初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一種策略——“猜”

徐世斌

（蘭州市第三中學(xué) 甘肅 蘭州 730030）

前言

所謂數(shù)學(xué)“猜想”（或稱(chēng)猜測(cè)、假設(shè)），它是根據(jù)已知條件的數(shù)學(xué)原理對(duì)未知的量及其關(guān)系的似真推斷。它既有邏輯的成分，又含有非邏輯的成分。人類(lèi)絕大多數(shù)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)都源于猜想，與人類(lèi)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)的數(shù)學(xué)也如此。大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)?！毙睦韺W(xué)家同樣認(rèn)為：“猜想是人們根據(jù)事實(shí)，憑借直覺(jué)所做出的似真推測(cè)，是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)”。毫不夸張地說(shuō)，數(shù)學(xué)“猜想”是推動(dòng)科學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力之一[1]。

九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 版）明確規(guī)定：有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程，同時(shí)作為學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者的教師在教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施當(dāng)中應(yīng)注重啟發(fā)式，利用觀(guān)察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀(guān)想象等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。從而促進(jìn)一些知識(shí)和技能的掌握，方法和經(jīng)驗(yàn)的積累，良好的習(xí)慣和價(jià)值觀(guān)、核心素養(yǎng)的形成和確立。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的各種技能，除了一些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式外還必須得擔(dān)負(fù)起開(kāi)發(fā)他們的思維的責(zé)任，思維的開(kāi)發(fā)又離不開(kāi)最初的觀(guān)察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等基礎(chǔ)方法。無(wú)論是教學(xué)發(fā)展史和人類(lèi)發(fā)展史（如著名的哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬猜想、歐拉猜想等），還是平時(shí)的教學(xué)環(huán)節(jié)中一直在經(jīng)歷的一些過(guò)程（如“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”等），我們都會(huì)用到“猜想”，也正因?yàn)檫@些“猜想”，才有了后來(lái)學(xué)者們繼續(xù)為之而努力探索的必要；才有了我們的學(xué)生學(xué)習(xí)或者研究的方向。這些“猜想”，對(duì)推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著指導(dǎo)性的作用，對(duì)我們?nèi)粘Ｉ詈徒虒W(xué)中需要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題有著“跨越式”的幫助。它為學(xué)生充分的思考和交流搭建了階梯，提供了進(jìn)一步推敲和想象空間，因此倡導(dǎo)學(xué)生去“猜想”，鼓勵(lì)學(xué)生去積極“猜想”，對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性和“猜想”意識(shí)，在新時(shí)代教育的當(dāng)下尤其重要和必要。

讓我們一起來(lái)看看，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中常常通過(guò)什么方式來(lái)猜想的和一些和“猜”有關(guān)的知識(shí)吧。

1.通過(guò)“自學(xué)”相關(guān)內(nèi)容，充分地“議論”，正確地“引導(dǎo)”，直觀(guān)、形象的提出“猜想”

初中數(shù)學(xué)中的許多概念、性質(zhì)、判定等知識(shí)，對(duì)于正處于由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的初中生而言是比較抽象的。這就需要我們對(duì)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中的過(guò)程目標(biāo)更加重視起來(lái)，促使他們?cè)凇白詫W(xué)”過(guò)程中，善于通過(guò)觀(guān)察具體圖形或?qū)嵨锬Ｐ?，結(jié)合自己的親身體驗(yàn)、思維體驗(yàn)以及主動(dòng)探索，手、腦并用，在思想、行動(dòng)上適時(shí)地與他人，或者與自己充分地 “議論”一番，在真誠(chéng)地接受“引導(dǎo)”下，力爭(zhēng)在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上獲得合理的“猜想”。這對(duì)加深學(xué)生的認(rèn)知，進(jìn)一步促進(jìn)、提高學(xué)生的直覺(jué)思維是相當(dāng)有益處的。

通過(guò)直觀(guān)、形象（有時(shí)候需要特殊的排列方式）把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)明、形象化，從而幫助學(xué)生探明解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)得出結(jié)果的例子在初中數(shù)學(xué)中也很常見(jiàn)。比如在學(xué)習(xí)八年級(jí)下冊(cè)《不等式的基本性質(zhì)》時(shí)，我們就是經(jīng)歷了通過(guò)類(lèi)比、猜想、驗(yàn)證等一系列過(guò)程來(lái)發(fā)現(xiàn)不等式基本性質(zhì)的。

如：北師大版八年級(jí)下冊(cè)第二章《一元一次不等式與一元一次不等式組》第2 節(jié)《不等式基本性質(zhì)》這一節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，就直接體現(xiàn)出了“猜想”在本節(jié)課中的優(yōu)勢(shì)。借鑒課本編排，大致過(guò)程是這樣的：起初，我們不妨可以讓學(xué)生先行自學(xué)課本這一節(jié)中的某些內(nèi)容，隨后逐步實(shí)施一些問(wèn)題性的“引導(dǎo)”和暗示，引導(dǎo)他們能正確運(yùn)用類(lèi)比“等式的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容，大膽“猜想”出屬于“自己”的“不等式的基本性質(zhì)”的相關(guān)內(nèi)容（務(wù)必嘗試用文字語(yǔ)言敘述出來(lái)），接著再讓他們?cè)嚺e出一些例子來(lái)加以驗(yàn)證，最后結(jié)合以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析整理，歸納總結(jié)，最終形成課本中給定的“不等式的基本性質(zhì)1、2、3”。通過(guò)這樣的形式即可實(shí)現(xiàn)“不等式的基本性質(zhì)”的探索。在通過(guò)后面的一系列練習(xí)鞏固中發(fā)現(xiàn)其知識(shí)能被大多數(shù)學(xué)生所理解和掌握，更能靈活應(yīng)用還不易出錯(cuò)，簡(jiǎn)單而高效[2]。在此知識(shí)授課過(guò)程中所體現(xiàn)到的就是“猜想”在這節(jié)課中的強(qiáng)大作用和魅力！以及課本中所呈現(xiàn)的獨(dú)特排列方式，這其中的每一點(diǎn)對(duì)我們順利猜想出“不等式的基本性質(zhì)1、2、3”都起到了積極的、實(shí)際的作用。下面就是課本所體現(xiàn)的如何通過(guò)它的方式將我們的探索過(guò)程與猜想聯(lián)系起來(lái)的。具體如下：

首先，我們可以從這些簡(jiǎn)單易懂的入手

如果2＜3；那么

一開(kāi)始我們便要按要求對(duì)上面的“空格”進(jìn)行填寫(xiě)，之后，結(jié)合以上的形式（或者說(shuō)排列、特點(diǎn)）通過(guò)縱向觀(guān)察，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中先去“猜想”發(fā)現(xiàn)了什么？緊接著讓大家得出一個(gè)初步的結(jié)論，最后再照此法換幾個(gè)具體的數(shù)字試一試并加以驗(yàn)證，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生思考下去，慢慢地讓學(xué)生嘗試用式子來(lái)表示先前的發(fā)現(xiàn)，不等式的基本性質(zhì)，就這樣在一系列的嘗試、探索中逐步形成了。

在這一教學(xué)過(guò)程中，我們的學(xué)生始終是處于主導(dǎo)地位的，完全是通過(guò)自己的積極參與和簡(jiǎn)單的填寫(xiě)、判斷后，形成了“不等式的基本性質(zhì)”的“雛形”，隨后在老師的幫助引導(dǎo)，同學(xué)的合作交流下，成功的實(shí)現(xiàn)了本節(jié)內(nèi)容上由學(xué)到掌握的一個(gè)提升。相信期間的努力與付出都會(huì)被認(rèn)為是值得的。

2.通過(guò)“引導(dǎo)”和“議論”摸索出來(lái)的一些規(guī)律“猜想”

數(shù)學(xué)中有很多的知識(shí)點(diǎn)，若要把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都清楚地、準(zhǔn)確地記住就很困難，靈活運(yùn)用就更是難上加難了。（自學(xué)）然而，若以某些知識(shí)為載體，（議論）使其幫助學(xué)生一定程度上領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力才是我們新時(shí)代新教育真正要做的、更是今后重視的?！皻w納”是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力中很重要的一塊，而“操作+猜想”又是為“歸納”做保障的，更能在培養(yǎng)學(xué)生的“歸納”思想與技能方面起著至關(guān)重要的作用。例如：兩條直線(xiàn)相交最多只有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線(xiàn)相交最多有三個(gè)交點(diǎn)，四條直線(xiàn)相交最多有六個(gè)交點(diǎn)……，那么n 條直線(xiàn)相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？在找規(guī)律這一內(nèi)容里經(jīng)常會(huì)遇到類(lèi)似的題目。怎么辦呢？不妨先動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，再想一想，猜一猜，通過(guò)特例來(lái)研究考察問(wèn)題的本質(zhì)，歸納問(wèn)題的規(guī)律和性質(zhì)。于是在畫(huà)一畫(huà)，數(shù)一數(shù)之后得出：當(dāng)畫(huà)第二條直線(xiàn)時(shí)，因?yàn)橐延兄本€(xiàn)一條，因此最多可有1 個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)畫(huà)第三條直線(xiàn)時(shí)，最多可與原有的兩條直線(xiàn)都相交并有兩個(gè)交點(diǎn)，因此一共有1+2=3 個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)畫(huà)第四條時(shí)，在原來(lái)交點(diǎn)的基礎(chǔ)上最多可與原有的三條直線(xiàn)都相交成3 個(gè)交點(diǎn)，那么總共會(huì)出現(xiàn)1+2+3=6 個(gè)交點(diǎn)……漸漸地我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n 條直線(xiàn)相交時(shí)總共會(huì)得到：1+2+3+4+…+（n-1）個(gè)交點(diǎn)。這時(shí)我們就很容易回答：n 條直線(xiàn)相交，最多可有n（n-1）/2 個(gè)交點(diǎn)。我們還可以將這種方法靈活應(yīng)用到一些知識(shí)的識(shí)記當(dāng)中，這樣有效地學(xué)習(xí)不但不容易出錯(cuò)，而且還不用花大量時(shí)間去死記硬背。數(shù)學(xué)中常用的“類(lèi)比”和“猜想”結(jié)合法就是如此。例如：一個(gè)多邊形有幾條對(duì)角線(xiàn)、過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有幾條對(duì)角線(xiàn)等等都可以這樣去解決。通過(guò)“操作”和“猜想”的一種雙向過(guò)程，讓學(xué)生在“操作”過(guò)程中建立起“猜想”，由“猜想”指引著“操作”，兩者相輔相成，逐步激起“歸納”與“總結(jié)”的欲望，實(shí)現(xiàn)從“特殊”到“一般”，快捷地“歸納”出更完美更具代表性的結(jié)論。相信這定是我們每個(gè)學(xué)生“夢(mèng)寐以求”的事情。

3.通過(guò)備選答案和積累的經(jīng)驗(yàn)“引導(dǎo)”“猜想”

我們有時(shí)也可以通過(guò)估算法或者末尾計(jì)算法來(lái)快速“猜想”我們想要的結(jié)果。這種方法通常在選擇題中很常見(jiàn)。

總之，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)應(yīng)用到一些策略和方法來(lái)解決問(wèn)題，解決問(wèn)題時(shí)更要善于、合理采用“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)論的學(xué)習(xí)方法，注重精準(zhǔn)創(chuàng)設(shè)“猜想”情境，大膽、合理進(jìn)行“猜想”，充分展現(xiàn)和感受“猜想”在數(shù)學(xué)中的作用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中以動(dòng)手操作為基礎(chǔ)，以體驗(yàn)樂(lè)趣為動(dòng)力，以“猜想”為翅膀，讓他們?cè)谡n堂上“動(dòng)”起來(lái)，自由地操作、思考、討論、交流；讓他們?cè)谡n堂上勇于表現(xiàn)，發(fā)展個(gè)性，展現(xiàn)自我，讓他們都能以“主體”的身份最大程度地參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，實(shí)現(xiàn)自我，超越自我。我想：這是符合我們新課程改革的，也是我們數(shù)學(xué)教育的初衷[3]。

有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，作為學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者的教師同樣應(yīng)在“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)論的學(xué)習(xí)方法合理引領(lǐng)下，要和學(xué)生一起共同科學(xué)地、巧妙地、理性地利用起來(lái)“猜想”這一方法，教會(huì)他們主動(dòng)的認(rèn)真聽(tīng)講，獨(dú)立思考，自主探索。還應(yīng)在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難和引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情景中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題上多下功夫，促進(jìn)他們理解和掌握一些基本知識(shí)和基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，獲得經(jīng)驗(yàn)，形成積極的、正確的價(jià)值觀(guān)。在課堂教學(xué)與緊密聯(lián)系的生活實(shí)踐中互相學(xué)習(xí)，共同探索、共同進(jìn)步。力爭(zhēng)把“過(guò)一種幸福完整的教育生活”真真切切落實(shí)到每一個(gè)教育者和受教育者當(dāng)中，讓我們的學(xué)生和老師一起伴隨著“猜想”，真正“自主”、“快樂(lè)”地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，“創(chuàng)造數(shù)學(xué)”，在享受“猜想”帶給我們樂(lè)趣和多元化的同時(shí)去愛(ài)上數(shù)學(xué)！