感知數(shù)學(xué)本質(zhì) 生成直觀想象素養(yǎng)

劉孝成 汪世敏

摘? 要：直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求的核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)是落實(shí)新時(shí)代“立德樹(shù)人”核心教育方針的有效措施。文章以“利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題”為例進(jìn)行教學(xué)分析和教學(xué)設(shè)計(jì)，詳細(xì)闡述學(xué)生在直觀想象素養(yǎng)生成過(guò)程中遇到的瓶頸問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終達(dá)到思維提質(zhì)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；直觀想象；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)本質(zhì)

相交關(guān)系是初等數(shù)學(xué)研究中的一種重要的位置關(guān)系，其帶給研究者的思維沖擊構(gòu)筑了一系列的知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)在人教高中數(shù)學(xué)A版必修一第三章已經(jīng)給出了明確定義，其幾何本質(zhì)是一種相交關(guān)系。本研究選取人教A版選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的習(xí)題進(jìn)行教學(xué)分析和教學(xué)設(shè)計(jì)，立意在相交關(guān)系這種幾何本質(zhì)的體現(xiàn)，探求直觀想象素養(yǎng)生成的著力點(diǎn)。

一、教學(xué)內(nèi)容解析

（一）知識(shí)分析

本節(jié)課內(nèi)容上應(yīng)從學(xué)生熟悉的超越函數(shù)入手，變換視角分析，形成利用導(dǎo)數(shù)工具有效解決一元函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法。課程定位為思維品質(zhì)和解題能力提升課，圍繞“導(dǎo)數(shù)工具性”不斷提出問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、產(chǎn)生疑問(wèn)，從不同角度尋求問(wèn)題的解決，讓學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的極值、最值等問(wèn)題后再去解決，整個(gè)過(guò)程應(yīng)注重學(xué)生的自主探究和思想方法的滲透，增強(qiáng)了研究意識(shí)，并對(duì)分類討論、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想有了進(jìn)一步的體會(huì)。

（二）數(shù)學(xué)思想和方法分析

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)、形、式三位一體的集中體現(xiàn)，是函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解、圖象的交點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，其中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

（三）知識(shí)體系分析

學(xué)生具備知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，如圖1。

（四）價(jià)值分析

通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)零點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性研究的思維轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)課堂不能只有抽象層面的代數(shù)推理，直觀想象在學(xué)科研究中是形成論證思路和數(shù)學(xué)推理的思維基礎(chǔ)，這正是本設(shè)計(jì)的學(xué)科價(jià)值之所在。本設(shè)計(jì)的教育價(jià)值在于運(yùn)用觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，主動(dòng)思考現(xiàn)象，尋求解決新情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，感悟情境問(wèn)題中數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。

（五）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：感悟函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，厘清函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)邏輯，準(zhǔn)確使用導(dǎo)數(shù)工具。

難點(diǎn)：構(gòu)建合適的思路解決零點(diǎn)問(wèn)題，認(rèn)清零點(diǎn)、方程的解、相交關(guān)系互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（六）目標(biāo)分析

1. 多角度探究零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化出的相交關(guān)系，感知利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)，形成知識(shí)的高通路遷移。

2. 對(duì)比各種轉(zhuǎn)化出的相交關(guān)系，厘清零點(diǎn)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化的方式，體會(huì)數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化）帶來(lái)的樂(lè)趣，提升關(guān)鍵思維品質(zhì)。

3. 感受直觀圖形帶來(lái)的美學(xué)特征，在圖形的變化中培養(yǎng)學(xué)生捕捉信息的能力，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和準(zhǔn)確的表述，提升學(xué)科綜合素養(yǎng)。

二、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

（一）回顧知識(shí)，筑牢零點(diǎn)問(wèn)題基礎(chǔ)

問(wèn)題一：什么是零點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】 學(xué)生對(duì)知識(shí)要達(dá)到有深度的遷移和轉(zhuǎn)化，必須站在更高的角度對(duì)現(xiàn)有概念和定義有一定的理解，不能停留在表面。函數(shù)的零點(diǎn)本質(zhì)是思維的轉(zhuǎn)化，是相交關(guān)系的代數(shù)展現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)有利于認(rèn)清研究問(wèn)題的本質(zhì)：（1）不管哪類零點(diǎn)最終落腳到兩圖像的相交；（2）零點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化。在教學(xué)中應(yīng)大膽讓學(xué)生總結(jié)這種相交關(guān)系的常見(jiàn)形式（孤立零點(diǎn)、端點(diǎn)零點(diǎn)、極值零點(diǎn)、尖點(diǎn)零點(diǎn)和變號(hào)零點(diǎn)），感悟零點(diǎn)問(wèn)題處理策略：（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）數(shù)形結(jié)合思想。

【教學(xué)預(yù)設(shè)】 在必修一第三章對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)給出了明確的定義：對(duì)函數(shù)y=f（x）（x∈D），使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點(diǎn)。零點(diǎn)理解：方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根x=x0?函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)。（相當(dāng)于兩曲線相交交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）所以零點(diǎn)不是點(diǎn)是方程的根或者是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，本質(zhì)上零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)。

（二）探究問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)

問(wèn)題二：求方程f（x）=lnx-x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

【設(shè)計(jì)意圖】 學(xué)生轉(zhuǎn)化為方程lnx-x+1的解，易通過(guò)觀察得出方程的解是x=1，x=1是函數(shù)f（x）=lnx-x+1的一個(gè)零點(diǎn)，但對(duì)是否只有一個(gè)零點(diǎn)，部分學(xué)生是無(wú)法直接回答的，大多數(shù)學(xué)生知道還需研究函數(shù)的性質(zhì)，問(wèn)題的設(shè)計(jì)具有可開(kāi)發(fā)性，起到拋磚引玉的目的。

【教學(xué)預(yù)設(shè)】 本題還需探求函數(shù)f（x）=lnx-x+1的單調(diào)性。

f′（x）=當(dāng)x∈（0，1），f（x）>0，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞），f′（x）<0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減。其發(fā)展趨勢(shì)如圖2：而f（1）=0，所以此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)x=1，x=1是函數(shù)y=f（x）的極大值點(diǎn)，f（x）在x=1處取得極大值。

（三）逆向設(shè)問(wèn)，升華思維品質(zhì)

研究了函數(shù)f（x）=lnx-x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)后，下面做逆向思維引入?yún)?shù)a。

問(wèn)題三：若函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是什么。（學(xué)生自己嘗試解題）

【設(shè)計(jì)意圖】 逆向構(gòu)造新問(wèn)題情境是教學(xué)設(shè)問(wèn)的常用方式，可以有效拓展學(xué)生思考問(wèn)題和研究解決的方式，面對(duì)新問(wèn)題情境的處理思路和方法是教學(xué)指揮棒高考的要求和導(dǎo)向，在總時(shí)間有限的情況下，不同學(xué)生選擇的方式不一樣其解決問(wèn)題所耗費(fèi)的時(shí)間和取得的效果也是不一樣的。本問(wèn)題的設(shè)置具有一定的開(kāi)放性，也是本課的教學(xué)主體，應(yīng)充分考慮學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，時(shí)間上可以適當(dāng)延長(zhǎng)，目的是留夠足夠的思考時(shí)間，力求讓學(xué)生感受到零點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)。（以下預(yù)設(shè)解答角度）

角度二：將函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R）有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為lnx=ax-1方程有兩個(gè)實(shí)根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx和過(guò)定點(diǎn)的直線系y=ax-1有兩個(gè)交點(diǎn)，作出圖像如圖5。

三、教學(xué)思考

（一）情境設(shè)置的合理性

熟悉情境、關(guān)聯(lián)情境和綜合情境是數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)呈現(xiàn)方式，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究一般遵循從熟悉情境入手，探入關(guān)聯(lián)情境思考，深入綜合情境。不同學(xué)齡段、不同認(rèn)知深度的學(xué)生對(duì)情境的理解層次是有差異的，在設(shè)計(jì)直觀想象情境時(shí)，應(yīng)充分考慮這種差異，面對(duì)不同教學(xué)對(duì)象、不同學(xué)歷階段時(shí)應(yīng)采用多樣化的情境設(shè)計(jì)，做到適合學(xué)情。

（二）問(wèn)題設(shè)置的開(kāi)放性

傳統(tǒng)教學(xué)中的問(wèn)題設(shè)置，答案往往是單一的，存在問(wèn)什么就答什么的教學(xué)現(xiàn)象，提問(wèn)也比較單一；教師就題講題，沒(méi)有深入去挖掘問(wèn)題的來(lái)源、本質(zhì)、去向等相關(guān)知識(shí)，在這種模式下學(xué)生的思維被禁錮。數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程是教師應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題，直觀想象為這個(gè)過(guò)程搭建了一個(gè)良好的平臺(tái)，教學(xué)設(shè)置問(wèn)題的開(kāi)放性體現(xiàn)在：（1）引入問(wèn)題的多樣性。可以采用順勢(shì)引入、逆向引入、生活情境引入等多樣引入方式。（2）答案的豐富性。問(wèn)題的提出應(yīng)充分考慮不同學(xué)生對(duì)問(wèn)題的不同切入點(diǎn)，其獲得答案或結(jié)果所耗的時(shí)間和精力也不相同，這樣才能使不同學(xué)生得到不同的發(fā)展。

（三）素養(yǎng)生成的關(guān)聯(lián)性

直觀想象是“看”出來(lái)的，由于問(wèn)題的綜合性和復(fù)雜性，“看”已不再是單一的直接觀察而是多個(gè)素養(yǎng)作用下的合力表象，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是考查直觀想象素養(yǎng)的題目中不光有直觀想象素養(yǎng)。以本研究中設(shè)計(jì)題目來(lái)說(shuō)，研究函數(shù)f（x）=lnx-x+1的單調(diào)性需要數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為相交關(guān)系需要邏輯推理素養(yǎng)，計(jì)算出參數(shù)的值需要數(shù)學(xué)分析素養(yǎng)。在大概念的教學(xué)理念下，關(guān)注素養(yǎng)生成的關(guān)聯(lián)性，不只局限于學(xué)科本身，跨學(xué)科的知識(shí)遷移對(duì)綜合素養(yǎng)的提升也有較大的促進(jìn)作用。

（四）拓展練習(xí)的針對(duì)性

基于圖形直觀解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是直觀想象素養(yǎng)的核心，而圖形關(guān)系琳瑯滿目，因此在對(duì)應(yīng)圖形關(guān)系的研究后，拓展練習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和開(kāi)放性思維方式進(jìn)行有針對(duì)性的練習(xí)設(shè)計(jì)。這種針對(duì)性體現(xiàn)在兩方面，一是興于形、立于思、成于新是直觀想象課后習(xí)題設(shè)計(jì)的原則；二是適度遷移，學(xué)生知識(shí)體系的完整性是無(wú)法和教師進(jìn)行對(duì)比的，因此設(shè)計(jì)的練習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的原則，不能過(guò)度遷移。

高中生正處在素養(yǎng)和能力發(fā)展的黃金期，大部分學(xué)生能夠理清自己解決問(wèn)題的思路，對(duì)抽象性的幾何問(wèn)題，繪圖、利用圖象分析、借助圖象解決問(wèn)題、動(dòng)態(tài)捕捉關(guān)鍵信息都有一定基本功，如果能夠在問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象概括方面提升自己，教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生自我總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)，形成高通路的知識(shí)遷移，這樣直觀想象素養(yǎng)就能得到長(zhǎng)久的發(fā)展。

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（責(zé)任編輯：鄒宇銘）