陳重陽

(浙江省溫州中學(xué) 325000)

中國禪語說,認(rèn)識世界有三重境界:看山只是山,看山不是山,看山還是山.這三重境界反映了人們對事物認(rèn)識逐步深刻、逐漸提升的發(fā)展過程.類比數(shù)學(xué)教育,高中數(shù)學(xué)教學(xué)也有這三重境界,這三重境界是一名優(yōu)秀教師必經(jīng)煉“技”、達(dá)“術(shù)”、悟“道”三個階段,是教學(xué)境界躍升的“三步曲”.研究者根據(jù)自身的教育教學(xué)經(jīng)驗(yàn),結(jié)合自己在溫州市高三數(shù)學(xué)研討會上的一節(jié)公開課——“直線與拋物線的位置關(guān)系”三次教學(xué)設(shè)計(jì)粗談一些認(rèn)識.

1 看山只是山——數(shù)學(xué)教學(xué)的煉“技”境界

看山只是山,是數(shù)學(xué)教學(xué)的初級階段,簡單理解就是“新”“初”“雛”. 這個階段看問題往往是孤立的,一切數(shù)學(xué)和教學(xué)在教師眼里都是其本原的狀態(tài),較少用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題,常常停留在經(jīng)驗(yàn)上.“直線與拋物線的位置關(guān)系”的初期教學(xué)設(shè)計(jì)就是這樣的表現(xiàn),單純關(guān)注直線與拋物線的位置關(guān)系,沒有確立直線與曲線位置的全局觀念,更沒有解析幾何學(xué)科的一般性方法和思想.

第1次教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

師:直線與拋物線有哪些位置關(guān)系?

生(預(yù)設(shè)):相離、相切、相交.

問題1直線l過點(diǎn)P(1,0),與拋物線C:y=x2恰好有一個公共點(diǎn),求直線l的方程.

預(yù)設(shè):這個問題中,學(xué)生容易忽略斜率不存在時,直線l的方程x=1.

問題2直線l過點(diǎn)P(1,0),與拋物線C:y=x2相交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).

(學(xué)生只用直線方程的“線解析”(斜率為參數(shù))來求解,沒有體驗(yàn)與 “點(diǎn)解析”(點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù))的異同比較.)

問題3P是直線y=x-1上的動點(diǎn),過P引拋物線C:y=x2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).(1)探索直線AB是否過定點(diǎn);(2)求△PAB面積的最小值;(3)證明:∠PFA=∠PFB(其中F是拋物線焦點(diǎn));從上述結(jié)論中至少選擇一個解決.

第1次教學(xué)設(shè)計(jì)以知識為主線設(shè)置了三個問題,教學(xué)意圖指向直線與拋物線的位置判斷、相交問題、相切問題,問題之間思維切換相對孤立,缺乏解決問題的方法引導(dǎo).教學(xué)方式以傳統(tǒng)的單向傳授為主,過于重視教師的主導(dǎo)地位,課堂模式不夠開放,過重耽于對細(xì)碎課堂教學(xué)技巧的癡迷,缺乏對數(shù)學(xué)教學(xué)獨(dú)特理解和個性張揚(yáng).究其因,還是未能跨越出“技”的境界.

用正確的方法去做一件事情是為“技”.遵循數(shù)學(xué)教育教學(xué)規(guī)律上好一堂課屬于教學(xué)之“技”.看山只是山,處在數(shù)學(xué)教學(xué)的煉“技”境界,系回答“是什么”的階段,乃微觀研究.“技”是教師課堂教學(xué)技能(諸如課堂語言、板書、節(jié)奏等)外在表現(xiàn)和數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)(諸如數(shù)學(xué)理解、教材處理、教學(xué)設(shè)計(jì)等)內(nèi)在表現(xiàn)的初步綜合,需要在課堂實(shí)踐中不斷磨煉.

隨著教育觀念的轉(zhuǎn)變、教材體系的更新、教育對象的變化,“技”的作用將越來越暴露其局限性,往往讓數(shù)學(xué)教學(xué)困于“只見樹木不見森林”的窘境.這時,不僅需要不斷內(nèi)蘊(yùn)的反思與學(xué)習(xí),夯實(shí)數(shù)學(xué)專業(yè)的“底子”,拓展教學(xué)素養(yǎng)的“里子”,而且還需要反復(fù)外向的實(shí)踐錘煉,積淀教學(xué)經(jīng)驗(yàn).

2 看山不是山——數(shù)學(xué)教學(xué)的達(dá)“術(shù)” 境界

看山不是山,是數(shù)學(xué)教學(xué)的中乘境界,簡單理解就是“會”“融”“通”.這個階段看事物不再是單純孤立的,而是運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題、分析問題,看問題的角度也是多方位、多層面的.對教師而言,不僅要理解數(shù)學(xué)、理解教材、理解學(xué)生,而且要研究數(shù)學(xué)的教育教學(xué)規(guī)律,并在教學(xué)實(shí)踐中不斷創(chuàng)造適合不同教育對象的獨(dú)特方法,自覺地把教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)向理論的高度提升.在第1次教學(xué)反思的基礎(chǔ)上,這次教學(xué)設(shè)計(jì)已站在學(xué)科的一般性思想方法的高度上,問題注重開放設(shè)計(jì),實(shí)施探究式教學(xué).

第2次教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

師:這節(jié)課,我們通過“直線與拋物線的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí),一起來感悟用代數(shù)的方法解決幾何問題的思想魅力.

問題1直線l:y=ax+b和拋物線C:y=x2,請你具體給出a,b的一組值,使直線l和拋物線C相交.

預(yù)設(shè):在學(xué)生思考與討論后追問: 直線l和拋物線C相交,a,b需滿足什么條件?

(相交時,聯(lián)立直線與拋物線方程得Δ=a2+4b>0.)

問題2已知a+b=0,直線l:y=ax+b和拋物線C:y=x2相交于兩點(diǎn)A,B,________(請你添加條件),求直線l的方程.

預(yù)設(shè):學(xué)生從線段的長度、點(diǎn)的位置、夾角、面積等角度提出多種方案.例如:

生1:b=1;

生2:|AB|=2;

生3:A,B的中點(diǎn)在y軸上;

生4:∠AOB=90°;

生5:S△AOB=1;

生7:直線l與橢圓4x2+y2=1相切;

……

授生以魚,不如授生以漁.問題1可以通過“形”或“數(shù)”多種方式確定直線與拋物線相交位置,打開了學(xué)生的思維“腳鐐”,有效地引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維活動.尤其是問題2的開放性設(shè)計(jì),培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會提出問題、解決問題的數(shù)學(xué)習(xí)慣,構(gòu)建了“形散神不散”的教學(xué)模式,是達(dá)“術(shù)”的表現(xiàn).但是,在試課之后,感覺對學(xué)生來說問題2的解決方法還是比較單一,課堂還缺少“一葉知秋”“一課一世界”的教學(xué)意境.這就要求教師對數(shù)學(xué)、教學(xué)、教育有更深的理解,需要追求更加高遠(yuǎn)的教學(xué)立意.

知道事物的原理是為“術(shù)”.如果說上好一堂課屬于“技”,那么懂得怎樣上課屬于“術(shù)”.看山不是山,處在數(shù)學(xué)教學(xué)的達(dá)“術(shù)”境界,是回答“為什么”的階段,乃中觀研究.此境界,不滿足于“技”的細(xì)碎、凌亂,已趨于在教學(xué)意識、教學(xué)思想上的探索,且教學(xué)技藝在量上的積累有相當(dāng)部分產(chǎn)生質(zhì)的飛躍,開始用心去思考數(shù)學(xué)和教學(xué),思考也多了一些理性和深度,但還缺少一種“一葉一菩提,一花一世界”的教學(xué)立意.或者說,已經(jīng)從森林中走出,對森林的草木都有了相當(dāng)精確的認(rèn)知,也知道森林在山中,卻還停留在對山的仰視,“只緣身在此山中”,故尚不能窺知山的全貌,還需要邁向更高境界.

3 看山還是山——數(shù)學(xué)教學(xué)的悟“道”境界

看山還是山,是數(shù)學(xué)教學(xué)的上乘境界,簡單的理解就是“明”“透”“悟”.這個階段,我看山是我要的山,我看水是我要的水,是一種洞察事物的本質(zhì),探尋事物規(guī)律的升華過程.教學(xué)立意追求大“道”至簡,教學(xué)設(shè)計(jì)蘊(yùn)含“一葉一菩提,一課一世界”的教學(xué)意境.在前兩次磨課之后,教學(xué)思想也有了升華,進(jìn)而提出本節(jié)課的立意:解析幾何問題的“立”與“破”——對一道高考題的改創(chuàng)與探究.立,借助幾何直觀提出問題.破,選擇代數(shù)語言理性解析.

第3次教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

師:給定一條直線和曲線,我們會研究哪些問題?又是如何研究的?這節(jié)課就以一道高考題為例,從直線與拋物線的位置關(guān)系中發(fā)現(xiàn)解析幾何的“秘密”.

問題情境(2009年北京高考題改創(chuàng))已知點(diǎn)P和曲線C:y=x2,若曲線C上存在一點(diǎn)A,使得線段PA的中點(diǎn)也在曲線C上,則稱點(diǎn)P為“好點(diǎn)”,點(diǎn)A為“伴點(diǎn)”.

問題1判斷點(diǎn)P(1,0)是否為“好點(diǎn)”,對應(yīng)的“伴點(diǎn)”有幾個?

(學(xué)生容易從幾何直觀得出肯定答案,但還需進(jìn)一步嚴(yán)密論證.)

問題2請?jiān)俳o一些“好點(diǎn)”,并嘗試描出“好點(diǎn)”所在的平面區(qū)域;

(借助幾何直觀提出問題,選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)語言理性解析,體會解析幾何問題中的“立”與“破”.)

變式1請你具體給出a,b的一組值,使直線l:y=ax+b上所有點(diǎn)都是“好點(diǎn)”;

問題3已知一個“好點(diǎn)”對應(yīng)兩個“伴點(diǎn)”,若“好點(diǎn)”P的兩個“伴點(diǎn)” 是A1,A2,以此幾何圖形為背景,(請你添加條件),設(shè)計(jì)一些題目,并說說解決它的方法和過程.

(開放思維空間,拓寬問題廣度,加深理解解析幾何問題的“立”與“破”,培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力.)

預(yù)設(shè):不同層次的學(xué)生都能在這個問題上有不同層次的答案,例如,

生1:若A1A2的中點(diǎn)為M,求證:PM⊥x軸;

生2:當(dāng)P(1,0)時,求“伴點(diǎn)”A1,A2的坐標(biāo);

生3:當(dāng)P滿足什么條件時,PA1⊥PA2?

生4:當(dāng)P在直線l:y=x-1上運(yùn)動時,求△PA1A2面積的最小值;

……

問題1中,學(xué)生容易借助幾何直觀提出猜想,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn),數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)也是發(fā)明的,數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)往往依賴于幾何的直觀和思維的直覺.但是,類似問題1的直觀猜想還需代數(shù)語言理性解析,自然轉(zhuǎn)到問題2的“線解析”和“點(diǎn)解析”的方法及異同比較,讓學(xué)生感悟解析幾何的學(xué)科精髓.問題2的兩個變式貌似研究“好點(diǎn)”問題,實(shí)質(zhì)是直線與拋物線的位置關(guān)系,避免了看山只是山的狹隘,逐漸從看山不是山到看山還是山的轉(zhuǎn)變.所有問題均蘊(yùn)含倚“形”(幾何直觀)立問,靠“數(shù)”(代數(shù)推理)破解的思想,凸顯學(xué)科本質(zhì);尤其是問題3的開放性教學(xué),享受“問題自由”,更是體現(xiàn)本節(jié)課“立”與“破”的教學(xué)立意,彰顯“本來無一物,何處惹塵?！钡臑t灑和大氣,是“技”熟、“術(shù)”達(dá)之后,心領(lǐng)神會數(shù)學(xué)本質(zhì)和教學(xué)規(guī)律,是悟“道”的表現(xiàn).

洞明事物的本質(zhì)和規(guī)律是為“道”.通透數(shù)學(xué)本質(zhì)和教學(xué)規(guī)律,“技”“術(shù)”精通之上的教育抽象而升化為數(shù)學(xué)教學(xué)之“道”.看山還是山,處在數(shù)學(xué)教學(xué)的悟“道”境界.“道”的境界,不僅懂得“是什么”和“為什么”,而且還要知道“怎么做”,最關(guān)鍵的還是要悟出“怎么來的”,乃宏觀之旨?xì)w.此境界,是以探尋教學(xué)的規(guī)律為目標(biāo)的歸納、概括,是確立說法的過程,不滿足于精熟的教學(xué)技藝,更不停留在“進(jìn)乎技矣”的“術(shù)”的層次上,有膽量走出“廬山”,以更廣闊的視野看數(shù)學(xué)的教育教學(xué),從“入乎其內(nèi)”,到“超乎其外”,既能“觀之”又能“寫之”.或者說,對“道”的追求,目的就在于把“技”“術(shù)”的經(jīng)驗(yàn)積累上升到理性認(rèn)識的高度,通俗地說就是朝著教育名家的方向邁進(jìn).

具體來說,從教師教學(xué)角度看,“技”“術(shù)”“道”分別對應(yīng)“上好一堂課”“懂得怎樣上課”“成為教育行家”三個階段.從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的視角來看[1],“技”“術(shù)”“道”分別屬于教育學(xué)生如何進(jìn)行“分析問題,解決問題”“提出問題,解決問題”“發(fā)現(xiàn)問題,享受問題”的三個層次.當(dāng)然,“技”“術(shù)”“道”并非截然分開的三個不相關(guān)的部分,三者之間較低的層次中可能包含了較高層次的成分,只是還處在不自覺狀態(tài).超越“技”和“術(shù)”,而趨于“道”境,將“道”的體悟作為遠(yuǎn)期旨?xì)w,無疑是教學(xué)境界的最高目標(biāo),自然要付出更多的努力.

4 結(jié)語

“看山只是山”是建構(gòu),“看山不是山”是解構(gòu),“看山又是山”是重構(gòu),這三重境界,是教學(xué)智慧和思想走向成熟的一個必然過程.靜止看,三重境界是遞升的;動態(tài)看,不是以“悟道”為目標(biāo),“技”“術(shù)”再精深,也是欠高的境界.如何做到“技”精、“術(shù)”深、“道”高,完全取決于自己的眼光、毅力和追求,需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷積淀磨煉.人生如此,教學(xué)亦如此.