■王 健

函數(shù)的值域是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,求函數(shù)的值域有多種方法,不僅如此,同學(xué)們還要善于從函數(shù)的值域出發(fā)尋找解決函數(shù)其他問題的方法,如已知函數(shù)的值域求函數(shù)的定義域、求解析式、求參數(shù)的值或取值范圍等。下面就此小議函數(shù)的值域的應(yīng)用問題。

一、求函數(shù)的定義域

例1 (多選題)已知函數(shù)y=x2-2x+3 的值域是[2,11],則其定義域可能是( )。

A.[0,4] B.[-1,1]

C.[2,3] D.[-1,4]

令x2-2x+3=2,解得x=1;令x2-2x+3=11,解得x=4或x=-2。據(jù)此作出函數(shù)y=x2-2x+3的大致圖像,如圖1所示。

圖1

設(shè)此函數(shù)的定義域為M,則[-2,1]?M或[1,4]?M。結(jié)合圖像可知,B,C 錯誤。應(yīng)選AD。

評注:函數(shù)的定義域中的每個元素在其值域中都有唯一元素與之對應(yīng);反之,函數(shù)的值域中的每個元素在其定義域中有一個或多個元素與之對應(yīng)。

二、求函數(shù)的值域

8x+y-b=0。

因為該方程有實數(shù)解,所以Δ=64-4(y-a)(y-b)≥0,即y2-(a+b)y+ab-16≤0。

又因為1≤y≤9,所以1,9是方程y2-(a+b)y+ab-16=0的兩個實數(shù)根。

評注:利用一元二次方程的根的判別式,可以求系數(shù)的取值范圍、判斷方程根的個數(shù)及根的分布情況等,在解題中應(yīng)用十分廣泛。

三、求函數(shù)的解析式

四、求參數(shù)的值

五、求參數(shù)的取值范圍

例5 若函數(shù)f(x)=x2-8x+15的定義域為[1,a],值域為[-1,8],則實數(shù)a的取值范圍是( )。

A.(1,7] B.(4,7)

C.[1,4] D.[4,7]

易得f(4)=-1,f(x)=x2-8x+15=(x-4)2-1≥-1。作出函數(shù)f(x)=x2-8x+15 的大致圖像,如圖2所示。

圖2

由f(x)的定義域為[1,a],值域為[-1,8],且f(1)=8,結(jié)合圖像得a≥4。

由題意可得f(a)=a2-8a+15≤8,所以1≤a≤7。

綜上可得,4≤a≤7。應(yīng)選D。