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      感知數(shù)學(xué)本質(zhì) 生成直觀想象素養(yǎng)

      2023-10-17 04:48:07劉孝成汪世敏
      課堂內(nèi)外·高中教研 2023年8期
      關(guān)鍵詞:直觀想象數(shù)學(xué)本質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)

      劉孝成 汪世敏

      摘? 要:直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》要求的核心素養(yǎng)之一,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)是落實(shí)新時(shí)代“立德樹(shù)人”核心教育方針的有效措施。文章以“利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題”為例進(jìn)行教學(xué)分析和教學(xué)設(shè)計(jì),詳細(xì)闡述學(xué)生在直觀想象素養(yǎng)生成過(guò)程中遇到的瓶頸問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)本質(zhì),最終達(dá)到思維提質(zhì)。

      關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);直觀想象;數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)本質(zhì)

      相交關(guān)系是初等數(shù)學(xué)研究中的一種重要的位置關(guān)系,其帶給研究者的思維沖擊構(gòu)筑了一系列的知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn),函數(shù)的零點(diǎn)在人教高中數(shù)學(xué)A版必修一第三章已經(jīng)給出了明確定義,其幾何本質(zhì)是一種相交關(guān)系。本研究選取人教A版選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的習(xí)題進(jìn)行教學(xué)分析和教學(xué)設(shè)計(jì),立意在相交關(guān)系這種幾何本質(zhì)的體現(xiàn),探求直觀想象素養(yǎng)生成的著力點(diǎn)。

      一、教學(xué)內(nèi)容解析

      (一)知識(shí)分析

      本節(jié)課內(nèi)容上應(yīng)從學(xué)生熟悉的超越函數(shù)入手,變換視角分析,形成利用導(dǎo)數(shù)工具有效解決一元函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法。課程定位為思維品質(zhì)和解題能力提升課,圍繞“導(dǎo)數(shù)工具性”不斷提出問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、產(chǎn)生疑問(wèn),從不同角度尋求問(wèn)題的解決,讓學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的極值、最值等問(wèn)題后再去解決,整個(gè)過(guò)程應(yīng)注重學(xué)生的自主探究和思想方法的滲透,增強(qiáng)了研究意識(shí),并對(duì)分類討論、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想有了進(jìn)一步的體會(huì)。

      (二)數(shù)學(xué)思想和方法分析

      函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)、形、式三位一體的集中體現(xiàn),是函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解、圖象的交點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程,其中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

      (三)知識(shí)體系分析

      學(xué)生具備知識(shí)網(wǎng)絡(luò),如圖1。

      (四)價(jià)值分析

      通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)零點(diǎn),實(shí)現(xiàn)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性研究的思維轉(zhuǎn)化,數(shù)學(xué)課堂不能只有抽象層面的代數(shù)推理,直觀想象在學(xué)科研究中是形成論證思路和數(shù)學(xué)推理的思維基礎(chǔ),這正是本設(shè)計(jì)的學(xué)科價(jià)值之所在。本設(shè)計(jì)的教育價(jià)值在于運(yùn)用觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象,主動(dòng)思考現(xiàn)象,尋求解決新情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題,感悟情境問(wèn)題中數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。

      (五)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

      重點(diǎn):感悟函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,厘清函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)邏輯,準(zhǔn)確使用導(dǎo)數(shù)工具。

      難點(diǎn):構(gòu)建合適的思路解決零點(diǎn)問(wèn)題,認(rèn)清零點(diǎn)、方程的解、相交關(guān)系互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

      (六)目標(biāo)分析

      1. 多角度探究零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化出的相交關(guān)系,感知利用導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì),形成知識(shí)的高通路遷移。

      2. 對(duì)比各種轉(zhuǎn)化出的相交關(guān)系,厘清零點(diǎn)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化的方式,體會(huì)數(shù)學(xué)思想(數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化)帶來(lái)的樂(lè)趣,提升關(guān)鍵思維品質(zhì)。

      3. 感受直觀圖形帶來(lái)的美學(xué)特征,在圖形的變化中培養(yǎng)學(xué)生捕捉信息的能力,通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和準(zhǔn)確的表述,提升學(xué)科綜合素養(yǎng)。

      二、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

      (一)回顧知識(shí),筑牢零點(diǎn)問(wèn)題基礎(chǔ)

      問(wèn)題一:什么是零點(diǎn)?

      【設(shè)計(jì)意圖】 學(xué)生對(duì)知識(shí)要達(dá)到有深度的遷移和轉(zhuǎn)化,必須站在更高的角度對(duì)現(xiàn)有概念和定義有一定的理解,不能停留在表面。函數(shù)的零點(diǎn)本質(zhì)是思維的轉(zhuǎn)化,是相交關(guān)系的代數(shù)展現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)有利于認(rèn)清研究問(wèn)題的本質(zhì):(1)不管哪類零點(diǎn)最終落腳到兩圖像的相交;(2)零點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化。在教學(xué)中應(yīng)大膽讓學(xué)生總結(jié)這種相交關(guān)系的常見(jiàn)形式(孤立零點(diǎn)、端點(diǎn)零點(diǎn)、極值零點(diǎn)、尖點(diǎn)零點(diǎn)和變號(hào)零點(diǎn)),感悟零點(diǎn)問(wèn)題處理策略:(1)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;(2)數(shù)形結(jié)合思想。

      【教學(xué)預(yù)設(shè)】 在必修一第三章對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)給出了明確的定義:對(duì)函數(shù)y=f(x)(x∈D),使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn)。零點(diǎn)理解:方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根x=x0?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)。(相當(dāng)于兩曲線相交交點(diǎn)的橫坐標(biāo))所以零點(diǎn)不是點(diǎn)是方程的根或者是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),本質(zhì)上零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)。

      (二)探究問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)

      問(wèn)題二:求方程f(x)=lnx-x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?

      【設(shè)計(jì)意圖】 學(xué)生轉(zhuǎn)化為方程lnx-x+1的解,易通過(guò)觀察得出方程的解是x=1,x=1是函數(shù)f(x)=lnx-x+1的一個(gè)零點(diǎn),但對(duì)是否只有一個(gè)零點(diǎn),部分學(xué)生是無(wú)法直接回答的,大多數(shù)學(xué)生知道還需研究函數(shù)的性質(zhì),問(wèn)題的設(shè)計(jì)具有可開(kāi)發(fā)性,起到拋磚引玉的目的。

      【教學(xué)預(yù)設(shè)】 本題還需探求函數(shù)f(x)=lnx-x+1的單調(diào)性。

      f′(x)=當(dāng)x∈(0,1),f(x)>0,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減。其發(fā)展趨勢(shì)如圖2:而f(1)=0,所以此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)x=1,x=1是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(x)在x=1處取得極大值。

      (三)逆向設(shè)問(wèn),升華思維品質(zhì)

      研究了函數(shù)f(x)=lnx-x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)后,下面做逆向思維引入?yún)?shù)a。

      問(wèn)題三:若函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是什么。(學(xué)生自己嘗試解題)

      【設(shè)計(jì)意圖】 逆向構(gòu)造新問(wèn)題情境是教學(xué)設(shè)問(wèn)的常用方式,可以有效拓展學(xué)生思考問(wèn)題和研究解決的方式,面對(duì)新問(wèn)題情境的處理思路和方法是教學(xué)指揮棒高考的要求和導(dǎo)向,在總時(shí)間有限的情況下,不同學(xué)生選擇的方式不一樣其解決問(wèn)題所耗費(fèi)的時(shí)間和取得的效果也是不一樣的。本問(wèn)題的設(shè)置具有一定的開(kāi)放性,也是本課的教學(xué)主體,應(yīng)充分考慮學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn),時(shí)間上可以適當(dāng)延長(zhǎng),目的是留夠足夠的思考時(shí)間,力求讓學(xué)生感受到零點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)。(以下預(yù)設(shè)解答角度)

      角度二:將函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為lnx=ax-1方程有兩個(gè)實(shí)根,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx和過(guò)定點(diǎn)的直線系y=ax-1有兩個(gè)交點(diǎn),作出圖像如圖5。

      三、教學(xué)思考

      (一)情境設(shè)置的合理性

      熟悉情境、關(guān)聯(lián)情境和綜合情境是數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)呈現(xiàn)方式,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究一般遵循從熟悉情境入手,探入關(guān)聯(lián)情境思考,深入綜合情境。不同學(xué)齡段、不同認(rèn)知深度的學(xué)生對(duì)情境的理解層次是有差異的,在設(shè)計(jì)直觀想象情境時(shí),應(yīng)充分考慮這種差異,面對(duì)不同教學(xué)對(duì)象、不同學(xué)歷階段時(shí)應(yīng)采用多樣化的情境設(shè)計(jì),做到適合學(xué)情。

      (二)問(wèn)題設(shè)置的開(kāi)放性

      傳統(tǒng)教學(xué)中的問(wèn)題設(shè)置,答案往往是單一的,存在問(wèn)什么就答什么的教學(xué)現(xiàn)象,提問(wèn)也比較單一;教師就題講題,沒(méi)有深入去挖掘問(wèn)題的來(lái)源、本質(zhì)、去向等相關(guān)知識(shí),在這種模式下學(xué)生的思維被禁錮。數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程是教師應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題,直觀想象為這個(gè)過(guò)程搭建了一個(gè)良好的平臺(tái),教學(xué)設(shè)置問(wèn)題的開(kāi)放性體現(xiàn)在:(1)引入問(wèn)題的多樣性。可以采用順勢(shì)引入、逆向引入、生活情境引入等多樣引入方式。(2)答案的豐富性。問(wèn)題的提出應(yīng)充分考慮不同學(xué)生對(duì)問(wèn)題的不同切入點(diǎn),其獲得答案或結(jié)果所耗的時(shí)間和精力也不相同,這樣才能使不同學(xué)生得到不同的發(fā)展。

      (三)素養(yǎng)生成的關(guān)聯(lián)性

      直觀想象是“看”出來(lái)的,由于問(wèn)題的綜合性和復(fù)雜性,“看”已不再是單一的直接觀察而是多個(gè)素養(yǎng)作用下的合力表象,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是考查直觀想象素養(yǎng)的題目中不光有直觀想象素養(yǎng)。以本研究中設(shè)計(jì)題目來(lái)說(shuō),研究函數(shù)f(x)=lnx-x+1的單調(diào)性需要數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為相交關(guān)系需要邏輯推理素養(yǎng),計(jì)算出參數(shù)的值需要數(shù)學(xué)分析素養(yǎng)。在大概念的教學(xué)理念下,關(guān)注素養(yǎng)生成的關(guān)聯(lián)性,不只局限于學(xué)科本身,跨學(xué)科的知識(shí)遷移對(duì)綜合素養(yǎng)的提升也有較大的促進(jìn)作用。

      (四)拓展練習(xí)的針對(duì)性

      基于圖形直觀解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是直觀想象素養(yǎng)的核心,而圖形關(guān)系琳瑯滿目,因此在對(duì)應(yīng)圖形關(guān)系的研究后,拓展練習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和開(kāi)放性思維方式進(jìn)行有針對(duì)性的練習(xí)設(shè)計(jì)。這種針對(duì)性體現(xiàn)在兩方面,一是興于形、立于思、成于新是直觀想象課后習(xí)題設(shè)計(jì)的原則;二是適度遷移,學(xué)生知識(shí)體系的完整性是無(wú)法和教師進(jìn)行對(duì)比的,因此設(shè)計(jì)的練習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的原則,不能過(guò)度遷移。

      高中生正處在素養(yǎng)和能力發(fā)展的黃金期,大部分學(xué)生能夠理清自己解決問(wèn)題的思路,對(duì)抽象性的幾何問(wèn)題,繪圖、利用圖象分析、借助圖象解決問(wèn)題、動(dòng)態(tài)捕捉關(guān)鍵信息都有一定基本功,如果能夠在問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象概括方面提升自己,教師適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生自我總結(jié),發(fā)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì),形成高通路的知識(shí)遷移,這樣直觀想象素養(yǎng)就能得到長(zhǎng)久的發(fā)展。

      參考文獻(xiàn):

      [1]人民教育出版社. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(選修2-2)[M]. 北京:人民教育出版社,2007.

      [2]吳天添. 高中數(shù)學(xué)開(kāi)放性課堂教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2017(15):56-57.

      [3]王娟. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境[J]. 中國(guó)校外教育,2017(05):61.

      (責(zé)任編輯:鄒宇銘)

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