發(fā)展學(xué)生模型意識(shí)的三條路徑

尹力 郭修瑾

【摘 ? 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在小學(xué)階段提出了“模型意識(shí)”。模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。當(dāng)前學(xué)生的模型意識(shí)相對(duì)薄弱，對(duì)此，教師教學(xué)時(shí)可以從“感悟模型價(jià)值、經(jīng)歷建模過程、關(guān)聯(lián)新舊模型”入手，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】模型意識(shí)；數(shù)學(xué)模型；模型思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）在小學(xué)階段提出了“模型意識(shí)”。模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。當(dāng)前，學(xué)生的模型意識(shí)相對(duì)薄弱，如：沒有體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的價(jià)值；沒有經(jīng)歷建立模型的有序過程，缺少建模經(jīng)驗(yàn)；沒有比較、聯(lián)系新舊模型，沒有對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的模型進(jìn)行整合與優(yōu)化；等等。對(duì)此，教師教學(xué)時(shí)可以從“感悟模型價(jià)值、經(jīng)歷建模過程、關(guān)聯(lián)新舊模型”入手，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。

一、感悟模型價(jià)值

感悟模型價(jià)值是培養(yǎng)模型意識(shí)的基礎(chǔ)。如果只是著眼于建模與應(yīng)用，忽略對(duì)模型本身的反思與感悟，模型的價(jià)值得不到彰顯，那么模型意識(shí)的培養(yǎng)也就無從談起。引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，感悟其中蘊(yùn)藏的模型價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的起點(diǎn)。

（一）蘊(yùn)含一般化思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從具體到抽象、從特殊到一般的發(fā)展過程。一般化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)然趨勢(shì)，理解一般化思想與有意識(shí)地尋求一般化是學(xué)生具有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一。數(shù)學(xué)模型是對(duì)一類問題數(shù)量關(guān)系的抽象概括，蘊(yùn)含一般化思想。體會(huì)數(shù)學(xué)模型能解決一類問題，便是對(duì)數(shù)學(xué)一般化思想的感悟。

如擺三角形問題：如圖1所示，像這樣用小棒擺三角形，擺1個(gè)、2個(gè)、5個(gè)、ɑ個(gè)三角形分別需要多少根小棒？在解決這一問題時(shí)，學(xué)生起初通過數(shù)一數(shù)獲得小棒根數(shù)，但“ɑ個(gè)三角形”無法數(shù)出，故教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找數(shù)量關(guān)系，逐步建立三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)的數(shù)學(xué)模型（小棒根數(shù)＝2×ɑ個(gè)三角形+1）。隨后，教師要組織學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到每次數(shù)數(shù)很麻煩，利用三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決這類問題更加方便快捷。在學(xué)生形成這種體會(huì)的基礎(chǔ)上，教師再向?qū)W生指明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是尋找這種能解決問題的概念、性質(zhì)和規(guī)律的過程。這樣的教學(xué)能幫助學(xué)生理解模型的普適性，讓他們感悟一般化思想，認(rèn)識(shí)到模型的重要價(jià)值。

（二）節(jié)省思維空間

數(shù)學(xué)模型能啟發(fā)學(xué)生舍棄問題情境的無關(guān)因素，尋找解決問題的關(guān)鍵信息，這是數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化問題、節(jié)省思維空間的價(jià)值體現(xiàn)。

例如：甲、乙兩人同時(shí)從相距50千米的A、B兩地相向而行，甲每小時(shí)走3千米，乙每小時(shí)走2千米。甲還帶著一只狗，狗每小時(shí)跑5千米。這只狗同甲一起出發(fā)，碰到乙就掉頭往甲這邊跑，碰到甲再掉頭往乙這邊跑，如此重復(fù)，直到兩人相遇，問這只狗一共跑了多少千米？學(xué)生遇到這一問題會(huì)本能地想象運(yùn)動(dòng)畫面，并能通過畫圖的方式進(jìn)行分析。但很快就會(huì)被狗來回奔跑的情境弄糊涂，分不清狗的運(yùn)動(dòng)路線究竟是什么樣的。這是因?yàn)閷W(xué)生忽略了關(guān)系模型，局限于問題情境，從而導(dǎo)致思維復(fù)雜化。根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，學(xué)生已經(jīng)掌握了“速度×?xí)r間＝路程”的數(shù)學(xué)模型，基于此，教師可以引導(dǎo)他們尋找狗的“速度”與狗所用的“時(shí)間”，狗的速度已知，狗所用的時(shí)間就是甲、乙兩人相遇的時(shí)間，從而求出路程。教師要緊扣“速度×?xí)r間＝路程”這一模型，啟發(fā)學(xué)生尋找解決問題的關(guān)鍵條件（狗的速度不變，狗跑的時(shí)間是甲、乙兩人相遇的時(shí)間），明確思考方向，避免無關(guān)因素的干擾（狗來回跑，跑了很長(zhǎng)時(shí)間），從而促進(jìn)問題的解決。

二、經(jīng)歷建模過程

學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，一般會(huì)經(jīng)歷“提出問題—提煉模型—應(yīng)用模型”的認(rèn)知過程。學(xué)生先在適宜的生活情境中提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題；然后根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決問題，并逐步發(fā)展為用數(shù)學(xué)方法解決問題，提煉出數(shù)學(xué)模型；最后在不同情境中廣泛運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。學(xué)生經(jīng)歷建模過程，一方面有利于深度掌握模型，另一方面，積累的建模經(jīng)驗(yàn)?zāi)苓w移到其他數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)中，有利于培養(yǎng)尋找模型的自覺意識(shí)。

（一）提出問題：在生活情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題

提出問題是學(xué)生開展建模活動(dòng)的起始環(huán)節(jié)。有價(jià)值的問題能夠激活學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的興趣與愿望，也能推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行由此及彼、由淺入深的聯(lián)想和思考。

1.創(chuàng)設(shè)適宜的情境

適宜的情境有利于學(xué)生感受生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。例如：蓄水池有一根進(jìn)水管和一根出水管。單開進(jìn)水管，3分鐘能將空池蓄滿水；單開出水管，5分鐘能放完滿池的水。若兩根水管同時(shí)開放，多長(zhǎng)時(shí)間能將空池蓄滿水？這樣的情境對(duì)學(xué)生來說比較陌生，因?yàn)樗麄冸y以理解“兩根水管同時(shí)開放，多長(zhǎng)時(shí)間蓄滿水”的問題。如果把這個(gè)情境替換成商場(chǎng)地下停車場(chǎng)的汽車進(jìn)場(chǎng)與出場(chǎng)，就可以自然提出“停車場(chǎng)什么時(shí)候停滿車”這樣符合現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問題。

2.層層深入地提問

教師可以通過層層遞進(jìn)的問題，推動(dòng)學(xué)生的思考不斷逼近模型本質(zhì)。因此，在學(xué)生建立了一定認(rèn)識(shí)之后，教師應(yīng)一步步提出更深入的問題，啟發(fā)學(xué)生理解模型本質(zhì)，助力模型的提煉。例如，在教學(xué)蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)的“乘法分配律”（如圖2）時(shí)，教師先讓學(xué)生自主解決情境問題，學(xué)生列出算式后，再選擇兩個(gè)不同的算式集中呈現(xiàn)，并提問：比一比，這兩個(gè)算式間有什么聯(lián)系？它們能用等號(hào)連接嗎？經(jīng)過全班討論，得出（6+4）×24＝6×24+4×24，即兩個(gè)算式相等。接著教師追問：像這樣的等式還有嗎？再寫出幾組，比一比，你還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生通過對(duì)幾組這樣的等式的觀察、比較，概括出“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加”的規(guī)律。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：像這樣的等式寫得完嗎？能不能用自己的方式簡(jiǎn)潔地表示出來？由此，學(xué)生在分析、解決問題的過程中，逐步建立乘法分配律的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型，即（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c。

（二）提煉模型：在解決問題中有序建構(gòu)模型

提煉模型主要包括一般化和符號(hào)化兩個(gè)過程。一般化是指挖掘出解決問題的具體方法的本質(zhì)要素，將其抽象為能解決一類問題的一般方法。符號(hào)化是指在一般化基礎(chǔ)上產(chǎn)生表達(dá)模型的內(nèi)需，并借助簡(jiǎn)潔的符號(hào)形式進(jìn)行表征。下面以“乘法分配律”的教學(xué)為例進(jìn)行具體說明。

1.一般化：從生活情境到數(shù)學(xué)意義

首先，教師創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境（如圖2），讓學(xué)生通過獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)可以用兩種方法計(jì)算，即6×24+4×24與（6+4）×24。第一種是先算出四年級(jí)和五年級(jí)各領(lǐng)多少根，再相加求一共領(lǐng)多少根跳繩；第二種是先算出四、五年級(jí)共有幾個(gè)班，再乘每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩，算出一共領(lǐng)多少根跳繩。由此，學(xué)生明確兩種方法都是求四、五年級(jí)一共領(lǐng)多少根跳繩，結(jié)果相等，可用等號(hào)連接，即6×24+4×24=（6+4）×24。這是對(duì)具體問題的研究，是抽象出一般方法的基礎(chǔ)。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生寫幾組與之結(jié)構(gòu)相似的算式，并通過計(jì)算、比較和交流，找出它們之間的聯(lián)系，初步感知乘法分配律。

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：像這樣的算式都相等嗎？為什么？使學(xué)生在獨(dú)立思考與小組交流中能主動(dòng)聯(lián)系乘法意義予以解釋，即6×24+4×24表示6個(gè)24加4個(gè)24，共10個(gè)24，（6+4）×24也表示10個(gè)24。由此，學(xué)生通過對(duì)生活情境中具體問題的研究，提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)意義，將其上升到一般化。

2.符號(hào)化：從口語概括到符號(hào)表達(dá)

在學(xué)生經(jīng)歷了觀察、比較、分析、抽象、概括等活動(dòng)，掌握了乘法分配律的本質(zhì)后，教師可以激發(fā)學(xué)生用自己的語言描述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，也可以啟發(fā)學(xué)生將規(guī)律符號(hào)化，建立數(shù)學(xué)模型。首先，教師提問：像這樣的算式寫得完嗎，能不能用一句話來概括規(guī)律？學(xué)生結(jié)合自己的理解，經(jīng)過交流、反饋、調(diào)整，概括出規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加。接著，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)口語表達(dá)相對(duì)復(fù)雜，因而可以用一道簡(jiǎn)潔的算式來表示，推動(dòng)學(xué)生創(chuàng)造多樣的表征方式：（爸+媽）×我=爸×我+媽×我、（○+△）×☆=○×☆+△×☆、（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c等。最后，教師指出一般用字母表達(dá)式來表示乘法分配律，并提煉出（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c的乘法分配律模型。

（三）應(yīng)用模型：在變式運(yùn)用中深度內(nèi)化模型

數(shù)學(xué)模型是對(duì)解決一類問題的方法的抽象概括。除了與模型相關(guān)的典型問題情境，教師還要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決其他數(shù)學(xué)問題，體會(huì)不同問題中所蘊(yùn)含的相同本質(zhì)。具體而言，學(xué)生需要在多角度的分析、比較中理解各種特例，聚焦數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)要素。教材中的例題一般從正面認(rèn)識(shí)模型，它具有典型性，但無法全面地反映相關(guān)模型，所以需要挖掘并研究模型的變式與反例。

例如，蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”練一練的第2題中呈現(xiàn)了4組算式（如圖3），其中第1組、第2組與例題的形式一致，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)討論第3組與第4組的算式。學(xué)生容易否定第3組算式，因?yàn)樗雌饋砼c他們學(xué)習(xí)的乘法分配律的算式不同，對(duì)此，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算或結(jié)合乘法意義理解它們的得數(shù)相同，符合乘法分配律，再分析形式不同的原因，即74×20+74×1中的“×1”可以省略。同時(shí)，學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為第4組算式符合乘法分配律，因?yàn)樗退麄冇∠笾械某朔ǚ峙渎傻乃闶胶芟?。?duì)此，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)兩邊的結(jié)果不相等，或根據(jù)乘法意義來進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)左邊算式表示130個(gè)50，右邊算式表示140個(gè)40，結(jié)果不相等，所以不符合乘法分配律。接著，組織學(xué)生分析錯(cuò)因并糾錯(cuò)，即左邊算式是多少個(gè)50，右邊算式卻變成多少個(gè)40，但乘法分配律要保證等式兩邊都是多少個(gè)50或多少個(gè)40。最后，要讓學(xué)生明確，在（ɑ+b）×c＝ɑ×c+b×c的模型中，等式兩邊的c要相同。第3、第4組算式便屬于乘法分配律的變式與反例，能豐富學(xué)生對(duì)乘法分配律模型的理解。

三、關(guān)聯(lián)新舊模型

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中儲(chǔ)存了各種數(shù)學(xué)模型，這些原有的模型與新建立的模型之間存在兩種形式的聯(lián)系，一種是模型間具有本質(zhì)聯(lián)系，可以通過縱向溝通實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化整合；另一種是模型間本質(zhì)不同，但可以通過橫向比較凸顯各自的本質(zhì)特點(diǎn)。

（一）橫向比較，凸顯模型本質(zhì)

有的模型之間雖然本質(zhì)不同，但將它們進(jìn)行橫向比較，并組織學(xué)生比較、區(qū)分、辨析，能使學(xué)生感受到模型間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而深化對(duì)模型本質(zhì)的理解。

例如，學(xué)習(xí)“歸一問題”與“歸總問題”時(shí)，學(xué)生容易混淆這兩種問題的數(shù)學(xué)模型。因此，教師可以將兩種問題以相似的情境對(duì)比呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生厘清二者的區(qū)別，深刻地理解兩種問題的數(shù)學(xué)模型，從而使思維從混沌走向清晰。教學(xué)時(shí)，教師先呈現(xiàn)比較題組：（1）小明買3本筆記本用了18元，如果買8本同樣的筆記本，需要多少元？（歸一問題）（2）6元一本的筆記本，小明買了6本。如果用這些錢買9元一本的筆記本，可以買幾本？（歸總問題）然后啟發(fā)學(xué)生思考：這兩道題的問題情境相似，那解決問題的方法（數(shù)學(xué)模型）也一樣嗎？學(xué)生通過思考發(fā)現(xiàn)：在“歸一問題”中，一份量（每本筆記本的單價(jià)）不變，即前后兩次的商一定（□÷□=□÷□），所以先求一份量；在“歸總問題”中，總量（總錢數(shù)）不變，即前后兩次的積一定（□×□=□×□），所以先求總量。在這樣的比較中，學(xué)生對(duì)兩種模型的認(rèn)知變得更加清晰。

（二）縱向溝通，提煉上位模型

數(shù)學(xué)模型是對(duì)一類生活現(xiàn)象或問題的抽象，而對(duì)一類數(shù)學(xué)模型進(jìn)行進(jìn)一步抽象，便可以得到更上位的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)就是通過像這樣的多級(jí)抽象逐步發(fā)展起來的。上位模型是對(duì)一類下位模型本質(zhì)要素的抽象概括。以上位模型統(tǒng)攝下位模型有助于學(xué)生將認(rèn)知結(jié)構(gòu)中諸多具體模型結(jié)網(wǎng)組塊，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整理，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)模型的理解與運(yùn)用。

例如，在人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“常見的數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)中，教材先呈現(xiàn)典型問題，讓學(xué)生探討解決，然后引導(dǎo)學(xué)生尋找它們的共同點(diǎn)，最后提煉出兩種模型：“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”和“速度×?xí)r間＝路程”。這兩種模型之間存在本質(zhì)聯(lián)系，教師可以啟發(fā)學(xué)生理解它們共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生結(jié)構(gòu)化地掌握這兩種模型。由此，學(xué)生理解了“單價(jià)”表示“1千克多少元”“1袋多少元”等，“速度”表示“1分鐘行多少米”“1小時(shí)行多少千米”等，“單價(jià)”“速度”都表示一份數(shù)，“數(shù)量”“時(shí)間”都表示有這樣的幾份（份數(shù)），“總價(jià)”“路程”則表示一共有多少份（總數(shù)）。在此基礎(chǔ)上，這兩種數(shù)學(xué)模型還可以抽象成更上位的乘法模型，即“一份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)”。

總之，感悟模型價(jià)值可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的重要性，發(fā)揮對(duì)模型學(xué)習(xí)的心理維持與定向作用；經(jīng)歷清晰有序的模型學(xué)習(xí)過程有助于學(xué)生積累建模的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)其在新模型學(xué)習(xí)中的遷移；關(guān)注新舊模型的區(qū)分與整合能幫助學(xué)生建立與優(yōu)化認(rèn)知中的模型結(jié)構(gòu)，加深對(duì)模型的理解與運(yùn)用。

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（1.揚(yáng)州大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院

2.江蘇省揚(yáng)州市高郵外國(guó)語學(xué)校小學(xué)部）