優(yōu)化教學(xué)設(shè)計,落實“少教多學(xué)”
——以基本不等式為例

江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (225009) 王 晨

江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)研究院 (225007) 戚有建

一、問題提出

著名教育家陶行知先生曾說過:“所謂教師之主導(dǎo)作用,重在善于啟迪,使學(xué)生自奮其力,自致其知,非謂教師滔滔講說,學(xué)生默默聆聽.”其中深意就是“少教多學(xué)”的教學(xué)理念.“少教”即啟發(fā)性地教、針對性地教、創(chuàng)造性地教和發(fā)展性地教;“多學(xué)”指學(xué)生在教師地引導(dǎo)下走向深度學(xué)習(xí)、積極學(xué)習(xí)、獨(dú)立學(xué)習(xí).因此教師要對教學(xué)課程有科學(xué)的設(shè)計,對教學(xué)進(jìn)程有巧妙的干預(yù)和調(diào)適,才能達(dá)到少教多學(xué)的目的.本文以基本不等式第一課時為例,從“精教—少教—不教”三個階段逐層推進(jìn),展示基本不等式課堂教學(xué)中的“少教多學(xué)”.

二、教學(xué)案例

教材分析:本節(jié)課選自蘇教版(2019版)必修一第三章第二節(jié),主要內(nèi)容是基本不等式的證明與應(yīng)用.此前學(xué)生已學(xué)過不等式的六個基本性質(zhì),對比較法、分析法、綜合法會簡單的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)

(1)了解基本不等式包含的物理、代數(shù)、幾何知識及生活背景,掌握基本不等式的證明方法,學(xué)會運(yùn)用基本不等式解決一些函數(shù)的最值問題.

(2)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,體會換元代換的數(shù)學(xué)方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過程

1．情境引入

問1:看完這段材料你有什么想法?

追問2:下面你想研究什么呢?

設(shè)計意圖：通過生活情境的引入,增加學(xué)生的探究興趣.對情境中方案的“不合理”,學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)并用已有的物理知識解決,極大地滿足他們學(xué)習(xí)的成就感,同時也找出了本節(jié)課的研究對象,發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

2．課內(nèi)探究

2．1猜想

問2:從特殊值入手得到的結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn),你能不能嚴(yán)格地證明該猜想?

2．2證明

巡視學(xué)生的答案,選擇幾個投影.

生1:用比較法證明,但要注意前提是a,b>0,和不等式取等的充要條件.

生2:用的是分析法,執(zhí)果索因,探究每一步所需的充分條件,直至得到一個顯然成立的式子,注意書寫格式.而將分析法過程倒著書寫即為綜合法.

生3:選擇先平方兩數(shù),消除根號,再用前三種方法證明,稱為平方法.

設(shè)計意圖：從特殊值入手得到猜想,此時學(xué)生會有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦Щ?萌發(fā)出想要證明的想法.接著投影學(xué)生證明不等式的方法,既檢驗學(xué)生對前一節(jié)不等式內(nèi)容的掌握情況,又讓學(xué)生感受到知識的應(yīng)用性.

生:結(jié)構(gòu)簡潔,主要是和與積的關(guān)系,且只包含基本運(yùn)算.

問3:你有什么發(fā)現(xiàn)?

生:根據(jù)半弦不大于半徑可以得到CD≤OD,也可以證明不等式成立.所以這個不等式還蘊(yùn)含豐富的物理、代數(shù)、幾何知識.

問4:不等式中的a,b可以代入數(shù)字,能代入代數(shù)式嗎?對代數(shù)式有何要求?

生:可以,但要滿足大于等于0.

師:通過對a,b的代換,可以得到無數(shù)個不等式,但它們的根基均為這個不等式,所以我們給它一個名稱,叫做基本不等式.

設(shè)計意圖：這里對不等式的賞析,引導(dǎo)學(xué)生從多個角度去理解不等式,讓學(xué)生在感受到這個簡單的不等式蘊(yùn)含著豐富的知識背景的同時,還培養(yǎng)了其數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.另外,該不等式還可以衍生出許多不等式,因此學(xué)生對于它的名稱“基本不等式”會有更深層次的感悟.

2．3 應(yīng)用

問5:你能不能舉出用代數(shù)式代換a,b的例子呢?

生:根據(jù)a,b大于等于0,用a2替換a,b2替換b,代入基本不等式,得到一個新的不等式.這里要注意a,b的范圍已經(jīng)變?yōu)镽.

問6:你能將這個函數(shù)進(jìn)行變式嗎?

問7:問題出在哪?

生2:需改變x的范圍,可以為x∈(-2,+∞),但改法不唯一.

問8:剛剛我們主要運(yùn)用基本不等式來解決這些函數(shù)的最值,使用過程中需要注意的條件是什么?

生:首先代數(shù)式為正,其次乘積為定值,最后取等號時x的值要有解.

師:總結(jié)的非常到位!事實上乘積為定值,我們可以得到和的最小值,如果和為定值,則乘積有最大值.用基本不等式求函數(shù)最值需要滿足的條件可以概括為“一正二定三相等”.

設(shè)計意圖：通過教師簡單地引導(dǎo),讓學(xué)生不由自主地去思考,去改編題目,充分彰顯學(xué)生的主體地位,達(dá)到“少教多學(xué)”的目的.經(jīng)過不斷出現(xiàn)矛盾和解決矛盾的探究過程,學(xué)生的函數(shù)代換思想,邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),在無形中得到了發(fā)展.

3．課堂小結(jié)

對不等式的賞析,不僅發(fā)現(xiàn)了基本不等式的幾何意義,還感受到它廣泛的應(yīng)用性,即通過對a,b的代換總結(jié)出用基本不等式求函數(shù)最值需滿足的條件:一正、二定、三相等.

4．課后思考

基本不等式能否推廣到n(n≥3,n∈N*)個非負(fù)數(shù)的情形?

三、教學(xué)反思

1．基本不等式的發(fā)現(xiàn)

2．基本不等式的賞析

“少教多學(xué)”的課堂應(yīng)當(dāng)以學(xué)生為本,這就要求教師運(yùn)用簡潔的語言啟發(fā)學(xué)生探索出知識間的緊密聯(lián)系.比如學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)不等式的結(jié)構(gòu)特點,教師由此引出算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學(xué)生稍加思索便能得到不等式的幾何意義,感受到不等式中物理、代數(shù)、幾何知識的聯(lián)系.再將關(guān)注點指向代數(shù)式a,b,帶領(lǐng)學(xué)生得出a,b范圍可包含等于零,進(jìn)而判斷出a,b可用無數(shù)代數(shù)式替換,深刻理解“基本”的含義.整個過程中,學(xué)生會充分感受到公式之簡潔,數(shù)學(xué)之優(yōu)美.

3．基本不等式的應(yīng)用

傳統(tǒng)課堂總是習(xí)慣于在知識點講解完后,直接拋出例題.這樣很容易忽略學(xué)生思維發(fā)展的連貫性,不利于思維能力的培養(yǎng).此處筆者選擇承上啟下,將重點放在研究a,b的代換.先由學(xué)生舉例用a,b的絕對值或平方形式替換,教師舉例用互為倒數(shù)的分式替換,幫助學(xué)生打開思路,再進(jìn)一步用變量x替換,引出求函數(shù)最值問題.接著讓學(xué)生去改編題目并自行解決,完全將課堂歸還給學(xué)生,達(dá)到教師不教,學(xué)生愛學(xué)的層次.學(xué)生也在探索未知的領(lǐng)域中,體會到學(xué)習(xí)的迷茫與困惑,體會到解決問題帶來的數(shù)學(xué)之趣.