生不易掌握；尤其在對圖象認知、思考的過程中，學生得到的知識是散亂無序的，沒有形成系統(tǒng)的知識結構，學生的思維空間是狹窄的，解題能力是有限的。其實，很多考題的設置都與二次函數(shù)的對稱軸的含義有關，“對稱軸”是解題的關鍵。在實際教學中教師要善于根據知識點之間的聯(lián)系，引導學生找到二次函數(shù)的解題突破口——“對稱軸”，深挖、細挖對稱軸的含義，然后以它為主干，添枝加葉，聯(lián)想其定義、軸對稱性、最值等內容；再從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，去激發(fā)學生的思維生長點，由此帶出相關知識點及考點，有針對性地幫助學生對二次函數(shù)圖象和性質等知識進行梳理、歸納，引導其建立起自己的思維導圖，形成思維網絡，提高分析歸納能力。

1.建立思維主干

如圖13所示，對稱軸x = 1，可得到哪些信息？引導學生把得到的信息進行歸納整理：

（1）定義。由x = 1既[-b2a=1]得b = - 2a，或[a=-b2，]或2a + b = 0。

（2）軸對稱性。與x軸一個交點坐標是（3，0），根據軸對稱性得到與x軸另一個交點為（ - 1，0），并把圖象補充完整，如圖14所示。

（3）最值。當x = 1時，二次函數(shù)有最小值，即ymin = a + b + c；

2.建立思維支干

由（1）定義得出的等量關系可以聯(lián)想到哪些知識點？

聯(lián)想一：不等關系，即有[-b2a=1]時，b = - 2a，則當[-b2a<1]或[-b2a>1]時，b與 - 2a有什么大小關系？在根據不等式性質進行變形時，要考慮a的正負，如本題中a > 0，則 - 2a < 0，所以由[-b2a<1，可得b>-2a;]

聯(lián)想二：字母替換，對含有字母系數(shù)的代數(shù)式進行變形，即由b = - 2a，或[a=-b2，]可得a + b + c = - a + c，或[a+b+c=b2+c，]這可以解決含有兩個字母系數(shù)或一個字母系數(shù)的代數(shù)式值的問題。

由（2）知道二次函數(shù)圖象與x軸交點坐標，可得一元二次方程ax2 + bx + c = 0有兩個不相等的實數(shù)根，分別是x1 = - 1，x2 = 3，進而根據圖象上點的橫縱坐標關系得a - b + c = 0，9a + 3b + c = 0。

由（3）可知y值中a + b + c的值最小，即當x = m （m≠1）時，函數(shù)值都比a + b + c大，所以可得a m2 + b m + c > a + b + c，即am2 + b m > a + b。

3.建立思維分支

如圖14所示，由（2）支干繼續(xù)觀察聯(lián)想：

聯(lián)想一：由方程聯(lián)想不等式，考察方程與不等式的區(qū)別與聯(lián)系。已知ax2 + bx + c = 0的兩個根為x1 = - 1，x2 = 3，那么不等式ax2 + bx + c > 0與ax2 + bx + c < 0的解集分別是什么？

聯(lián)想二：由特殊值聯(lián)想一般值，考察二次函數(shù)圖象的連續(xù)性。已知x1 = - 1時，a - b + c = 0，x2 = 3時，9a + 3b + c = 0，那么x = - 2時，對應的函數(shù)值如何表示？如何通過圖象去判斷正負？x = 4呢？引導學生對4a - 2b + c及16a + 4b + c等相關代數(shù)式值的正負做出判斷。

聯(lián)想三：運用字母替換來變形字母代數(shù)式，考察字母系數(shù)相關代數(shù)式的多變性。由定義可知b = - 2a，所以得4a - 2b + c = 8a + c > 0；也可由[a=-b2]得4a - 2b + c = - 4b + c > 0，或c - 4b > 0。

因為（3）中函數(shù)的最小值還可以表示為[4ac-b24a，]所以在二次函數(shù)最值方面多角度去思考，如果頂點縱坐標為 - 4，則會得到a + b + c = - 4，或4ac - b2 = - 8a等相關等式。

由此，借助對二次函數(shù)對稱軸的多層次、多角度思考，學生頭腦中已經形成關于對稱軸相對完整的知識體系，思維導圖隨之建立，如圖15所示。

核心素養(yǎng)培養(yǎng)是教學目標，而例題教學是落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關鍵一環(huán)，必須予以重視。在日常教學中，教師要立足核心素養(yǎng)，著眼例題優(yōu)化設計，根據學生實際精選例題，不斷地創(chuàng)新例題優(yōu)化策略，使學生在體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程中，訓練思維，發(fā)展能力，實現(xiàn)學科育人價值。

[參 考 文 獻]

[1]鐘啟泉，崔允漷.核心素養(yǎng)研究[M].上海：華東師范大學出版社，2018.

[2]黃世貴，劉賢虎.基于問題串從淺層走向深度：小學數(shù)學“分段計費”教學設計[J].中小學教學研究，2021，22（4）：86 - 91.

[3]劉海濤.基于核心素養(yǎng)的“問題鏈”課堂教學實踐研究：以“基本不等式”第一課時教學為例[J].中小學教學研究，2021，22（3）：21 - 27.

（責任編輯：姜顯光）