群論思想在代數(shù)組合中的滲透與應(yīng)用

閆 焱 鄧明立

(1.河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,石家莊 050024;2.華北理工大學(xué) 理學(xué)院,唐山 063210)

代數(shù)組合(Algebraic Combinatorics) 是組合數(shù)學(xué)與抽象代數(shù)的交叉學(xué)科,其研究對(duì)象涉及可以被組合學(xué)和代數(shù)學(xué)解釋的對(duì)象。以美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)所編列的數(shù)學(xué)科學(xué)分類系統(tǒng)(2010) 為例,在05Exx代數(shù)組合項(xiàng)下包括各研究子類如下：對(duì)稱函數(shù)及推廣;表示論的組合方面;代數(shù)幾何的組合方面;群與代數(shù)的組合方面;組合結(jié)構(gòu)上的群作用;結(jié)合方案、強(qiáng)正則圖;交換代數(shù)的組合方面;單純復(fù)形的組合方面。盡管目前代數(shù)組合仍然是一個(gè)發(fā)展中的領(lǐng)域,但是其源頭可以追溯到18世紀(jì)歐拉(L.Euler,1707—1783) 關(guān)于劃分的思想、結(jié)果和方法,它們?cè)诮鼛资瓯粡V泛應(yīng)用于代數(shù)組合與群表示理論中。代數(shù)組合開始被嘗試系統(tǒng)地進(jìn)行研究應(yīng)該歸功于20世紀(jì)60年代羅塔(1)羅塔(G.C.Rota,1932—1999) 是意大利裔美國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家,他的數(shù)學(xué)研究始于泛函分析、微分方程、概率論和遍歷理論等相關(guān)領(lǐng)域,在概率和遍歷理論問題的激勵(lì)下,他在20世紀(jì)60年代早期轉(zhuǎn)向組合數(shù)學(xué)。當(dāng)很多人認(rèn)為組合數(shù)學(xué)充其量只是一堆聰明孤立的技巧時(shí),羅塔觀察到了組合數(shù)學(xué)與眾多抽象數(shù)學(xué)分支的相互作用和相關(guān)性。羅塔在組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的工作集中于揭示隱藏在不同組合領(lǐng)域背后的代數(shù)結(jié)構(gòu),他因在組合數(shù)學(xué)上的重大貢獻(xiàn)而成為名聞數(shù)學(xué)界的杰出數(shù)學(xué)家,組合數(shù)學(xué)的復(fù)興很大程度上要?dú)w功于羅塔對(duì)這一學(xué)科的獨(dú)特見解,他被公認(rèn)為促成這一轉(zhuǎn)變的主要人物之一。(G.C.Rota,1932—1999) 的影響,在他的推動(dòng)下組合數(shù)學(xué)逐漸被納入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流,代數(shù)組合也得以逐漸發(fā)展成為一門日趨完善的學(xué)科。

20世紀(jì)以來(lái),代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及研究方法不斷更新開拓,特別是1930—1931年數(shù)學(xué)大師范德瓦爾登(B.L.van der Waerden,1903—1996) 出版的《近世代數(shù)學(xué)》確定了代數(shù)結(jié)構(gòu)化的思想形成,成為了數(shù)學(xué)代數(shù)化趨勢(shì)的思想源泉,這部以“結(jié)構(gòu)”為指向的“近代代數(shù)學(xué)”從根本上改變了代數(shù)學(xué)的整個(gè)面貌[1-2]。代數(shù)以其結(jié)構(gòu)的一般性,不僅是集合、符號(hào)和思維的語(yǔ)言,而且實(shí)現(xiàn)了將許多種類各異的、高度數(shù)學(xué)化的學(xué)科進(jìn)行代數(shù)化處理。代數(shù)學(xué)的思想和方法推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、代數(shù)組合等交叉學(xué)科的發(fā)展。因此,從結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的視角分析“組合問題中的代數(shù)思想與方法”具有十分重要的研究意義,這不僅可以透視出如何利用代數(shù)方法或者結(jié)論研究組合問題,同時(shí)亦可以從組合學(xué)的視角為一些抽象的代數(shù)結(jié)果給出具體的解釋。

在國(guó)際數(shù)學(xué)界,代數(shù)組合被視為“組合對(duì)象的表示理論”或者“沒有群的群論”,盡管羅塔、斯坦利(R.P.Stanley,1944— )、坂內(nèi)英一(E.Bannai,1946— ) 等眾多數(shù)學(xué)家撰寫了一系列關(guān)于代數(shù)組合的論著,但是這些論著多以代數(shù)組合的學(xué)術(shù)成果與學(xué)術(shù)進(jìn)展綜述為主,還沒有基于群論思想研究代數(shù)組合學(xué)科歷史的論著。鑒于此,筆者在掌握原始文獻(xiàn)和研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,選取了代數(shù)組合中具有基礎(chǔ)性、核心性及統(tǒng)一性的概念——“結(jié)合方案”作為研究切入點(diǎn),針對(duì)結(jié)合方案及其相關(guān)問題(代數(shù)理論、特征理論及結(jié)構(gòu)理論) 進(jìn)行展開,探究了結(jié)合方案歷經(jīng)了哪些發(fā)展才形成了今天的概念表述?哪些關(guān)鍵的歷史人物起到了重要的引領(lǐng)作用?通過分析代數(shù)組合和群論的共同邏輯基礎(chǔ)、共同概念基礎(chǔ)和共同方法基礎(chǔ),揭示在代數(shù)組合的創(chuàng)立與發(fā)展過程中,群論的思想和方法是如何被繼承、發(fā)展或突破的,進(jìn)而展示出群論思想和方法在代數(shù)組合領(lǐng)域中呈現(xiàn)出的交叉與融合、滲透與應(yīng)用。這些問題無(wú)論在數(shù)學(xué)史上還是在數(shù)學(xué)研究方面,甚至在學(xué)科間交叉應(yīng)用的歷史研究上都值得我們尋本溯源。

1 代數(shù)組合作為一門學(xué)科的誕生

代數(shù)組合這門學(xué)科的研究歷史可以與群的特征理論媲美,包括弗羅貝尼烏斯(F.G.Frobenius,1849—1917)、舒爾(I.Schur,1875—1941) 和伯恩賽德(W.Burnside,1852—1927) 的研究理論。特別是20世紀(jì)30到60年代群論專家維蘭德(H.Wielandt,1910—2001) 和希格曼(2)唐納德·戈登·希格曼(D.G.Higman,1928—2006) 是美國(guó)數(shù)學(xué)家,被認(rèn)為是在有限群、表示理論、代數(shù)組合以及幾何學(xué)方面重要理論的締造者。他在群論研究中引入了組合的方法,從而產(chǎn)生了新的理論和方法,開辟了一條新道路,促進(jìn)了現(xiàn)在被稱為“代數(shù)組合”領(lǐng)域的發(fā)展。希格曼被視為該領(lǐng)域的創(chuàng)始人之一。(D.G.Higman,1928—2006)等人關(guān)于有限置換群的工作(置換群的中心化子環(huán))[3-5],由此開辟了一條新的道路,促進(jìn)了代數(shù)組合領(lǐng)域的發(fā)展。

“代數(shù)組合”一詞首先是坂內(nèi)英一于1979年在日本著名刊物《數(shù)學(xué)》(Sugaku)(3)日本著名數(shù)學(xué)年刊《數(shù)學(xué)》是1947年4月創(chuàng)刊的日文雜志,現(xiàn)在每年發(fā)行4次,主要刊登日本數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員的有關(guān)數(shù)學(xué)的論述、書評(píng)、學(xué)界新聞等。論述是以讓專業(yè)以外的人亦能欣賞和理解為目的的綜述文章,其中大部分被翻譯成英文,由美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)以Sugaku Expositions的雜志名發(fā)行。上發(fā)表的《代數(shù)組合論》(代數(shù)的組合せ論)[6]這篇評(píng)論性文章中提出的,由此宣告了這門學(xué)科的誕生。盡管“代數(shù)組合”一詞首次出現(xiàn)在他1979年的文章中,但事實(shí)上這個(gè)詞此前已經(jīng)縈繞在他腦海中很多年了,雖然當(dāng)時(shí)已經(jīng)有了代數(shù)圖論,代數(shù)編碼等詞,但是坂內(nèi)英一希望創(chuàng)立一個(gè)術(shù)語(yǔ),該術(shù)語(yǔ)不但能涵蓋這些領(lǐng)域,也能夠表達(dá)這一數(shù)學(xué)思想體系。

1984年坂內(nèi)英一與伊藤達(dá)郎(T.Ito,1948—)(4)日本數(shù)學(xué)家伊藤達(dá)郎(T.Ito,1948— ) 是目前國(guó)際上代數(shù)組合研究領(lǐng)域的知名學(xué)者之一,他與坂內(nèi)英一的工作情誼起于伊藤達(dá)郎的本科階段。伊藤達(dá)郎曾應(yīng)坂內(nèi)英一之邀,兩次在俄亥俄州立大學(xué)進(jìn)行為期一年的訪問。在第一次訪問(1980—1981,任訪問助理教授) 期間,促成了1984年系統(tǒng)論述代數(shù)組合的第一部專著《代數(shù)組合I：結(jié)合方案》的出版。出版了系統(tǒng)論述代數(shù)組合的第一部專著《代數(shù)組合I.結(jié)合方案》(AlgebraicCombinatoricsI.AssociationSchemes)[7],旨在介紹代數(shù)組合這門學(xué)科,但是當(dāng)時(shí)對(duì)于代數(shù)組合尚沒有明確的定義,書中首次正式使用“代數(shù)組合”一詞,術(shù)語(yǔ)“代數(shù)組合”開始被廣泛使用,該書亦成為了代數(shù)組合發(fā)展過程中的一個(gè)里程碑。1992年為適應(yīng)代數(shù)組合研究蓬勃發(fā)展的需要,《代數(shù)組合學(xué)》(JournalofAlgebraicCombinatorics)雜志創(chuàng)刊。

圖1 1979年坂內(nèi)英一在日本著名刊物《數(shù)學(xué)》上發(fā)表了題為《代數(shù)組合論》的評(píng)論性文章

圖2 1984年坂內(nèi)英一與伊藤達(dá)郎出版了系統(tǒng)論述代數(shù)組合的第一部專著

盡管“代數(shù)組合”這一名詞出現(xiàn)在20世紀(jì)70年代,但是它所涉及的某些經(jīng)典核心問題卻歷史悠久,比如結(jié)合方案的相關(guān)問題。坂內(nèi)英一曾這樣寫道：“在代數(shù)組合中,結(jié)合方案是非?；镜母拍?也許是最重要的?！?[7],7頁(yè)) 事實(shí)上,結(jié)合方案與距離正則圖、碼、設(shè)計(jì)等諸多代數(shù)組合研究領(lǐng)域都存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系[8-12],且在代數(shù)組合發(fā)展過程中極具代表性。結(jié)合方案的數(shù)學(xué)思想可以追溯到18世紀(jì)歐拉對(duì)分拆的研究。

在組合學(xué)史上,歐拉曾巧妙地解決了一些經(jīng)典組合學(xué)問題并引入了重要的方法[13]。他對(duì)于組合學(xué)發(fā)展所做的主要工作有四個(gè)方面：整數(shù)分拆、錯(cuò)位排列、歐拉方陣猜想和計(jì)數(shù)函數(shù)。整數(shù)分拆問題最早是萊布尼茲(G.W.Leibniz,l646—1716) 在1699年給伯努利(J.Bernoulli,1667—1748) 的信中提到的。歐拉對(duì)整數(shù)分拆問題的研究源于1740年諾地(P.Naud,1684—1747) 給他的一封信。信中諾地指出了一個(gè)有趣的問題：一個(gè)正整數(shù)可以用若干個(gè)不同或者相同的正整數(shù)的和來(lái)表達(dá)的方法有多少種?針對(duì)這個(gè)問題,歐拉憑借敏銳的洞察力發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)字分拆的新思想、新結(jié)果和新方法。比如他發(fā)現(xiàn)：分拆數(shù)的計(jì)算與二項(xiàng)式的乘積有著特定的聯(lián)系,并最終把這個(gè)組合問題與冪級(jí)數(shù)聯(lián)系起來(lái),從而使得分拆問題轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)中x非零次冪的系數(shù)與指數(shù)的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上,歐拉又考慮了二項(xiàng)式無(wú)窮乘積的倒數(shù)與分拆數(shù)的關(guān)系。歐拉指出：“把一個(gè)正整數(shù)分拆為不同正整數(shù)與分拆為可重復(fù)的奇數(shù)的分拆數(shù)相等”,并在其《無(wú)窮分析引論》(IntroductiontoAnalysisoftheInfinite) (1748) 的第16章中發(fā)展了這種思想[14],整數(shù)分拆問題為以后類似的分拆問題研究開辟了新的思路。在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,特別是在數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)問題中,當(dāng)對(duì)離散對(duì)象進(jìn)行計(jì)數(shù)、分類等研究時(shí),可以有效地應(yīng)用數(shù)的分拆理論來(lái)研究這些問題。最近幾十年,它在代數(shù)組合與群表示理論中被廣泛地應(yīng)用。那么分拆理論是如何滲透到結(jié)合方案這一概念中的?這就要提到C-代數(shù)(特征代數(shù)) 的劃分、統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)中的單元?jiǎng)澐忠约敖Y(jié)合方案中的結(jié)合關(guān)系。

在組合學(xué)發(fā)展的黃金時(shí)期,數(shù)學(xué)家們已經(jīng)為代數(shù)組合領(lǐng)域做出了許多重要的奠基性工作,但是沒有給出結(jié)合方案的確切定義,更沒有將結(jié)合方案理論系統(tǒng)化。數(shù)學(xué)家們雖然在工作中大量使用了結(jié)合方案的概念,并給出了許多結(jié)合方案的重要結(jié)果,但是都沒有明確提出結(jié)合方案這一術(shù)語(yǔ)。比如,結(jié)合方案的概念曾以C-代數(shù)的形式被研究。C-代數(shù)能夠引起關(guān)注是源于1942年川田(Y.Kawada) 的一篇論文《關(guān)于非交換群特征的對(duì)偶定理》(über den Dualit?tssatz der Charaktere nichtcommutative Gruppen)[15],但是這篇論文從發(fā)表到引起關(guān)注經(jīng)過了很長(zhǎng)一段時(shí)間。不過幸運(yùn)的是最終還是被致力于結(jié)合方案和置換群的學(xué)者們注意到了。這篇論文的撰寫動(dòng)機(jī)起源于霍海塞爾(G.Hoheisel,1894—1968) 在1939的研究工作[16],當(dāng)時(shí)霍海塞爾在論文《關(guān)于特征》(über Charaktere) 中為有限群G建立了一種代數(shù)結(jié)構(gòu)(現(xiàn)在被稱為“交換結(jié)合方案”),他計(jì)算了所有參數(shù)之間的關(guān)系,特別是G的特征標(biāo)表的正交關(guān)系。川田從霍海塞爾的工作中提煉出了形如“交換結(jié)合方案”的抽象概念,并稱之為C-代數(shù),即：

假設(shè)A是一個(gè)在線性空間意義上以x0,x1,…,xd為基的C上的代數(shù),如果滿足以下(i)-(vi)條,則A和x0,x1,…,xd稱為C-代數(shù)(特征代數(shù))：

(vi)映射xi→ki(i=0,1,…,d)是A的一個(gè)線性表示。

川田在上述定義的基礎(chǔ)上對(duì)C-代數(shù)的參數(shù)關(guān)系進(jìn)行了計(jì)算,進(jìn)而又對(duì)C-子代數(shù)和商C-代數(shù)進(jìn)行了研究。值得注意的是,當(dāng)霍海塞爾和川田進(jìn)行他們的研究時(shí),結(jié)合方案的概念在組合學(xué)的語(yǔ)境中并不存在。川田提出的C-代數(shù)的概念,在代數(shù)上和現(xiàn)在所說的交換結(jié)合方案的概念是一樣的。川田建立了C-代數(shù)公理,并發(fā)展了結(jié)合方案的所有代數(shù)性質(zhì)。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)試驗(yàn)中,當(dāng)費(fèi)希爾(R.A.Fisher,1890—1962)最初主張將統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)中的單元?jiǎng)澐譃橄嗨茊卧膮^(qū)組時(shí),他提出了每個(gè)處理應(yīng)該在每個(gè)區(qū)組中的一個(gè)單元上進(jìn)行,這種設(shè)計(jì)后來(lái)被稱為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)或者完全區(qū)組設(shè)計(jì)。然而這種設(shè)計(jì)有其一定的局限性,使得自然區(qū)組可能不夠大,以致于不能容納所有處理。比如在農(nóng)業(yè)田間試驗(yàn)中,當(dāng)每塊或每行或每列的地塊數(shù)量超過10或12塊時(shí),費(fèi)希爾著名的隨機(jī)區(qū)組和拉丁方設(shè)計(jì)的效率就會(huì)下降。因此,葉特斯(F.Yates,1902—1994) 引入了不完全區(qū)組設(shè)計(jì),他憑直覺提出了這樣一種設(shè)計(jì)：每對(duì)處理在相同數(shù)量的區(qū)組中同時(shí)進(jìn)行。葉特斯稱這種設(shè)計(jì)為對(duì)稱的不完全隨機(jī)區(qū)組排列,現(xiàn)今統(tǒng)計(jì)學(xué)家稱之為平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì),而數(shù)學(xué)家稱之為2-設(shè)計(jì)。

隨后,1939年統(tǒng)計(jì)學(xué)家玻色(R.C.Bose,1901—1987) 和內(nèi)爾(K.R.Nair) 在論文《部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)》(PartiallyBalancedIncompleteBlockDesigns) 中基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)背景提出了部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)這一概念[17],這項(xiàng)工作的意義是在葉特斯工作的基礎(chǔ)上提出了更廣泛的一類設(shè)計(jì)(即為平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的一種推廣,簡(jiǎn)記為PBIBD),由此部分平衡設(shè)計(jì)的其他特例也開始被廣泛研究并應(yīng)用。

為了研究部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的構(gòu)造問題,玻色和島本(T.Shimamoto) 發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)合類的部分平衡設(shè)計(jì)具有重要的性質(zhì)。1952年玻色和島本在一篇關(guān)于統(tǒng)計(jì)(組合) 設(shè)計(jì)理論的論文《具有兩個(gè)結(jié)合類的部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的分類與分析》(ClassificationandAnalysisofPartiallyBalancedIncompleteBlockDesignsWithTwoAssociateClasses) 中引入了結(jié)合方案的思想,此處的結(jié)合方案是一個(gè)純粹的組合結(jié)構(gòu)[18],用它描述具有多個(gè)結(jié)合關(guān)系的處理之間的某種平衡性。玻色和島本以簡(jiǎn)化和緊湊的形式給出了區(qū)組內(nèi)分析、組合區(qū)組內(nèi)分析和區(qū)組間分析,這樣做可以將某些試驗(yàn)設(shè)計(jì)劃分為少數(shù)幾個(gè)不同的類型,對(duì)于每一個(gè)類型結(jié)合方案都可以明確地展示出來(lái),并簡(jiǎn)化了數(shù)值計(jì)算以及對(duì)結(jié)果的解釋。該論文的貢獻(xiàn)不僅催生了現(xiàn)今結(jié)合方案定義的雛形,還用此概念利用矩陣代數(shù)方法對(duì)部分平衡設(shè)計(jì)的分類進(jìn)行了研究。文章中是這樣表達(dá)的：一個(gè)不完全區(qū)組設(shè)計(jì)稱為是部分平衡的,如果它滿足如下條件：

(i)試驗(yàn)素材被分為b個(gè)區(qū)組,每個(gè)區(qū)組有k個(gè)單元,對(duì)同一區(qū)組的單元進(jìn)行不同的處理。

(ii)能將v個(gè)處理安置在r個(gè)區(qū)組里。

(iv)如果兩個(gè)處理有第i種關(guān)系,則兩個(gè)處理同時(shí)在λi個(gè)區(qū)組中。

1959年在對(duì)結(jié)合方案的研究過程中,玻色和梅斯納(D.M .Mesner)在論文《與部分平衡設(shè)計(jì)的結(jié)合方案對(duì)應(yīng)的線性結(jié)合代數(shù)》(OnLinearAssociativeAlgebrasCorrespondingtoAssociationSchemesofPartiallyBalancedDesigns)中提出了對(duì)于給定一個(gè)m類和給定參數(shù)的結(jié)合方案[19],如果可以將v個(gè)對(duì)象排列成b個(gè)集合(每個(gè)集合對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)組),那么就得到了一個(gè)部分平衡設(shè)計(jì),并且給出了一種驗(yàn)證給定結(jié)合關(guān)系是否滿足部分平衡條件的有效代數(shù)方法——現(xiàn)在被稱為Bose-Menser代數(shù)的著名理論,此時(shí)論文中的結(jié)合方案的定義更加趨向了代數(shù)組合化的表述方式：

(a)任意兩個(gè)對(duì)象滿足唯一的第i種關(guān)系(i=1,2,……,m),如果對(duì)象α與對(duì)象β滿足第i種關(guān)系,那么對(duì)象β與對(duì)象α滿足第i種關(guān)系。

(b)任意一個(gè)對(duì)象α,則對(duì)每一個(gè)i,與α滿足第i種關(guān)系的處理共有ni個(gè),ni與α無(wú)關(guān)。

自此“結(jié)合方案”隨即成為了代數(shù)組合領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一?，F(xiàn)在普遍使用的結(jié)合方案的定義是1973年德爾薩特(P.Delsarte)在他的博士論文[20]《編碼理論中結(jié)合方案的代數(shù)方法》(AnAlgebraicApproachtotheAssociationSchemesofCodingTheory)中給出的,從結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的視角來(lái)看,該定義比之前玻色和島本給出的定義更具一般性,因?yàn)槎x中既包含了由玻色和梅斯納定義的結(jié)合方案中代數(shù)理論的元素,又融合了希格曼引入的協(xié)調(diào)構(gòu)形的概念,可以說既簡(jiǎn)潔又不失一般性,具體表述如下：

若一個(gè)非空有限集合X滿足|X|≥2,R0,R1,…,Rn是X×X的非空子集且滿足下列條件：

(i)R0={(x,x)|x∈X}。

(ii)X×X=R0∪R1∪…∪Rn,?i≠j,Ri∩Rj=?。

(iii)令tRi={(x,y)|(y,x)∈Ri},對(duì)于每個(gè)i∈{0,1,…,n},存在i′∈{0,1,…,n}使得tRi=Ri′。

事實(shí)上,在上述定義中,R就是X×X=R0∪R1∪…∪Rn的分拆,其中?i≠j,Ri∩Rj=?。

將川田在1942年提出的C-代數(shù)定義與德爾薩特在1973年提出的結(jié)合方案定義進(jìn)行對(duì)比分析(如表1所示),可以看出二者在結(jié)構(gòu)上本質(zhì)是一樣的。

表1 川田的C-代數(shù)定義和德爾薩特的結(jié)合方案定義對(duì)照分析

結(jié)合方案作為代數(shù)組合中的一個(gè)重要研究對(duì)象,其研究?jī)?nèi)容涉及構(gòu)造、參數(shù)計(jì)算、結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu),商結(jié)構(gòu),對(duì)偶性、本原性以及自同構(gòu)等)和分類等問題,這在本質(zhì)上遵從了群論的研究路線以及結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的研究思想。坂內(nèi)英一曾在論文《作為純粹數(shù)學(xué)的組合理論：代數(shù)組合的目標(biāo)》(CombinatoricsRegardedasPureMathematics：theAimsofAlgebraicCombinatorics)[9]中明確表達(dá)了他個(gè)人對(duì)于代數(shù)組合研究的主張和信仰,他認(rèn)為從長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展考慮應(yīng)該以純粹數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)為其他領(lǐng)域提供數(shù)學(xué)支撐。([9],2頁(yè))坂內(nèi)英一對(duì)代數(shù)組合學(xué)科最大的祈愿是從代數(shù)組合的角度重塑對(duì)有限單群的分類解釋和拓展。當(dāng)然這不是一件簡(jiǎn)單的事情,需要建立“代數(shù)思維”與“代數(shù)組合中思維實(shí)踐”之間的關(guān)系,也許這正是20世紀(jì)所彰顯出來(lái)的一種特色趨勢(shì)——“代數(shù)無(wú)處不在”。

2 代數(shù)組合中的群論思想與方法

自代數(shù)組合開始被系統(tǒng)研究以來(lái),許多群論的概念和性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)可以推廣到結(jié)合方案上來(lái),例如：子群、正規(guī)化子、有限群的冪零性、西羅定理等。不僅是群中的概念和性質(zhì),類似有限群的表示理論,結(jié)合方案的表示理論也是研究其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的有力工具之一。這些信息都揭示出一個(gè)強(qiáng)烈的信號(hào),一個(gè)看似沒有群結(jié)構(gòu)的學(xué)科(代數(shù)組合) 內(nèi)蘊(yùn)著強(qiáng)大的群論思想和“沒有群的群論結(jié)構(gòu)”。下面將從代數(shù)組合的刻畫問題、分類問題、結(jié)構(gòu)問題、實(shí)現(xiàn)問題這四個(gè)方面入手,從中選取代表性問題進(jìn)行剖析。

2.1 群論視角下對(duì)結(jié)合方案的刻畫

對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)家而言,設(shè)計(jì)只是一個(gè)試驗(yàn)方案,而對(duì)于組合學(xué)家或者代數(shù)學(xué)家來(lái)說,設(shè)計(jì)就是一種關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)——結(jié)合方案(群的一種自然推廣)。數(shù)學(xué)家更傾向?qū)⒔Y(jié)合方案理解為純粹的數(shù)學(xué)對(duì)象。從群論的角度來(lái)說,結(jié)合方案雖源于純組合對(duì)象,卻與群有某種天然的聯(lián)系,以群論的觀點(diǎn)可以視為對(duì)可遷置換群性質(zhì)的公理化結(jié)果。

基于群論,結(jié)合方案的構(gòu)造可以從一個(gè)群作用一個(gè)集合入手。[21]將一個(gè)有限群G可遷地作用在有限集合X上且|X|=n>1,即要求對(duì)于(x,y)∈X×X,σ∈G,滿足(x,y)σ=(xσ,yσ)。G作用在X×X上不再是可遷的,那么由X和R0,R1,…,Rd構(gòu)成了一個(gè)結(jié)合方案(不一定滿足交換),其中R0={(x,x)|x∈X},R1,…,Rd是X×X上G的d+1個(gè)軌道(這里d+1等于任一元素x∈X的穩(wěn)定子Gx作用在X上的軌道數(shù),價(jià)為|Ri(x)|)。從上述結(jié)合方案的構(gòu)造過程可以看出G作用在X×X上產(chǎn)生的軌道構(gòu)成了結(jié)合方案,每個(gè)軌道即為結(jié)合類或結(jié)合關(guān)系,研究這些關(guān)系以及這些關(guān)系之間所具有的性質(zhì),并把這些性質(zhì)一般化,進(jìn)而推廣到一般的組合結(jié)構(gòu)中,這就是結(jié)合方案的概念公理化。

事實(shí)上,利用有限群構(gòu)造結(jié)合方案的方式是不唯一的,即結(jié)合類(結(jié)合關(guān)系) 的構(gòu)造方式很多。比如同樣是有限群X,可以利用它的右平移群T(X)和內(nèi)自同構(gòu)群G0來(lái)生成一個(gè)新的群G=,而這樣的群G可以可遷地作用在X上,從而可以構(gòu)成一個(gè)交換的結(jié)合方案(X,{Ri}0≤i≤d),其中d+1為X的G0軌道數(shù)(此時(shí)G0軌道恰為群X的結(jié)合類,因此d+1亦為X的結(jié)合類個(gè)數(shù),對(duì)于任意的a∈X均有aXia-1=Xi)。如果X本身就是一個(gè)交換群,那么所得到的結(jié)合方案是交換的。

2.2 有限單群與本原結(jié)合方案

代數(shù)組合的起源可以追溯到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的不同分支,其中一個(gè)重要起源可以追溯到群論中舒爾在1933年關(guān)于舒爾環(huán)(Schur環(huán)) 的工作。最初Schur環(huán)是用來(lái)研究具有正規(guī)子群的本原置換群,其中大部分的結(jié)論后來(lái)被發(fā)現(xiàn)也適用于具有正規(guī)群作用的本原結(jié)合方案(primitive association scheme)。本原結(jié)合方案對(duì)代數(shù)組合的研究具有什么樣的意義呢?類比有限單群解析本原結(jié)合方案更能貼切地展示出它在代數(shù)組合中的研究?jī)r(jià)值和核心地位。

有限群論的研究可以分為兩部分：一是找出所有的有限單群,研究它們的結(jié)構(gòu);二是研究這些單群如何合成原群。如果能找到所有的有限單群,群論中的很多問題就迎刃而解了。于是,有限群論最核心的問題就是有限單群的分類。

類比利用群結(jié)構(gòu)理論研究群論分類問題的方式,代數(shù)組合在沒有群結(jié)構(gòu)的背景下,將困難重重。但是1984年坂內(nèi)英一與伊藤達(dá)郎出版的第一部代數(shù)組合專著[7]給這一問題帶來(lái)了曙光。他們基于Delsarte理論,提出了P-與Q-多項(xiàng)式結(jié)合方案的分類問題,此后該問題被普遍認(rèn)為是代數(shù)組合領(lǐng)域的主要研究目標(biāo)之一,這項(xiàng)工作也被國(guó)際數(shù)學(xué)界認(rèn)為是坂內(nèi)英一在代數(shù)組合研究領(lǐng)域做出的突出貢獻(xiàn)之一,他曾這樣寫道：“P-與Q-多項(xiàng)式結(jié)合方案看起來(lái)就像李群中的半單李群和有限群論中的有限單群一樣吸引著我們?！?[7],186頁(yè))

在20世紀(jì)80年代早期,坂內(nèi)英一心中縈繞著一個(gè)想法：能否利用“有限單群的分類”給出群本原交換結(jié)合方案的完整列表。他相信：在代數(shù)組合的背景下,本原交換結(jié)合方案的分類應(yīng)該作為重要的研究目標(biāo)。這就好比我們熟知的元素周期表,元素是組成自然界物質(zhì)的基本單位,因此確定出所有的元素具有重要意義。由于群可以通過單群合成,故單群類似于元素。在結(jié)合方案中,本原結(jié)合方案好比群論中的單群,但其數(shù)量龐大,以至于對(duì)它們的完整分類是非常困難的。一個(gè)群結(jié)合方案的本原性與該群的單性等價(jià),因此研究本原結(jié)合方案是很重要的。就像任何有限群都是由一系列單群得到的一樣,任何(交換的) 結(jié)合方案都是由一系列本原結(jié)合方案得到的。

正如坂內(nèi)英一堅(jiān)信的那樣,類似單群在群論中的角色,在代數(shù)組合的研究過程中鎖定了將本原結(jié)合方案看作構(gòu)成結(jié)合方案的基本對(duì)象(利用任何有限單群構(gòu)造一個(gè)本原交換結(jié)合方案),代數(shù)組合領(lǐng)域的學(xué)者們希望能對(duì)本原結(jié)合方案的結(jié)構(gòu)進(jìn)行代數(shù)分類和組合分類,這樣可能有一天沿著代數(shù)組合的途徑可以給出一種有限單群分類的替代方法。

2.3 群論與結(jié)合方案上的西羅定理

在眾多有限群的構(gòu)造方法中,通過元素或者子群的性質(zhì)來(lái)刻畫有限群的結(jié)構(gòu),一直是群論學(xué)家熱衷討論的一個(gè)活躍話題,且已經(jīng)形成了一些經(jīng)典的方法和結(jié)果。比如群論學(xué)家經(jīng)常會(huì)借助子群來(lái)研究群的重要結(jié)構(gòu)特性,包括如何通過較小的群來(lái)構(gòu)造較大的群,如何剖析較大的群從而揭露蘊(yùn)含在其中較小的群,這些問題都是通過“子群”來(lái)逐一進(jìn)行回答的。

基于群論的思想和方法,類比到代數(shù)組合中就會(huì)發(fā)現(xiàn)：結(jié)合方案中的閉子集保留了類似群論中子群的一些經(jīng)典的性質(zhì),因此尋找或分類已知結(jié)合方案的子方案一直是代數(shù)組合領(lǐng)域?qū)W者們深入分析的問題(5)“尋找或分類已知結(jié)合方案的子方案”與尋找一個(gè)“較小的結(jié)合方案”來(lái)決定給定結(jié)合方案的特征標(biāo)表有關(guān),較小的結(jié)合方案是指“頂點(diǎn)數(shù)少”或“類數(shù)少”,但是研究小的結(jié)合方案是一件非常困難的事情,比如完全列出頂點(diǎn)數(shù)不超過50的結(jié)合方案是很困難的。,進(jìn)而研究是否存在結(jié)合方案(裂變方案)使得它包含已給定的子方案也是代數(shù)組合領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究方向。

20世紀(jì)90年代,齊尚(P.-H.Zieschang)建立了結(jié)合方案的公理化理論,并在此基礎(chǔ)上開始了對(duì)結(jié)合方案結(jié)構(gòu)理論的系統(tǒng)研究,并將研究成果撰寫成兩本專著[22-24],引起了許多學(xué)者對(duì)結(jié)合方案結(jié)構(gòu)理論研究的強(qiáng)烈反響。在研究過程中發(fā)現(xiàn),利用有限群的結(jié)構(gòu)思想,會(huì)在結(jié)合方案中收獲很多的驚喜,比如將有限群中的西羅定理成功地推廣到結(jié)合方案上[24],這項(xiàng)研究的意義在于給出了在群論之外,西羅定理的一種推廣證明。

群論中西羅定理在特殊情形下回答了拉格朗日逆定理的問題(即如果n是|G|的一個(gè)因子,那么G一定有n階子群?jiǎn)?),這個(gè)結(jié)論并不成立。西羅(P.L.M.Sylow,1832—1918)首先將p階子群的概念推廣,引入了p-子群,特別是西羅p-子群的概念。所謂p-子群就是指階數(shù)為素?cái)?shù)冪的子群,而西羅p-子群則是指群G的最高次素?cái)?shù)冪階的子群,比如對(duì)于120=23×3×5階群S5來(lái)說,西羅p-子群的階數(shù)為8,3和5。西羅定理描述了找到哪些階的子群一定存在,從而揭示出群G與其西羅p-子群的關(guān)系。

在群論中,西羅的三個(gè)定理間的主線是：它們都是由群的階來(lái)決定群的結(jié)構(gòu)。三個(gè)定理分別回答了西羅p-子群的存在性問題、關(guān)系問題以及數(shù)量性問題。

西羅第一定理：設(shè)G是pnm階群,其中n≥1,p為素?cái)?shù),并且(p,m)=1,則對(duì)每個(gè)1≤i≤n,G均包含pi階子群,并且G的每個(gè)pi階子群均是某個(gè)pi+1階子群的正規(guī)子群。

西羅第二定理：如果H是有限群G的p-子群,而P為群G的任一西羅p-子群,則存在x∈G,使得H

西羅第三定理：如果G是有限群,而p是素?cái)?shù),則G的西羅p-子群的個(gè)數(shù)是|G|的因子,并且具有形式kp+1(對(duì)于某個(gè)k≥0)。

由于結(jié)合方案中沒有群的概念,若想將有限群上的西羅定理推廣到結(jié)合方案上,首要工作是需要巧妙地利用集合的關(guān)系語(yǔ)言(下述xg的定義)代替群中元素的二元關(guān)系運(yùn)算,從而建立類似群中元素的階以及群的階等相關(guān)概念,如結(jié)合方案中價(jià)的定義、p-價(jià)子集的定義等等,具體構(gòu)建形式如下：

若X是有限集,G是X×X的劃分,且??G和1X={(x,x)|x∈X}∈G,(X,G)表示一個(gè)結(jié)合方案(簡(jiǎn)稱方案)。若p是一個(gè)素?cái)?shù),G中的元素g稱為p-價(jià)的,如果ng可以表示成p的方冪,其中ng=|xg|,?x∈X,g∈G,xg={y∈X|(x,y)∈g};G的一個(gè)子集稱為p-價(jià)的,如果它的每個(gè)元素都是p-價(jià)的;G的一個(gè)p-價(jià)子集F稱為p-子集,如果nF可以表示成p的方冪。G的一個(gè)非空子集F是閉的,如果滿足對(duì)于?d,e∈F總有de?F。

在如上結(jié)合方案“價(jià)”(類似群中“階”的定義)的定義框架下,第二個(gè)重要的工作在于要將有限群中西羅p-子群的定義推廣到結(jié)合方案中封閉的西羅p-子集Sylp(G)上,這里Sylp(G)表示滿足特定條件的由G的全體西羅p-子集構(gòu)成的集合,即G的所有封閉p-子集H的集合。為了推廣群中西羅第三定理,這里需要特別要求p滿足不整除nG//H,其中G//H={gH|g∈G},gH={(yH,zH)|z∈yg},yH={t∈X|(y,t)∈H},yg={z∈X|(y,z)∈g}。

在綜合上述兩項(xiàng)重要工作的基礎(chǔ)上,2002年坂內(nèi)英一的學(xué)生平坂貢(M.Hirasaka)與齊尚等人在論文《有限群中西羅定理到結(jié)合方案上的推廣》(AGeneralizationofSylow’sTheoremsonFiniteGroupstoAssociationSchemes)[24]中將有限群上西羅定理推廣到結(jié)合方案上：

設(shè)X是有限集,G是X×X的劃分,且??G和1X={(x,x)|x∈X}∈G,(X,G)是有限結(jié)合方案,p是素?cái)?shù),P為G的一個(gè)封閉p-子集。如果G是p-價(jià)的,則有下列結(jié)論：

(1)若P?Sylp(G),則存在G的一個(gè)封閉p-子集P′使得P?P′?NG(P)且pnP=nP′,其中NG(P)={g∈G|gPg*?P}。

(3)若P∈Sylp(G),令N=NG(P),則nG//N≡1(p)且nG//N≡|{gPg*|g∈G}∩Sylp(G)|(p)。

結(jié)合方案中的西羅定理與群論中的西羅定理有何聯(lián)系呢?結(jié)合方案中西羅第一定理借鑒了群論中的柯西定理和正規(guī)化子,探討了結(jié)合方案中封閉p-子集的存在性問題。結(jié)合方案中西羅第二定理討論了結(jié)合方案中滿足特定關(guān)系的封閉p-子集之間的關(guān)系,得到了類似群中的共軛關(guān)系P′=gPg*,與群論中西羅p-子群之間的共軛關(guān)系H=xPx-1異曲同工。結(jié)合方案中西羅第三定理借助了整除性質(zhì),探討了西羅p-子集的個(gè)數(shù)問題(結(jié)合方案中沒有軌道的定義)。

總之,將西羅定理從有限群推廣到結(jié)合方案上,表明了結(jié)合方案可以融合某種抽象的結(jié)構(gòu)理論,這些結(jié)構(gòu)理論以群理論為模型展開。類似西羅定理在群論中的地位與作用,在這種推廣意義下的西羅定理必然會(huì)對(duì)結(jié)合方案的結(jié)構(gòu)理論研究和分類研究提供有力的工具和思想的引領(lǐng)。

2.4 群與結(jié)合方案的特征標(biāo)理論

在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方面,結(jié)合方案比有限群具有更一般的結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)不是任意的一般,而是具有類群的結(jié)合性和逆元性的結(jié)構(gòu)。這使得在結(jié)合方案的研究過程中,有限群理論經(jīng)常會(huì)隱式地出現(xiàn)。在群論中,時(shí)常能挖掘到與結(jié)合方案理論對(duì)應(yīng)的相似的群理論,最典型的就是由弗羅貝尼烏斯、舒爾和伯恩賽德等人建立的有限群特征標(biāo)理論。特征標(biāo)理論具有怎樣的研究?jī)r(jià)值呢?在群論的研究中,往往需要針對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行計(jì)算,這對(duì)刻畫群是至關(guān)重要的。群的特征標(biāo)表可以透視出眾多群結(jié)構(gòu)及群性質(zhì)方面的信息,堪稱群表示論最有力的工具之一,例如通過特征標(biāo)表可以查出一個(gè)群的所有正規(guī)子群。

在代數(shù)組合的結(jié)構(gòu)研究中,眾多數(shù)學(xué)家借鑒了有限群研究中利用特征標(biāo)理論研究群結(jié)構(gòu)的思想和方法,利用結(jié)合方案的特征標(biāo)表對(duì)結(jié)合方案的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算研究。20世紀(jì)80年代早期,坂內(nèi)英一認(rèn)為對(duì)已知結(jié)合方案的參數(shù)以及特征標(biāo)表的計(jì)算是可行的,于是他開始研究群本原交換結(jié)合方案的主要來(lái)源,收集已知的群本原交換結(jié)合方案以及計(jì)算它們的特征標(biāo)表,因?yàn)檠芯刻卣鳂?biāo)表的構(gòu)造是系統(tǒng)研究這些結(jié)合方案及其分類的至關(guān)重要的第一步。隨著大量成對(duì)結(jié)合方案的例子被發(fā)現(xiàn),其中“較大”結(jié)合方案的特征標(biāo)表在某種程度上可以被“較小”結(jié)合方案的特征標(biāo)表所決定。由于代數(shù)組合的特征標(biāo)理論是有限群特征標(biāo)理論的自然概括,所以有限群的一些性質(zhì)可以在結(jié)合方案的框架中進(jìn)行解釋。

此外,在代數(shù)組合中還有一些令人驚喜的發(fā)現(xiàn),比如許多例子表明結(jié)合方案的特征矩陣P和Q的值都在分圓域中,但是這是否總是正確的(對(duì)有限群成立)?這個(gè)問題一直困擾著代數(shù)組合的研究者們。1980年5月,諾頓(S.P.Norton)在Oberwolfach會(huì)議上提出了這個(gè)問題。這個(gè)問題的非凡意義在于,其肯定的答案將意味著結(jié)合方案的理論可以非常類似于群論。因此,很多學(xué)者將“能否對(duì)特征標(biāo)表進(jìn)行分類”視為邁向“結(jié)合方案分類”的關(guān)鍵第一步,然而這個(gè)問題的前期未決之謎在于“一個(gè)交換結(jié)合方案的特征標(biāo)表是否被包含在一個(gè)分圓域中?”盡管這項(xiàng)研究工作還在進(jìn)展中,但是從研究的發(fā)展過程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)代數(shù)組合的研究者們遇到一些關(guān)鍵問題或者處于迷茫的時(shí)候,會(huì)試圖在群論中找到開啟思想大門的鑰匙。事實(shí)證明這樣的做法已經(jīng)取得了一些豐碩的成果。當(dāng)然,新學(xué)科的興起也勢(shì)必激起對(duì)群論新視角的探究思考。

2.5 結(jié)合方案的對(duì)偶性

關(guān)于對(duì)偶性,川田在早期也證明了交換C-代數(shù)的一個(gè)對(duì)偶性,它是由非緊拓?fù)淙豪碚撝兄腡annaka對(duì)偶性所引發(fā)的。川田證明的這種對(duì)偶性本質(zhì)上就是交換結(jié)合方案的對(duì)偶性,并在論文[16]中完成了大量的計(jì)算,只可惜這篇論文當(dāng)時(shí)并沒有引起太多的關(guān)注。事實(shí)上,結(jié)合方案的代數(shù)對(duì)偶結(jié)構(gòu)可以看作是舒爾環(huán)在置換群背景中的拓展[25],即有限群的不可約特征標(biāo)與共軛類之間的對(duì)偶性。類似地,一般(交換)結(jié)合方案也有對(duì)偶性。在代數(shù)組合的研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情形,即用結(jié)合方案比用群論的語(yǔ)言描述更自然。正如1973年德爾薩特在他的博士論文中通過研究結(jié)合方案的對(duì)稱性質(zhì),從代數(shù)角度在結(jié)合方案框架下定義了e-碼和t-設(shè)計(jì),其中e-碼定義在P-多項(xiàng)式結(jié)合方案上,而t-設(shè)計(jì)定義在Q-多項(xiàng)式結(jié)合方案上,把Q-多項(xiàng)式結(jié)合方案定義為P-多項(xiàng)式結(jié)合方案的對(duì)偶。[20]而后德爾薩特以P-多項(xiàng)式結(jié)合方案和Q-多項(xiàng)式結(jié)合方案作為底空間,建立了編碼理論和設(shè)計(jì)理論之間的對(duì)偶。憑借這種對(duì)偶性,德爾薩特將編碼理論和設(shè)計(jì)理論在結(jié)合方案的框架下進(jìn)行了統(tǒng)一研究,這項(xiàng)工作成為了代數(shù)組合發(fā)展史中最精彩的篇章之一。分析德爾薩特理論的成功之處,其中一個(gè)重要的原因就是他僅僅用代數(shù)的方式定義了二元概念,即在群論背景下,把群視為一個(gè)帶有二元運(yùn)算的集合,這是一種很好的研究方法。對(duì)于某些群,可以通過構(gòu)造一些設(shè)計(jì),使得這些設(shè)計(jì)上的自同構(gòu)群恰好是滿足某種研究目的的群,這比僅僅從群論角度考慮群的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單許多,也更為具體。從設(shè)計(jì)的角度對(duì)群論產(chǎn)生影響,這樣的研究方式,早在馬蒂厄群(Mathieu群) 上曾有過突出的表現(xiàn)。1861年馬蒂厄(é.Mathieu,1835—1890) 構(gòu)造了幾個(gè)多重可遷群,特別地定義了5-可遷置換群M12和M24[26-28],并給出了它們的生成元集合。1938年維特(E.Witt,1911—1991) 構(gòu)造了一個(gè)5-(12,6,1) 設(shè)計(jì)和一個(gè)5-(24,8,1) 設(shè)計(jì),并證明它們的自同構(gòu)群分別是M12和M24,于是設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)賦予了馬蒂厄群一個(gè)很好的具體解釋。在此基礎(chǔ)之上,結(jié)合德爾薩特創(chuàng)立的編碼和設(shè)計(jì)間的對(duì)偶理論,特別是組合t-設(shè)計(jì)(Johnson結(jié)合方案J(v,k)上的t-設(shè)計(jì)) 的自同構(gòu)群將有助于發(fā)現(xiàn)更多的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu),從而助力群論思想及方法在代數(shù)組合領(lǐng)域的滲透和應(yīng)用。

3 結(jié) 語(yǔ)

代數(shù)組合作為一門具有代數(shù)化思想的交叉學(xué)科,表面上看似沒有群的定義、性質(zhì)和結(jié)構(gòu),但是其學(xué)科體系中內(nèi)蘊(yùn)著強(qiáng)大的群論思想和結(jié)構(gòu),其中的奧妙之處值得精研深思。在羅塔、斯坦利、維蘭德、川田、希格曼、坂內(nèi)英一、德爾薩特等眾多學(xué)者的共同努力下,促進(jìn)了代數(shù)學(xué)與組合學(xué)的交叉融合,使得在代數(shù)組合四大經(jīng)典問題(刻畫問題、分類問題、結(jié)構(gòu)問題、實(shí)現(xiàn)問題) 的研究中繼承了群論的思想和方法,推廣了群論的性質(zhì)。在代數(shù)組合學(xué)科體系中,結(jié)合方案具有類群的結(jié)合性和逆元性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),因此基于結(jié)合方案的視角對(duì)代數(shù)組合中群論思想和方法進(jìn)行剖析,尋本究源找到與結(jié)合方案理論對(duì)應(yīng)的相似群理論,梳理出代數(shù)組合與群論的共同邏輯基礎(chǔ)、共同概念基礎(chǔ)和共同方法基礎(chǔ),進(jìn)而為代數(shù)組合的發(fā)展提供價(jià)值觀并指引方向。

(1)結(jié)合方案是有限集合X以及X上滿足一定公理的關(guān)系集合{Ri}0≤i≤d。借助群論的思想和方法,將任意的可遷群或置換群G作用在X×X上產(chǎn)生的軌道記為結(jié)合類集合或結(jié)合關(guān)系集合,研究這些關(guān)系以及這些關(guān)系之間所具有的性質(zhì),并把這些性質(zhì)一般化,進(jìn)而推廣到一般的組合結(jié)構(gòu)中,這就是群論視角下結(jié)合方案概念的內(nèi)涵。

(2)“一個(gè)交換結(jié)合方案的特征標(biāo)表是否被包含在一個(gè)分圓域中”可以作為衡量“模仿有限群理論研究結(jié)合方案”這個(gè)策略的有效性的試金石。

(3)在結(jié)合方案中,本原結(jié)合方案好比群論中的單群,任何(交換的) 結(jié)合方案都是由一系列本原結(jié)合方案得到的。深入挖掘群本原交換結(jié)合方案以及計(jì)算它們的特征標(biāo)表,是系統(tǒng)研究這些結(jié)合方案及其分類的至關(guān)重要的第一步。

(4)將有限群中的西羅定理推廣到結(jié)合方案上,將為結(jié)合方案的結(jié)構(gòu)和分類研究提供有力的工具。

(5)類似有限群的不可約特征標(biāo)與共軛類之間的對(duì)偶性,代數(shù)組合中最為精彩的篇章之一是德爾薩特建立了編碼理論和設(shè)計(jì)理論之間的對(duì)偶,憑借這種對(duì)偶性,將編碼理論和設(shè)計(jì)理論在結(jié)合方案的框架下進(jìn)行了統(tǒng)一研究,為現(xiàn)代編碼理論和設(shè)計(jì)理論的研究開辟了一片新天地。

事實(shí)上,在代數(shù)組合中還有很多的“群論”思想和方法未曾一一列出,但是單從上述典型問題的剖析便可以體會(huì)到群論精髓滲透的威力。總之,代數(shù)化是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要特征。隨著群論被多向性地滲透與應(yīng)用,其自身也在不斷地從其他領(lǐng)域吸取新思想、新方法。因此,“交叉、融合、統(tǒng)一”的傾向成為了群論在20世紀(jì)發(fā)展過程中的重要特征。從數(shù)學(xué)史的角度梳理分析交叉學(xué)科的發(fā)展歷程,是時(shí)代賦予數(shù)學(xué)史研究工作的新的使命,且具有極為重要的研究意義。正是由于群論與組合學(xué)家們?cè)陂L(zhǎng)期研究工作中的思維碰撞,使得很多經(jīng)典的群論思想和方法得以認(rèn)同、秉持、繼承、豐富、發(fā)展以及傳播,使得代數(shù)組合在群論輻射下的發(fā)展歷程可為學(xué)科間交叉應(yīng)用提供寶貴的歷史經(jīng)驗(yàn)。