尤長(zhǎng)盤

【摘 ?要】 “數(shù)形結(jié)合”思想是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的解題思想，在求解代數(shù)問(wèn)題時(shí)，借助圖形的生動(dòng)性和直觀性，來(lái)表明數(shù)之間的聯(lián)系.一方面可以簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，另一方面對(duì)問(wèn)題有更全面直觀的把握.根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)判定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是“數(shù)形結(jié)合”思想的一個(gè)重要運(yùn)用，在計(jì)算零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，結(jié)合圖象可以使得思維更嚴(yán)密，分析更充分，避免錯(cuò)算、漏算.本文列舉兩道運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想來(lái)判定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的例題，詳述這種問(wèn)題的解題思路，并對(duì)解題核心點(diǎn)做出歸納總結(jié)，破解其思維過(guò)程.希望可以幫助學(xué)生在遇到判定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)提高解題效率和正確率.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)零點(diǎn)

在歷年的高考數(shù)學(xué)中，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的考查幾乎是一個(gè)必考問(wèn)題，每年都會(huì)出現(xiàn)在一些省份的考卷之中.這一知識(shí)點(diǎn)主要考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)基本概念的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，要求學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法有較深的掌握.

例題已知函數(shù)，根據(jù)的不同取值，請(qǐng)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：

（1）若，請(qǐng)問(wèn)有幾個(gè)零點(diǎn)？

（2）若，請(qǐng)問(wèn)有幾個(gè)零點(diǎn)？

（3）若，請(qǐng)問(wèn)有幾個(gè)零點(diǎn)？

分析這是一道典型的運(yùn)用圖象法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，的圖象難以直接畫出，令，利用拆分的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).因此這道題的解答需要先將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，而且恰好這兩個(gè)函數(shù)的圖象容易畫出，根據(jù)（即），從而通過(guò)函數(shù)和函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來(lái)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解 ?令函數(shù)，

可得，

設(shè)，

根據(jù)圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)知：函數(shù)得零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，則有

畫出函數(shù)和的圖象，如圖1所示

函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象存在相切的情況，因此可分為3種情況.

設(shè)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象相切

①當(dāng)時(shí)，如圖2所示，與的圖象，有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，如圖3所示，函數(shù)的圖象與的圖象相切，此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，如圖4所示，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為1個(gè)、2個(gè)，或3個(gè).

（3）若，由于函數(shù)的圖象與軸無(wú)限接近但不相交，因此函數(shù)與函數(shù)的圖象存在相切與相交的情況，但不存在相離的情況，因此可分為2種情況.

設(shè)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象相切.

①當(dāng)時(shí)，如圖5所示，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)，如圖6所示，函數(shù)與的圖象相切，此時(shí)圖象與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，如圖7所示，與的圖象相離，沒有個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)沒有零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0個(gè)、1個(gè)、或2個(gè).

結(jié)語(yǔ)

求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中典型的代數(shù)和幾何相結(jié)合的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想滲透其中.在解決這類問(wèn)題時(shí)，要抓住三個(gè)等價(jià)關(guān)系，即：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根等價(jià)關(guān)系，方程的根與函數(shù)與圖象交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)換，畫出圖象，簡(jiǎn)便快捷的求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一目了然而且大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.