高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的有效方法研究

傅麗芳

摘? 要：當(dāng)今社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)人才的需求與日俱增。與此同時(shí)，學(xué)生的素質(zhì)教育日益成為關(guān)注的焦點(diǎn)。在新課程改革進(jìn)程中，向量法被廣泛地運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)課程。向量是一種介于幾何與代數(shù)之間的重要載體，它既包括長(zhǎng)度又包括方向，在解決高中幾何問(wèn)題時(shí)起到了很大的作用。另外，利用向量能簡(jiǎn)化高中數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)點(diǎn)。因此，將向量法引入高中數(shù)學(xué)課堂，不僅可以幫助學(xué)生提高計(jì)算能力，還可以幫助學(xué)生更好地掌握和理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)。文章通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)向量的研究和討論，對(duì)高中數(shù)學(xué)向量的應(yīng)用價(jià)值和意義進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；向量教學(xué)；教學(xué)方法

向量論是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，具有集數(shù)與形于一體的特點(diǎn)，既是一個(gè)代數(shù)的對(duì)象，又是一個(gè)幾何的客體，它是把代數(shù)與幾何聯(lián)系起來(lái)的橋梁。向量法不僅具有深厚的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，而且具有深厚的物理背景，是人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的基礎(chǔ)，對(duì)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有十分重要的意義。向量法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，為解決傳統(tǒng)的平面、立體幾何問(wèn)題提供了新的思路，是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)新方向。因此，本研究旨在探討高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)中存在的問(wèn)題與對(duì)策，以期能持續(xù)提高高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的成效。

一、向量的基本概念

向量法引進(jìn)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)課程中，盡管才短短二十多年時(shí)間，但向量教學(xué)法早已成為高中數(shù)學(xué)的主要教學(xué)組成部分。對(duì)向量法的基本認(rèn)知和掌握，包括：1. 向量是高中數(shù)學(xué)的主要應(yīng)用模式，是建立數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)；2. 向量法是高中代數(shù)與幾何學(xué)之間的重要橋梁。

在高中數(shù)學(xué)中，向量有高度的概念，并能夠用向量準(zhǔn)確地描述物體的位置，而物體的外形和位移屬于幾何學(xué)內(nèi)容，所以向量也能夠與幾何內(nèi)容結(jié)合起來(lái)。另外，由于向量有方向性概念，既能準(zhǔn)確地描述出物體垂直和平面的位移，又能實(shí)現(xiàn)和代數(shù)內(nèi)容一致的四則運(yùn)算，所以向量法也能夠與代數(shù)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)。

高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，其中最關(guān)鍵的就是創(chuàng)造力。所以教師進(jìn)行教學(xué)時(shí)，一定要逐步夯實(shí)學(xué)生思維能力，形成學(xué)生自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣學(xué)生才能在回答問(wèn)題時(shí)不會(huì)手忙腳亂。在向量的課程中，教師可以讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主學(xué)習(xí)，加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí)。在講解向量問(wèn)題時(shí)，注意讓學(xué)生多思考，做到一題多解，從而提高他們的發(fā)散式思維。

二、高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的重要性

（一）構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)

向量是一類同時(shí)具有大小和方向的量，它具有幾何學(xué)和代數(shù)上的雙重特征，使其在高中數(shù)學(xué)中處于很重要的地位，如三角函數(shù)、立體等幾何模型、函數(shù)等知識(shí)有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系?？梢酝ㄟ^(guò)向量的計(jì)算方法，得出由不同平面線之間所產(chǎn)生的夾角、直線與平面的夾角、二面角、點(diǎn)與平面之間的距離，或者通過(guò)向量的計(jì)算方法來(lái)說(shuō)明兩條線水平、兩線垂直等。復(fù)數(shù)也是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，利用向量和復(fù)數(shù)相結(jié)合，可以使學(xué)生較形象地掌握復(fù)數(shù)的定義。同時(shí)利用三角函數(shù)的定義與平面向量的乘積，也能夠比較有效地推導(dǎo)二角差余弦的計(jì)算公式。通過(guò)對(duì)向量空間和其他知識(shí)點(diǎn)的相互關(guān)聯(lián)的剖析，可以使學(xué)生更好地了解高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，使他們更好地厘清數(shù)學(xué)各部分的關(guān)系，從而為許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解開(kāi)辟了新的途徑。

（二）培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)

數(shù)形結(jié)合思維是解決問(wèn)題和抽象問(wèn)題的一種行之有效的方法。向量是一個(gè)具有大小和方向的量，它同時(shí)包含了數(shù)和形，所以學(xué)習(xí)好向量可以幫助學(xué)生形成數(shù)和形之間的聯(lián)系。要培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形思維，將復(fù)雜的代數(shù)操作轉(zhuǎn)化為一幅簡(jiǎn)單的繪圖，并能讓學(xué)生更加清楚地理解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、極大值、最小值等概念。向量是解決幾何問(wèn)題的一種代數(shù)方法，尤其是解決由兩面角、異面直線所形成的角等問(wèn)題。通過(guò)學(xué)習(xí)向量，學(xué)生更加深入地了解代數(shù)與幾何的關(guān)系，他們能夠更好地將代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而更加靈活地解決問(wèn)題，克服對(duì)數(shù)學(xué)的厭煩，更加主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

（三）增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、直覺(jué)思考、數(shù)學(xué)操作等。向量的定義是由物理上的壓力、位移等因素形成的概念，涉及單位向量、共線向量、平面向量、零向量等，但向量的運(yùn)算和實(shí)際的運(yùn)算一樣，都是一個(gè)很抽象的范疇。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，只要掌握了這些知識(shí)，他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)得到極大的提升。向量是一個(gè)集合了數(shù)字和形狀的集合體，可以讓學(xué)生在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，用它來(lái)求解其他的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而提高他們的數(shù)學(xué)能力。此外，向量有一套完整的計(jì)算系統(tǒng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)向量時(shí)也會(huì)進(jìn)行大量的運(yùn)算，這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力有幫助。

（四）強(qiáng)化學(xué)生的系統(tǒng)性思維

向量與其他學(xué)科有著密切的關(guān)系，包含了數(shù)學(xué)知識(shí)、物理學(xué)，能夠?qū)⒉煌膶W(xué)科有機(jī)地連接起來(lái)，這對(duì)各學(xué)科的發(fā)展都有著重大的影響。此外，向量知識(shí)作為一種數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅可以促進(jìn)學(xué)生的思維、理解力，還可以鍛煉學(xué)生的想象力，使他們能夠更好地解決問(wèn)題。通過(guò)有效的數(shù)學(xué)結(jié)合，可以使學(xué)生對(duì)幾何與代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行更深層次的轉(zhuǎn)化，從而有效地提高了學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量。

三、高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)存在的問(wèn)題

（一）基本概念理解不清

學(xué)習(xí)向量知識(shí)，最重要的是要掌握基礎(chǔ)的概念。一些學(xué)生對(duì)向量的基本概念認(rèn)識(shí)不夠透徹，這在一定程度上反映出教師在教學(xué)中對(duì)向量的基礎(chǔ)概念講解不到位，在講解時(shí)也僅僅是對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。這主要是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)考試中，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查很少，教師在課堂上也不注重基礎(chǔ)知識(shí)的傳授。學(xué)習(xí)向量的基本概念，是了解向量與實(shí)數(shù)之間差別的關(guān)鍵。比如，有些學(xué)生不能正確地理解向量的投影，認(rèn)為向量的投影依舊為向量，這顯然是不對(duì)的。雖然很多學(xué)生都認(rèn)識(shí)到向量具有一定的大小和方向的量，但在實(shí)踐中常常會(huì)忽略向量的本質(zhì)，也就是量與形的雙重身份，無(wú)法自覺(jué)地運(yùn)用向量法解決實(shí)際問(wèn)題。

（二）基本運(yùn)算掌握不牢

向量與實(shí)數(shù)同樣具有一套操作規(guī)則，但其操作規(guī)則與實(shí)際規(guī)則不同，其操作規(guī)則遵循三角定律。由于很多學(xué)生對(duì)向量的基本操作都不太熟悉，比如，不能很好地運(yùn)用共線向量定理，導(dǎo)致很多問(wèn)題都要用常規(guī)的幾何方法來(lái)解決。學(xué)生對(duì)向量基礎(chǔ)操作的理解不夠透徹，有兩個(gè)原因：一是因?yàn)閷?duì)基礎(chǔ)向量運(yùn)算的規(guī)則不熟悉，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)出錯(cuò)；二是對(duì)向量基礎(chǔ)操作的幾何含義缺乏把握，不了解基本運(yùn)算的幾何意義。由于很多學(xué)生不能很好地理解向量基礎(chǔ)操作的幾何含義，因而不能用向量的基礎(chǔ)操作來(lái)解決這些問(wèn)題，從而使向量在數(shù)學(xué)問(wèn)題上的應(yīng)用沒(méi)有得到很好的體現(xiàn)。

（三）應(yīng)用向量意識(shí)不強(qiáng)

從知識(shí)點(diǎn)的設(shè)置上來(lái)說(shuō)，向量是一門獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，在解決很多學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)起到了很大的作用，而向量知識(shí)又是學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)。從學(xué)生的日常生活中可以看出，學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)并不是很深，很多學(xué)生仍然沿用傳統(tǒng)的解題方式。學(xué)生的運(yùn)用向量意識(shí)不強(qiáng)，有兩個(gè)原因：一方面主要是對(duì)向量兼具的幾何與代數(shù)雙重身份不理解，在遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不懂得運(yùn)用向量法進(jìn)行解法，缺乏數(shù)、形的聯(lián)結(jié)意識(shí)；另一方面，教師與學(xué)生的交互作用不足，無(wú)法與學(xué)生進(jìn)行充分溝通與交流，無(wú)法讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)向量所具有的數(shù)形雙重特征。

（四）學(xué)習(xí)過(guò)程偏機(jī)械化

很多學(xué)生都覺(jué)得，向量的學(xué)習(xí)就是要了解概念，推導(dǎo)出公式，通過(guò)做題來(lái)鞏固向量的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生只是按照教師說(shuō)的去做，而非自己去思考和領(lǐng)悟向量。學(xué)生在向量學(xué)習(xí)中的“半機(jī)械化”表現(xiàn)為：一是學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較低，二是教師對(duì)學(xué)生的激勵(lì)不足，不能有效地將向量知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效整合，從而使向量成為一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，在解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，未能充分發(fā)揮出向量的作用。

四、高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)建議及策略

（一）加強(qiáng)向量概念教學(xué)

只有對(duì)向量的概念有了更加深入的理解，學(xué)生才能將向量知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中。由于學(xué)生對(duì)向量概念的認(rèn)識(shí)不夠透徹，因此，在向量教學(xué)中，教師要強(qiáng)化向量概念。通過(guò)強(qiáng)化向量概念的教學(xué)，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)向量的性質(zhì)，了解向量的數(shù)與形，從而能夠在問(wèn)題發(fā)生時(shí)，采取向量的方式來(lái)解決。向量的概念可能來(lái)源于物理中的力、位移、速度等，這些都是由對(duì)特定的物理量進(jìn)行抽象而得到的。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了傳授課本知識(shí)外，教師還應(yīng)充分融入相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史與文化。在向量教學(xué)中引入數(shù)學(xué)文化可以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣并持續(xù)提高。此外，教師應(yīng)注意規(guī)范書(shū)寫向量符號(hào)，使學(xué)生在書(shū)寫過(guò)程中能夠隨時(shí)辨別向量和數(shù)量。很多學(xué)生都犯了一個(gè)很大的錯(cuò)誤，那就是沒(méi)有用箭頭來(lái)寫向量，長(zhǎng)此以往，就會(huì)把向量和數(shù)量搞混，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解出錯(cuò)。因此，教師應(yīng)讓學(xué)生正確地書(shū)寫向量符號(hào)，以加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí)，從而嚴(yán)格區(qū)分向量和數(shù)量。

（二）強(qiáng)調(diào)向量的應(yīng)用價(jià)值

向量空間兼具幾何學(xué)與代數(shù)的雙重特征，在高中數(shù)學(xué)教育上也有很重大的意義，和三角函數(shù)、平面幾何學(xué)、立體幾何學(xué)、復(fù)數(shù)、方程等學(xué)科有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。以空間向量在立體幾何中的運(yùn)用為例，如果學(xué)生的空間想象力不強(qiáng)，他們?cè)谧隽Ⅲw幾何時(shí)會(huì)感到很困難，但若運(yùn)用向量的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)空間想象力不足的學(xué)生來(lái)說(shuō)，就能夠利用建立空間直角坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)難題來(lái)解決。如將垂直的角度向量與水平的法向量相等，就能夠表示為直線與平面面積相等。在課堂教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題，遇到問(wèn)題要從向量的觀點(diǎn)出發(fā)，充分發(fā)揮向量的作用體現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值。

（三）營(yíng)造師生互動(dòng)氛圍

在高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)中，教師和學(xué)生之間的交互作用是非常關(guān)鍵的，通過(guò)師生間的交互作用，可以加深學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)，從而更好地理解向量、認(rèn)識(shí)向量、主動(dòng)地接受向量，從而實(shí)現(xiàn)向量的高效利用。一方面，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師與學(xué)生之間的交互作用可以使課堂氣氛活躍，提高教學(xué)質(zhì)量；另一方面，教師與學(xué)生之間良好的交互作用也會(huì)加深學(xué)生對(duì)向量和數(shù)量差異的認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生意識(shí)到向量的重要性以及向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。

（四）重視滲透向量教學(xué)思想和方法

在數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，向量包含了許多概念，其中最典型的就是數(shù)與形的結(jié)合、對(duì)比歸納等。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在傳授學(xué)生用向量知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維與方法的理解與歸納，使他們能夠通過(guò)不斷重復(fù)的練習(xí)來(lái)建立自己的解題思維，進(jìn)而使他們能夠更好地應(yīng)用向量知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。在認(rèn)識(shí)和了解向量概念的過(guò)程中，要正確地理解和把握各個(gè)學(xué)科之間的關(guān)系，并適當(dāng)?shù)卣蠑?shù)學(xué)知識(shí)，使其互相滲透、協(xié)調(diào)，最后形成較為完備的知識(shí)庫(kù)，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的掌握。

（五）重視向量的運(yùn)算

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中使用向量工具相對(duì)而言更為方便，其主要在于向量本身有著簡(jiǎn)單的運(yùn)算規(guī)律，并借助向量圖形化的功能，使相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更為簡(jiǎn)單而易于掌握。不過(guò)，向量運(yùn)算相對(duì)計(jì)算來(lái)說(shuō)是有差異的，因此向量表達(dá)方式是特別的。所以，在運(yùn)用向量展開(kāi)課程中，可以通過(guò)對(duì)比的方法，使學(xué)生對(duì)向量的不同含義有一個(gè)整體的認(rèn)知和了解，不僅要幫助學(xué)生正確地掌握向量的計(jì)算規(guī)律，還要讓他們清楚地理解向量的運(yùn)算對(duì)象。一般學(xué)生多是采用死記硬背的方法來(lái)記住向量的計(jì)算原理與概念，而關(guān)于向量的計(jì)算原理則極少重視。所以，在高中數(shù)學(xué)課程上，教師應(yīng)注重讓學(xué)生通過(guò)反復(fù)地探究向量法的計(jì)算規(guī)律，讓學(xué)生對(duì)向量從抽象到具體的方法有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，從而讓學(xué)生可以應(yīng)用向量方法解決高中數(shù)學(xué)難題。

（六）加強(qiáng)對(duì)多媒體設(shè)備的應(yīng)用

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，教育領(lǐng)域的信息技術(shù)運(yùn)用也越來(lái)越廣泛。在高中數(shù)學(xué)向量學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師還可以利用多媒體手段對(duì)其進(jìn)行有效展示。比如，矢向量的尺寸、位置以及坐標(biāo)，就可以通過(guò)信息技術(shù)的運(yùn)用展現(xiàn)出來(lái)。在此過(guò)程中，多媒體可以播放動(dòng)態(tài)的影像，教師可以播放向量轉(zhuǎn)換和旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生從不同的角度去理解向量，在這種情況下，學(xué)生的空間思考能力也會(huì)得到極大的提升。

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