基于“U型學(xué)習(xí)”方式的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計

【摘 要】新高考以“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”為命題理念，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師精心設(shè)計數(shù)學(xué)探究活動，開展探究式教學(xué)，可以有效提升學(xué)生的“四基”“四能”.基于“U型學(xué)習(xí)”方式，對一道“分層隨機抽樣樣本方差”試題的求解公式作探究式教學(xué)設(shè)計，揭示了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效路徑和復(fù)習(xí)范式.

【關(guān)鍵詞】“U型學(xué)習(xí)”；高三數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)范式；探究式教學(xué)

新高考以“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”為命題理念，通過設(shè)置促使考生進行探究活動的“復(fù)雜的生活情境或?qū)W習(xí)探索情境”［1］的試題，反映其必備知識、遷移能力、思維品質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng).因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師要精心設(shè)計數(shù)學(xué)探究活動，開展探究式教學(xué)，倡導(dǎo)通過獨立思考、自主學(xué)習(xí)、閱讀自學(xué)、操作實踐、問題探究、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，以達到提升學(xué)生“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力）的目的.深度教學(xué)“U型學(xué)習(xí)”理念為實現(xiàn)這一目標提供了堅實理論基礎(chǔ)，其主張學(xué)生學(xué)習(xí)過程經(jīng)歷“還原—理解—探究—體驗—反思”的深度學(xué)習(xí)曲線［2］.凸顯在教師的引領(lǐng)下、在挑戰(zhàn)性的進階學(xué)習(xí)任務(wù)（活動）中學(xué)生的主體地位，強調(diào)理解、高階學(xué)習(xí)，注重探索性、自主性及教育的育人價值.筆者以2022年12月19日“2023屆廣州市高三年級調(diào)研測試”中一道“分層隨機抽樣樣本方差”試題的解法推廣探究教學(xué)為例，以發(fā)展和提升學(xué)生“四基”“四能”為目標，基于深度教學(xué)“U型學(xué)習(xí)”方式設(shè)計了試題探究的教學(xué)方案，供同行討論.

1 教學(xué)立意與探究問題

基于深度教學(xué)“U型學(xué)習(xí)”方式的教學(xué)立意，教學(xué)過程大致經(jīng)歷“下沉—探底—上浮”三個階段，對應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)分別是“情境與問題—探究與合作—應(yīng)用與遷移—總結(jié)與反思”.其中，“下沉”亦即“還原階段”：將新授知識還原到學(xué)生的認知起點，與實際生活或?qū)W生實際建立聯(lián)系，促進理解；“探底”亦即“探究階段”：包含問題探究與應(yīng)用遷移；“上浮”亦即“反思階段”：即強化學(xué)習(xí)的反思、感悟，進行提煉總結(jié)，形成能力，發(fā)展素養(yǎng).

探究式教學(xué)，教師首先要為學(xué)生確定“依標靠本”、導(dǎo)向正確的探究問題.探究問題要以課標要求、鏈接現(xiàn)行教材為基本原則，要有問題解決的迫切性和挑戰(zhàn)性，大小適度；能為學(xué)生提供自由表達、質(zhì)疑探究、討論問題的機會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動來解決實際問題，從而提升能力，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)［3］.

本節(jié)課探究問題為如下考題：考題 （“2023屆廣州市高三年級調(diào)研測試”第6題）

為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為（ ）. A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75

試題分析 本題主要考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計中均值、方差的概念以及分層隨機抽樣中各層方差與樣本方差之間的關(guān)系；運算求解能力、推理論證能力以及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).屬中檔題，用方差定義求解，計算量較大；若基于方差定義的理解，先對“分層隨機抽樣中總樣本方差的計算公式”作簡要推理、推廣（較易），再代值求解，計算量較??；其探究過程可積累更多優(yōu)質(zhì)解題思路和基本活動經(jīng)驗，進一步提升“四基”“四能”.

2 考情分析與學(xué)習(xí)目標

2.1 研究課標，掌握考情

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（下簡稱《課程標準》）對上述知識點的要求是“掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差”［4］.從近幾年高考和?？歼x填題分析，主要側(cè)重對其“雙基”（概念、公式的理解及基本應(yīng)用）的考查，屬中偏下難度題型.2.2 明確目標，突出能力從知識層面上，通過本課學(xué)習(xí)學(xué)生熟練理解、掌握“分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差”；從發(fā)展能力的角度上，依托“2023屆廣州市高三年級調(diào)研測試”題第6題提供的素材，通過循序漸進的問題驅(qū)動，培養(yǎng)觀察分析、拓展延伸、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論與新方法的能力，培養(yǎng)抽象概括、轉(zhuǎn)化與化歸以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

3 教學(xué)設(shè)計與深度學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)1 情境呈現(xiàn)，激發(fā)沖突

例題：（見“考題”，略）.

問題1 此題不難，但考場中很多人難以順利、快速得分.你能分享自己的求解過程嗎？

師生活動 學(xué)生積極展示、分享解答過程；教師引而不發(fā)，側(cè)重引導(dǎo)，比較分析解題思路、計算量以及考場應(yīng)試情境下的作答狀況.多數(shù)學(xué)生基于“方差”的定義，有下列求解方式：

追問1 此問題屬于“分層隨機抽樣樣本方差問題”.考場上，按上述思路求解將導(dǎo)致“會而不對”“對而費時”等.其主要原因在于我們平時對其學(xué)習(xí)缺少充分和深入探究、提煉并總結(jié).“分層隨機抽樣樣本方差問題”有沒有求解公式，只需簡單代入數(shù)值求解？

設(shè)計意圖 此為“U型學(xué)習(xí)”的“下沉”，亦即“情境與問題”的“還原起始階段”.創(chuàng)設(shè)問題探究情境，激發(fā)認知沖突；幫助學(xué)生自主梳理和熟悉樣本均值、方差等“雙基”；同時為探究、提煉“分層隨機抽樣樣本方差”公式做準備，激發(fā)探究意識.環(huán)節(jié)2 自主研學(xué)，溫故知新

問題2 本題是根據(jù)人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修二（2019年版新教材A版）第212頁“例6”改編而來.請自主閱讀、研究教科書第212頁“例6”（與“考題”同類同質(zhì)，題略）相關(guān)內(nèi)容，并完成以下任務(wù)：

追問3 “第11題（2）”中，若記f1，f2，f3分別為各層數(shù)據(jù)個數(shù)占比，則其結(jié)論又是什么形式？（答案：s2=f1［s21+（－w）2］+f2［s22+（－w）2］+

設(shè)計意圖 此為“U型學(xué)習(xí)”的“下沉”，亦即“情境與問題”的“還原階段”，將問題與學(xué)生的認知起點建立聯(lián)系，促進理解，形成問題探究的基本活動經(jīng)驗.“例6”是基于具體的、“分2層隨機抽樣樣本方差”問題，學(xué)生通過自學(xué)其詳解，可以溫故、理解而遷移求解“考題”；“第11題”是基于抽象的、“分3層隨機抽樣樣本方差”問題，學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從“2層”到“3層”的進階學(xué)習(xí)，為其后進階到“分t層隨機抽樣樣本方差”的問題探究自然過渡.任務(wù)驅(qū)動：引導(dǎo)學(xué)生明確高三復(fù)習(xí)充分關(guān)注、回歸、鏈接教材的重要性，培養(yǎng)其閱讀教科書的習(xí)慣；發(fā)展學(xué)生“四基”，培養(yǎng)學(xué)生自主構(gòu)建基本知識、思想方法、研究過程框架的能力.環(huán)節(jié)3 互動探究，動態(tài)生成

問題3 根據(jù)上述對教材指定內(nèi)容的閱讀、研學(xué)、感悟，請嘗試探究：

在總體劃分為t層的分層抽樣過程中：記第k（k=1，2，…，t）層內(nèi)樣本數(shù)據(jù)的均值為wk（層均值），方差為s2k（層方差），數(shù)據(jù)個數(shù)占比為fk（層加權(quán)系數(shù)）；樣本數(shù)據(jù)均值為w（樣本均值），其方差s2（樣本方差）.那么： .

設(shè)計意圖 此為“U型學(xué)習(xí)”的“探底”，亦即“探究與合作”階段.通過之前的自主構(gòu)建基本知識、思想方法、研究過程框架的初步鋪墊和系列設(shè)問對探究過程難點問題的引導(dǎo)解決，形成探究過程的初步理論成果；提升學(xué)生“四能”、理性思維水平，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、創(chuàng)新能力等.

問題4 你能類比“定理1”的探究過程，探究“分層隨機抽樣中樣本均值的計算公式”（可記為“定理2”）嗎？（答案：w=∑t/k=1［fk·wk］）.

追問5 對公式基于理解性記憶，將記得更牢固.你從哪方面理解公式？能描述“定理1”“定理2”兩個公式結(jié)構(gòu)上的相似之處嗎？

（參考答案：從公式的推導(dǎo)過程理解，其結(jié)構(gòu)都是各層“對應(yīng)式子”的加權(quán)平均數(shù)形式；基于上述定理的證明過程的理解，比純機械記憶更重要.）

追問6 為針對當(dāng)下新冠疫情“陽性”感染問題作數(shù)據(jù)調(diào)查.某市連續(xù)幾天收集數(shù)據(jù)，得到了每天數(shù)據(jù)的樣本均值和方差，大數(shù)據(jù)時代：應(yīng)當(dāng)如何得到這幾天所有數(shù)據(jù)的樣本均值和方差？

（參考答案：首先計算“這幾天”的數(shù)據(jù)總個數(shù)，從而求“每天”數(shù)據(jù)占比，即上述各定理中的“權(quán)比”；利用定理2即可求得“這幾天”所有數(shù)據(jù)的“樣本均值”；由“每天”數(shù)據(jù)的“樣本均值”、“這幾天”所有數(shù)據(jù)的“樣本均值”、各天“權(quán)比”及其“方差”，利用“定理1”即可求得“這幾天”所有數(shù)據(jù)的方差.）

師生活動 學(xué)生基于類比“環(huán)節(jié)2”中“任務(wù)2（1）”的論證求解，以及“定理1”的探究過程基本框架，先獨立完成；之后，小組合作完善，得出結(jié)論；教師引導(dǎo)、組織.

設(shè)計意圖 此為“U型學(xué)習(xí)”的“探底”中“應(yīng)用與遷移”階段.首先，通過類比探究，深化探究成果，也是對基本思想、基本活動經(jīng)驗的應(yīng)用遷移；其次，“追問5”強化定理基于理解和公式特征的記憶，“追問6”是源自《課程標準》的“案例13”，對定理的應(yīng)用與遷移，也是對此兩個定理的探究必要性的回應(yīng).強化學(xué)以致用的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新結(jié)論與新方法的能力；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動學(xué)習(xí)主動性、提高數(shù)學(xué)思維的參與度；強化基本活動經(jīng)驗和基本思想，以達到觸類旁通的效果.環(huán)節(jié)4 梳理整合，構(gòu)建體系

問題5 本節(jié)課，我們得到了什么理論成果？研究過程中，采用了什么方法？

追問7 這些理論成果之間有怎樣的關(guān)系？

追問8 你能用思維導(dǎo)圖梳理表示這些理論成果、研究路徑或方法嗎？

師生活動 問題驅(qū)動，學(xué)生回顧、梳理知識成果、研究路徑及方法，制作思維導(dǎo)圖，展示、分享.

經(jīng)完善，本節(jié)課研究成果、研究路徑等如下：（如圖1）

定理 （分層隨機抽樣的樣本均值與方差）在總體劃分為t層的分層抽樣過程中：記第k（k=1，2，…，t）層內(nèi)樣本數(shù)據(jù)的均值為wk（層均值），方差為s2k（層方差），數(shù)據(jù)個數(shù)占比為fk（層加權(quán)系數(shù)）；樣本數(shù)據(jù)均值為w（樣本均值），其方差s2（樣本方差）.那么：

（1）層均值對樣本均值差的平方與層方差的和的加權(quán)平均數(shù)，即為樣本方差的值，

（2）分層隨機抽樣中樣本均值的計算公式為w=∑t/k=1（fk·wk）.

設(shè)計意圖 此為“U型學(xué)習(xí)”的“上浮階段”，構(gòu)建本課整體的探究體系，歸納研究思路、研究方法，形成基本的活動經(jīng)驗，提高“四能”.

環(huán)節(jié)5 布置作業(yè)，應(yīng)用遷移 （略.）4 教學(xué)設(shè)計的幾點思考

4.1 開展探究式教學(xué)，是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、完善認知結(jié)構(gòu)、深化解題認知的可靠保障

探究式教學(xué)的探究對象是基于學(xué)生的認知實際水平、學(xué)用結(jié)合中問題解決的沖突矛盾等視域下產(chǎn)生的，具有較強的價值、目的導(dǎo)向；探究式教學(xué)充分關(guān)注知識的來龍去脈、形成過程.探究式教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，更有助于學(xué)生挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系從而促進知識的同化和遷移，能使學(xué)生在探究過程中完善知識和思維系統(tǒng)，促進學(xué)生積極合作、交流.

4.2 構(gòu)建“U型學(xué)習(xí)”方式下的自主型復(fù)習(xí)課范式，是提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課質(zhì)量的有效路徑

“U型學(xué)習(xí)”方式的三個主要階段（“下沉—探底—上浮”）分別強調(diào)基于聯(lián)系理解知識、基于主動探究提升能力、基于反思學(xué)習(xí)感悟內(nèi)化.因此，學(xué)生自主型復(fù)習(xí)課比傳統(tǒng)型復(fù)習(xí)課更能發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”.高三數(shù)學(xué)自主型復(fù)習(xí)課堂與傳統(tǒng)型復(fù)習(xí)課堂主要流程分別為“自主研學(xué)，溫故知新→互動探究，動態(tài)生成→梳理整合，構(gòu)建體系→問題解決，反思升華→目標檢測，檢驗效果→布置作業(yè)，應(yīng)用遷移”等、“知識梳理，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)→典例精講，變式訓(xùn)練→方法提煉，歸納總結(jié)→當(dāng)堂檢測，鞏固拓展”等.前者相較于后者，主要突顯從“知識立意→能力素養(yǎng)立意”“模仿重復(fù)→探究發(fā)現(xiàn)”的轉(zhuǎn)變，更體現(xiàn)教師主導(dǎo)和學(xué)生主體、自主構(gòu)建以及強化感悟.

總之，我們認為基于深度教學(xué)“U型學(xué)習(xí)”方式的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計，強調(diào)探究式教學(xué)；特別關(guān)注“四基”“四能”：培養(yǎng)學(xué)生的知識整合能力和遷移能力，立足于培養(yǎng)學(xué)生“四能”的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力以及創(chuàng)新思維能力，“學(xué)生自行思考，像一名數(shù)學(xué)家那樣去思考數(shù)學(xué)，……，投入到獲得知識的過程中去”（布魯納），使課堂效率和效益實現(xiàn)最大化.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，教師若更多地把視點放在通過學(xué)生對知識的發(fā)現(xiàn)、提煉、領(lǐng)悟和基于聯(lián)系的自主建構(gòu)上來達到知識的回顧、鞏固、再學(xué)習(xí)、再認識的動態(tài)過程上，多在學(xué)習(xí)策略、思考方法和探索途徑上下功夫，那么高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)才會有“跳出題?！钡南Ｍ?，進而達到培養(yǎng)學(xué)生能力、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的目的［5］.

參考文獻

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［4］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［5］吳鍔.基于“四基”的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（12）：47.

作者簡介

吳光潮（1979—），男，湖北安陸人，中學(xué)高級教師;廣州市黃埔區(qū)教育研究院中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，廣州市第十六屆中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會常務(wù)理事，華南師范大學(xué)教育學(xué)部兼職研究員；主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；獲高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課競賽（講課）國家二等獎1次，省部級一等獎2次、三等獎1次，市級一等獎多次；發(fā)表專業(yè)論文20余篇（人大復(fù)印資料轉(zhuǎn)載多篇）；主持省級課題多項.

基金項目 廣東省2022年度教育科學(xué)規(guī)劃課題（教育綜合改革專項）“基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)課堂作業(yè)設(shè)計研究”（2022JKZG087）.