呂增鋒|浙江省象山縣第二中學

高三數(shù)學第二輪復習是學生在備戰(zhàn)高考中必須經(jīng)歷的重要階段之一，它是在第一輪復習對高中數(shù)學基礎知識回顧與梳理的基礎上，全面開展的專題性復習.與第一輪復習相比，第二輪復習有兩個特色：關注重點、難點和易混淆點，重在對知識點進行深化和細化；注重理論與實踐的結合，對已掌握的知識進行反復訓練和鞏固，重在提高學生的學習狀態(tài)和應對考試的信心.第二輪復習的目的是進一步完善學生的知識體系與結構，不斷總結破解數(shù)學問題的規(guī)律和技巧方法，從而全面提升學生的數(shù)學關鍵能力.

一、數(shù)學關鍵能力的內(nèi)涵及其在數(shù)學解題中的作用

數(shù)學關鍵能力是將數(shù)學的核心知識內(nèi)容與數(shù)學思想方法形成縱向的聯(lián)結，并且在橫向層次上結合一般數(shù)學能力的一種綜合能力.從心理學角度分析，數(shù)學關鍵能力指的是學生通過數(shù)學活動的展開，在所掌握的數(shù)學知識的鋪墊下，運用數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學活動經(jīng)驗解決數(shù)學問題的心理特征.《中國高考評價體系》從考試評價的視角把關鍵能力概括為三個能力群，即知識獲取能力群、實踐操作能力群和思維認知能力群。它可以進一步具化為：邏輯思維能力、抽象思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力和創(chuàng)新能力［1］.

數(shù)學關鍵能力在數(shù)學解題中扮演著非常重要的角色.解題的第一步是分析問題，這就要求學生具備較強的邏輯思維能力，能夠把復雜的問題拆分成簡單的問題，能夠快速建立條件與結論之間的聯(lián)系，從而為問題的正式解決做好準備.在解題過程中，學生要能夠根據(jù)已知信息和問題要求，從多個方面思考分析，并及時調(diào)整自己的解題思路，合理選擇解題方法.同時，解題需要進行大量的計算，學生不僅需要具備運算求解能力，而且必須快速、準確，并能夠判斷計算結果的正確性.因此，數(shù)學關鍵能力對于能否成功解題至關重要.

二、指向數(shù)學關鍵能力發(fā)展的第二輪復習的思路

第二輪復習教學須借助多方面的教學資源和技術手段，幫助學生加強數(shù)學關鍵能力.下面，筆者以“二面角”為例，談談具體的做法.

（一）在診斷中明確學生數(shù)學關鍵能力的短板

數(shù)學學習應做到有的放矢，要實現(xiàn)這一目的，關鍵是教師能充分掌握學生的“前見”，即學生在新課學習之前已經(jīng)獲得的知識、技能和經(jīng)驗.這些前期獲取的知識和經(jīng)驗可以對學生后續(xù)的學習產(chǎn)生重要的影響和作用［2］.數(shù)學第二輪復習也應如此，首先應該對學生的“前見”進行全面分析，了解學生對數(shù)學關鍵能力的掌握情況.診斷學生數(shù)學關鍵能力的方法和手段，一般有測驗、觀察記錄、學生自我評價、同伴評價等幾種.

筆者先用2021 與2022 年新高考全國I 卷與II卷中“二面角”的真題對學生進行了檢測，并對測驗的結果進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)全班45人中，35人選擇用向量法，正確率為43%，10人選擇用幾何法，正確率為30%.這表明，多數(shù)學生選擇用向量法，并且做對的情況要好于用幾何法.接著，筆者從數(shù)學關鍵能力的視角對學生主要錯誤的原因進行分析（如表1所示）.

不難發(fā)現(xiàn)，在求二面角的過程中，學生在邏輯思維能力、空間想象能力、創(chuàng)新能力的表現(xiàn)上存在較大不足，這些不足需要通過后續(xù)的學習加以提升，同時這也為第二輪復習明確了方向與任務.

（二）在展示中讓學生認識到數(shù)學關鍵能力的不足

學生雖然知道自己解題出錯了，但對錯誤是怎么發(fā)生的、有什么共同的特征、涉及哪些數(shù)學關鍵能力等一系列問題，還是一頭霧水.這就需要從加強學生數(shù)學自我認知入手.數(shù)學自我認知是數(shù)學學習的重要因素之一，對學生學習積極性、學習效果等都有巨大的影響.

展示典型的錯誤與優(yōu)秀解法是學生開展數(shù)學自我認知的最佳途徑.筆者先挑選一些解法錯誤或答題不規(guī)范的案例，投影在屏幕上，采用學生互評的形式，讓學生找錯誤、析錯因、糾錯法.通過深入地分析錯誤的原因和表現(xiàn)方式，學生可以更好地理解錯誤的本質(zhì)，進而糾正錯誤.同時，這也有助于學生強化正確的解題思路，從而讓錯誤成為學生發(fā)現(xiàn)問題和深入思考的催化劑.接著，筆者呈現(xiàn)優(yōu)秀的解題案例，同樣采用學生互評的方式，讓學生找亮點、說感受、提建議，在幫助學生樹立解題規(guī)范的同時，引發(fā)學生思維的碰撞與情感的共鳴.通過對比展示，學生能夠領悟到優(yōu)秀的數(shù)學解題所具備的三大特征，即“清晰的思路、簡潔的過程、優(yōu)化的算法”，而要做到這些，數(shù)學關鍵能力起到了決定性的作用.

（三）在關聯(lián)中讓學生的數(shù)學關鍵能力得到強化

將問題中的各個部分聯(lián)系起來，從整體的角度來研究問題，可使學生在解決數(shù)學問題時具有更高的思維能力和處理能力，這就是整體關聯(lián)思想.在數(shù)學解題中的具體做法是：既要考慮知識前后的關聯(lián)性，又要分析數(shù)學思想方法之間的關聯(lián)性，還要兼顧學生學習經(jīng)驗之間的關聯(lián)性；然后在充分認識關聯(lián)性的基礎上，整合各種解題技巧，從而創(chuàng)造出更好的解題方案.在建立關聯(lián)性的過程中，學生不僅能夠更深刻地理解數(shù)學的本質(zhì)和應用場景，而且可以形成更廣泛、更深層的數(shù)學思維，從而進一步強化個人已有的數(shù)學關鍵能力.

例題：（2022年新高考全國I卷第19題）如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為

圖1

（1）求A到平面A1BC的距離；

（2）設D 為A1C 的中點，AA1=AB，平面A1BC ⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C 的正弦值．

對于上述“二面角”問題，學生想到以下一些方法.

定義法1：直接作二面角ABD-C 的平面角.易證 △ABD 與△CBD 全等，過A 點在面ABD 上作AF⊥BD，連接C、F，則∠AFC 就是二面角A-BD-C 的平面角，用余弦定理求出cos∠AFC.

定義法2：利用三垂線定理作出二面角A-BD-C 的平面角.過A 點在面AA1B 上作AE⊥A1B，垂足為E，易證AE⊥面A1BC；過E 點在面A1BC 上作EF⊥BD，垂足為F；連接A、F，由三垂線定理得AF⊥BD，則∠AFE就是二面角A-BD-C 的平面角的補角，在直角三角形AFE中求出sin∠AFE.

射影面積法：利用公式在“定義法2”中，可知△BDE 是△ABD 在面A1BC的射影，則其 中θ 與 二 面 角A-BD-C 平面角互補.

上述方法都是從幾何法衍生出來的，當然，向量法也可以衍生出很多方法，例如，基底法、坐標法等.但單純的方法羅列遠不足以提升學生的解題水平，學生還需對這些方法進行關聯(lián)性思考，比如，方法之間有什么聯(lián)系，是如何想到的，不同的方法表現(xiàn)出怎樣的優(yōu)勢等，由此激發(fā)學生的深度思考，進而對學生在求二面角中所表現(xiàn)出來的數(shù)學關鍵能力來一次大的梳理與強化.筆者通過讓學生畫思維導圖的方式來實現(xiàn)這一目的，學生所畫的思維導圖進行整合后的成果如圖2所示.

（四）在微專題教學中讓學生的數(shù)學關鍵能力再生長

在數(shù)學第二輪復習中，微專題教學可以很好地彌補學生數(shù)學關鍵能力的短板.微專題指圍繞重點和關鍵點設計的，利用具有緊密相關性的知識或方法形成的專項研究，或者結合學生的疑點和易錯點整合的，能夠在短時間內(nèi)專門解決的問題集.通常把以微專題為載體的“小切口”教學稱為微專題教學，與一般專題教學相比，它具有“因微而準、因微而細、因微而深”等優(yōu)點［3］.通過前面的診斷，教師已經(jīng)充分了解了學生數(shù)學關鍵能力的薄弱面，圍繞薄弱面來設計微專題可以確保選題的精準.比如，針對“創(chuàng)新能力”的不足，筆者設計“借助多種視角求二面角為主題”的微專題，主要由“一道例題+一個變式+若干道練習”組成.

例題：如圖3，平行六面體ABCDA1B1C1D1，棱長都為2，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=600，求平面C1BD與平面BDD1B1所成角的余弦值.

圖3

相對于直棱柱，斜棱柱模型更適合作為發(fā)展學生空間想象能力的載體，因為斜棱柱往往沒有現(xiàn)成的可以作為空間建系的垂直關系，這就需要學生對空間位置關系進行深入的觀察與挖掘，由此可引發(fā)對解題思路的新思考.在教學過程中，除了常規(guī)的“直接作二面角的平面角”與“坐標法”外，學生還想到了“角的轉化”，即把二面角的平面角進行等角轉化，并利用“基底法”求出結果.

這道例題打開了求二面角的新視角，對學生而言，實現(xiàn)了從“直接求角”走向“間接求角”的躍遷，從而為運算的簡化提供了新的可能.為了進一步強化這種求角的意識，筆者在原題基礎上設計了變式.

變式：平行六面體ABCD-A1B1C1D1，CC1＝4，CD＝2，CB＝3，∠C1CB=30°,∠C1CD=45°，∠BCD=60°，求平面C1BD 與平面BDD1B1所成角的余弦值.

對于變式，解題思路不變，但運算量增加了，這有助于進一步發(fā)展學生運算求解的能力.最后，筆者設計對應的習題，讓學生經(jīng)歷更多類型的“角的轉化”，比如，把二面角的平面角轉化為與之對應的余角、補角等，讓學生的數(shù)學關鍵能力得到持續(xù)的拓展.

綜上，高三數(shù)學第二輪復習一直面臨著諸多問題，如：重視題型教學，忽視思維暴露；重視技巧方法，忽視數(shù)學思想；重視教學進度，忽視認知基礎；過度練習，節(jié)奏錯亂；被動性學習，機械訓練.這主要是因為復習目標定位出現(xiàn)了偏差，沒有把高三數(shù)學第二輪復習的目標指向發(fā)展學生的關鍵能力.也就是說，超越高三數(shù)學第二輪復習困境的路徑，根本在于復習目標的轉變，教師要以發(fā)展數(shù)學關鍵能力為導向，通過對復習內(nèi)容的整合與重構，讓復習教學處于辯證發(fā)展和持續(xù)優(yōu)化之中.