以“任意角”為例看深度學(xué)習(xí)之“深”

鄭金賓　鄭成鸞　趙維亮

【摘 要】基于高中數(shù)學(xué)課堂淺層學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，對(duì)深度學(xué)習(xí)的課堂表現(xiàn)樣態(tài)進(jìn)行了深入研究，提出了深度學(xué)習(xí)的八種表現(xiàn)樣態(tài)，即深在主題、結(jié)構(gòu)、聯(lián)系、思想、活動(dòng)、批判、遷移、反思.以任意角為例具體闡述了深度學(xué)習(xí)的發(fā)生機(jī)制，構(gòu)建了深度學(xué)習(xí)的發(fā)生路徑，有助于一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師準(zhǔn)確把握深度學(xué)習(xí)要求，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);任意角

一線(xiàn)教師常常有這樣的困惑與苦惱：我的課堂是屬于淺層學(xué)習(xí)，還是屬于深度學(xué)習(xí)？與淺層學(xué)習(xí)比較，深度學(xué)習(xí)究竟“深”在哪里？準(zhǔn)確把握深度學(xué)習(xí)之“深”，是有效落實(shí)深度學(xué)習(xí)要求、構(gòu)建深度學(xué)習(xí)實(shí)施路徑、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提.現(xiàn)以人教A版（必修第一冊(cè)）“5.1.1任意角”為例，談?wù)勆疃葘W(xué)習(xí)的表現(xiàn)樣態(tài)，以及如何在學(xué)習(xí)的“深度”上發(fā)力，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正深度發(fā)生.1 深度學(xué)習(xí)深在“主題”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往看不到單元主題的學(xué)習(xí)，課堂上呈現(xiàn)的是一些孤立的知識(shí)點(diǎn)；而深度學(xué)習(xí)的課堂從提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度出發(fā)，通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體把握，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組、優(yōu)化，以單元主題為單位進(jìn)行設(shè)計(jì)與呈現(xiàn)，給學(xué)生以清晰的單元主題學(xué)習(xí)視角，使得課時(shí)在單元中找到“固著點(diǎn)”“價(jià)值點(diǎn)”，著重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)形成系統(tǒng)的認(rèn)知，從整體的視角理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)的全過(guò)程，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性理解，使學(xué)生既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林.

“任意角”是三角函數(shù)單元的大概念，是三角函數(shù)教學(xué)的種子課.三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型［1］，任意角的教學(xué)應(yīng)該放在“三角函數(shù)”主題中進(jìn)行設(shè)計(jì).如果課堂上舍棄任意角的主題屬性，單刀直入介紹任意角的相關(guān)知識(shí)，孤立地從任意角知識(shí)屬性設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，學(xué)生就不可能從整體上把握任意角的內(nèi)涵與價(jià)值.可以列舉現(xiàn)實(shí)世界中一些具有周期性的現(xiàn)象，然后指出它們的共同點(diǎn)：周期性;明確本單元的學(xué)習(xí)主題：三角函數(shù)，并提出以下問(wèn)題引發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考：

已知點(diǎn)P在半徑為r的圓O上繞著圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)回答：

（1）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)有什么規(guī)律？

（2）點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何表示點(diǎn)P的位置？用什么量來(lái)表示？

教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)具有周而復(fù)始的變化規(guī)律，點(diǎn)P的位置可以借助角的大小變化進(jìn)行刻畫(huà).這樣，從單元主題的角度設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)，使得課時(shí)教學(xué)緊密地“固著”在單元主題教學(xué)中，課時(shí)教學(xué)緊緊圍繞單元主題教學(xué)展開(kāi)，既突出了三角函數(shù)的作用、價(jià)值與意義，又使得任意角的學(xué)習(xí)任務(wù)更加明確，單元主題與課時(shí)設(shè)計(jì)渾然一體、相輔相成.

2 深度學(xué)習(xí)深在“結(jié)構(gòu)”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往看不到結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容和學(xué)生活動(dòng)，教師追求學(xué)科知識(shí)逐“點(diǎn)”解析、學(xué)科技能逐“項(xiàng)”訓(xùn)練的簡(jiǎn)單線(xiàn)性排列和連接；而深度學(xué)習(xí)的課堂重視學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的整合與結(jié)構(gòu)化，強(qiáng)調(diào)改變知識(shí)、技能的簡(jiǎn)單線(xiàn)性排列方式，改變課堂教學(xué)內(nèi)容分散和教學(xué)過(guò)程不連續(xù)問(wèn)題，構(gòu)建有邏輯、有層次、有體系的知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生形成的往往是關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、抽象拓展結(jié)構(gòu)，能主動(dòng)引發(fā)自身復(fù)雜的外顯學(xué)習(xí)反應(yīng)，并能對(duì)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行價(jià)值評(píng)價(jià)與確認(rèn)，提升分析、綜合、比較、評(píng)價(jià)、創(chuàng)新等高階思維能力.

任意角屬于概念范疇，涵蓋著“背景—定義—分類(lèi)—運(yùn)算—性質(zhì)”的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師要利用元認(rèn)知提示語(yǔ)，啟發(fā)學(xué)生思考：要完成任意角概念的建構(gòu)，需要完成哪些事情？結(jié)構(gòu)性問(wèn)題1 學(xué)生在初中接觸的角都在0°～360°，關(guān)于角的認(rèn)識(shí)已形成一定的思維定勢(shì)，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問(wèn)題：角的概念為什么要擴(kuò)充？

結(jié)構(gòu)性問(wèn)題2 根據(jù)角的動(dòng)態(tài)定義，刻畫(huà)一個(gè)角，需要知道旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問(wèn)題：如何擴(kuò)充任意角的概念？“任意”體現(xiàn)在哪些方面？

結(jié)構(gòu)性問(wèn)題3 任意角概念中包含的一切事物，需要通過(guò)其屬性的區(qū)別表示出來(lái)分類(lèi)研究，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問(wèn)題：如何將任意角進(jìn)行分類(lèi)？結(jié)構(gòu)性問(wèn)題4 角的范圍擴(kuò)展到任意角后，角的運(yùn)算意義也隨之得到擴(kuò)展，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問(wèn)題：如何定義任意角的加法和減法運(yùn)算？

結(jié)構(gòu)性問(wèn)題5 在平面直角坐標(biāo)系中，“始邊、終邊都相同”的任意角有無(wú)數(shù)多個(gè)，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問(wèn)題：終邊相同的任意角有什么性質(zhì)？

通過(guò)以上結(jié)構(gòu)性問(wèn)題的設(shè)置，深刻揭示任意角概念的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生形成關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)性、拓展型的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于把握任意角的本質(zhì)，提升結(jié)構(gòu)化認(rèn)知能力和水平.3 深度學(xué)習(xí)深在“聯(lián)系”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往看不到學(xué)科知識(shí)間的聯(lián)系，或者聯(lián)系比較淺顯、松散、脆弱；而深度學(xué)習(xí)重視在單元學(xué)習(xí)中進(jìn)行多角度、多維度的聯(lián)系，認(rèn)為聯(lián)系是學(xué)習(xí)發(fā)生的必要條件，聯(lián)系既是手段，又是目的，教學(xué)中不為聯(lián)系而聯(lián)系，而以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向?qū)嵤┥疃嚷?lián)系，在建立不同知識(shí)聯(lián)系的過(guò)程中，深度聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程中的知識(shí)載體、問(wèn)題設(shè)計(jì)、思維方法、數(shù)學(xué)思想、核心素養(yǎng)，觸及學(xué)生思維深處.

在任意角的學(xué)習(xí)中，任意角、正角、負(fù)角、零角、象限角、軸線(xiàn)角、終邊相同的角等，這些概念是如何提出的？它們之間有怎樣的內(nèi)在關(guān)聯(lián)？任意角的運(yùn)算是如何規(guī)定的？這樣的規(guī)定與以前學(xué)習(xí)的運(yùn)算有怎樣的內(nèi)在的關(guān)聯(lián)？教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)面對(duì)這些關(guān)聯(lián)性問(wèn)題.

關(guān)聯(lián)點(diǎn)1 通過(guò)實(shí)際問(wèn)題（體操中的人體旋轉(zhuǎn)、齒輪旋轉(zhuǎn)、鐘表指針旋轉(zhuǎn)等）建立任意角與生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，基于問(wèn)題解決的需要引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引出角概念的推廣問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)概念擴(kuò)充的必要性，加深對(duì)“角是任意的”的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)模型思想.

關(guān)聯(lián)點(diǎn)2 圍繞任意角要素——旋轉(zhuǎn)量與旋轉(zhuǎn)方向建立任意角與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，類(lèi)比正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定，用符號(hào)表示旋轉(zhuǎn)方向，揭示任意角的內(nèi)涵，讓學(xué)生體會(huì)概念規(guī)定的合理性，加深對(duì)“任意角是轉(zhuǎn)出來(lái)的”的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).關(guān)聯(lián)點(diǎn)3 為了能把角放在一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行討論，建立任意角與平面直角坐標(biāo)系的聯(lián)系，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，定義象限角、軸線(xiàn)角，揭示概念的外延，讓學(xué)生體會(huì)概念生成的自然性，加深對(duì)“任意角是有類(lèi)別的”的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)直觀(guān)想象素養(yǎng).

關(guān)聯(lián)點(diǎn)4 初中學(xué)過(guò)的角的和、差、倍角運(yùn)算，角的運(yùn)算不考慮方向，而任意角是“既有大小又有方向的角”，建立任意角與實(shí)數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系，類(lèi)比實(shí)數(shù)的加、減法得到任意角的加、減法，讓學(xué)生體會(huì)概念運(yùn)算的吻合性，加深“任意角是可以運(yùn)算的”的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

關(guān)聯(lián)點(diǎn)5 在平面直角坐標(biāo)系中，始邊與終邊是任意角的組成要素，建立“始邊、終邊都相同”的任意角的聯(lián)系，尋求這些角在代數(shù)表示上共同的量化表征形式，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，讓學(xué)生體會(huì)概念要素的應(yīng)用性，加深對(duì)“任意角是周而復(fù)始的”的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)直觀(guān)想象素養(yǎng).

4 深度學(xué)習(xí)深在“思想”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往不關(guān)注學(xué)科知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展所依賴(lài)的學(xué)科思想方法，僅僅關(guān)注學(xué)科知識(shí)的事實(shí)層面或者囿于學(xué)科形式的符號(hào)化表達(dá)；而深度學(xué)習(xí)重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，認(rèn)為任何數(shù)學(xué)知識(shí)的背后一定有思想方法的支撐，數(shù)學(xué)思想方法具有導(dǎo)向性、統(tǒng)領(lǐng)性、概括性、創(chuàng)造性特點(diǎn)，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的基礎(chǔ)，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁，是學(xué)生形成整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是數(shù)學(xué)知識(shí)賴(lài)以發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用的源泉和推手.

在任意角加法運(yùn)算的教學(xué)中，教科書(shū)這樣定義：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β.在這個(gè)定義中，既沒(méi)有考慮角的正負(fù)，也沒(méi)有考慮旋轉(zhuǎn)方向.這個(gè)運(yùn)算法則蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是滲透數(shù)學(xué)思想方法的有效載體.

數(shù)學(xué)思想方法1 類(lèi)比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，提出任意角加法運(yùn)算的可行性，滲透類(lèi)比的思想方法.

數(shù)學(xué)思想方法2 如何定義兩個(gè)角相加才是合理的？角“α+β”是兩次連續(xù)旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，可以分如下幾種情況：（1）α>0，β>0；（2）α>0，β<0；（3）α<0，β>0；（4）α<0，β<0，體現(xiàn)分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)思想方法3 對(duì)應(yīng)以上四種情況，作出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，找出角α+β的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量的變化規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.數(shù)學(xué)思想方法4 根據(jù)以上四種情況的分析，歸納出α+β的合理性定義，體現(xiàn)特殊到一般思想的應(yīng)用.5 深度學(xué)習(xí)深在“活動(dòng)”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往不關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，或者學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單、機(jī)械、缺乏挑戰(zhàn)性；而深度學(xué)習(xí)的課堂重視學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要在活動(dòng)中得以實(shí)現(xiàn)，學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要體現(xiàn)自主性、銜接性、進(jìn)階性、系列化、結(jié)構(gòu)化、個(gè)性化，要立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，富有挑戰(zhàn)性；教師能?chē)@學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置恰切的學(xué)習(xí)活動(dòng)，善于激發(fā)學(xué)生參與的積極性，讓學(xué)生“動(dòng)起來(lái)”；學(xué)生能夠感到自己是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，表現(xiàn)為積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài).

終邊相同的角可以視為象限角概念的性質(zhì)，其代數(shù)表征的形成需要教師設(shè)計(jì)指向問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生觀(guān)察、思考、運(yùn)算、抽象、概括；而活動(dòng)的實(shí)施過(guò)程又恰恰指向了數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

活動(dòng)1 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，引發(fā)思考.象限角的始邊相同，以射線(xiàn)OB為終邊的角有無(wú)數(shù)個(gè)，即這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征，這一特征如何量化？

活動(dòng)2 從特殊角入手發(fā)現(xiàn)規(guī)律.借助圖象，觀(guān)察與-32°終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系，在“旋轉(zhuǎn)整數(shù)周”的幫助下，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)共同特征，并得出表達(dá)式.

活動(dòng)3 利用信息技術(shù)手段驗(yàn)證規(guī)律.借助信息技術(shù)，在直角坐標(biāo)系畫(huà)出任意角，并測(cè)出角的大小，再觀(guān)察角的終邊旋轉(zhuǎn)數(shù)周后，其大小與原角之間的關(guān)系，給出幾何意義的代數(shù)解釋.

活動(dòng)4 形成一般性結(jié)論.從特殊到一般，從具體到抽象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算形成結(jié)論，即：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.

6 深度學(xué)習(xí)深在“批判”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往不關(guān)注批判過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施，盲目追求答案的標(biāo)準(zhǔn)性和唯一性；而深度學(xué)習(xí)的課堂重視批判性思維能力的培養(yǎng)，認(rèn)為任何數(shù)學(xué)知識(shí)都具有批判性，沒(méi)有批判就不會(huì)有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解，不經(jīng)過(guò)批判、質(zhì)疑的學(xué)習(xí)過(guò)程是不完整的；教師注重批判性學(xué)習(xí)過(guò)程的設(shè)計(jì)，總能在看似沒(méi)有批判的情境中設(shè)計(jì)出批判性的問(wèn)題；學(xué)生批判性意識(shí)比較強(qiáng)，善于在對(duì)教材、教師、他人的批判質(zhì)疑和自我批判的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深層次建構(gòu).

在象限角的教學(xué)中，利用直角坐標(biāo)系作為同一“參照系”引入象限角的概念，然而在學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，銳角、鈍角、正數(shù)、負(fù)數(shù)等前概念根深蒂固，要深刻把握象限角的本質(zhì)，必須圍繞象限角概念開(kāi)展批判性學(xué)習(xí)活動(dòng)，改變學(xué)生的“自我中心主義”和慣性思維，實(shí)現(xiàn)批判性意義建構(gòu).

認(rèn)知沖突問(wèn)題：根據(jù)實(shí)數(shù)中正數(shù)大于負(fù)數(shù)的原理，30°比-40°大.

思維陷阱問(wèn)題：30°與-30°的關(guān)系是什么？30°與150°的關(guān)系是什么？30°與210°的關(guān)系是什么？

模糊認(rèn)識(shí)問(wèn)題：小于90°的角是銳角，第二象限角是鈍角，第二象限角比第一象限角大.

7 深度學(xué)習(xí)深在“遷移”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往不關(guān)注遷移過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施，課堂上以接受知識(shí)為主，側(cè)重于記憶、模仿、理解、練習(xí)等過(guò)程，教學(xué)情境單一、重復(fù)、陳舊；而深度學(xué)習(xí)的課堂認(rèn)為遷移與運(yùn)用是深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)與導(dǎo)向，是學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)內(nèi)容之后的外化表現(xiàn)及創(chuàng)造性表達(dá)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、情境性與創(chuàng)造性，突出間接學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化又外化的過(guò)程，著重培養(yǎng)學(xué)生在新情境中將所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為自身的綜合實(shí)踐能力；教師重視遷移運(yùn)用過(guò)程的活動(dòng)設(shè)計(jì)，將所學(xué)知識(shí)置于新情境中讓學(xué)生嘗試解決，學(xué)生樂(lè)于在新情境中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題.

任意角是“有方向的角”，在任意角的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，任意角與對(duì)稱(chēng)變換、旋轉(zhuǎn)變換等幾何變換密切相關(guān)，具有從代數(shù)運(yùn)算到幾何變換的遷移特性；同時(shí)任意角的概念與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，需要將任意角遷移到現(xiàn)實(shí)情境中才能賦予知識(shí)生動(dòng)性與創(chuàng)造性.

近遷移：已知角α是第二象限角，試判斷-α，180°+α，180°-α，360°+α，360°-α分別是第幾象限角？通過(guò)任意角的運(yùn)算，體會(huì)幾何變換應(yīng)用.

遠(yuǎn)遷移：鐘表指針停在12點(diǎn)的位置上，甲同學(xué)將指針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)1/4圈，乙同學(xué)將指針按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)1（1/4）圈.

（1）請(qǐng)你從任意角概念出發(fā)，比較這兩種運(yùn)動(dòng)；

（2）請(qǐng)?jiān)谕恢苯亲鴺?biāo)系中，作出這兩個(gè)角，并進(jìn)行比較.

8 深度學(xué)習(xí)深在“反思”中

淺層學(xué)習(xí)的課堂往往不關(guān)注反思過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施，以教師的思考替代學(xué)生的思考，以淺層次的接受替代深層次的探究，以簡(jiǎn)單的重復(fù)性總結(jié)替代學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)結(jié)果的再思考；而深度學(xué)習(xí)的課堂認(rèn)為反思是確保學(xué)習(xí)活動(dòng)深層次發(fā)生的基本條件，是能力走向素養(yǎng)的關(guān)鍵步驟.它往往由學(xué)生主動(dòng)發(fā)起，對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再思考、再創(chuàng)造.教師能時(shí)時(shí)處處將反思與所有學(xué)習(xí)活動(dòng)緊密結(jié)合起來(lái)，將學(xué)生的反思能力作為重要的評(píng)價(jià)維度進(jìn)行考核；學(xué)生勤于反思、善于反思、樂(lè)于反思，將反思置于學(xué)習(xí)的全過(guò)程，在反思中享受進(jìn)步的樂(lè)趣.

任意角的學(xué)習(xí)是一個(gè)完整的過(guò)程，需要反思的問(wèn)題有很多.如，反思點(diǎn)1：角的概念為什么要擴(kuò)充？如何擴(kuò)充？反思點(diǎn)2：如何想到用正、負(fù)號(hào)來(lái)刻畫(huà)不同旋轉(zhuǎn)方向？為什么可以規(guī)定逆時(shí)針?lè)较虻慕菫檎?？反思點(diǎn)3：如何刻畫(huà)不同旋轉(zhuǎn)大小的角？為什么要在直角坐標(biāo)系中表示角？反思點(diǎn)4：在平面直角坐標(biāo)系下，終邊相同的角如何表征？反思點(diǎn)5：任意角的概念如何應(yīng)用到真實(shí)情境中？反思點(diǎn)6：任意角的研究路徑是什么？與以前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)概念的研究路徑相同嗎？反思點(diǎn)7：通過(guò)什么樣的學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)任意角？有沒(méi)有更好的學(xué)習(xí)方式？自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是什么？等等.

“牽一發(fā)而動(dòng)全身”.當(dāng)把角擴(kuò)充到任意角以后，需要進(jìn)一步反思：初中所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)知識(shí)又該如何調(diào)整以適應(yīng)這種變化？如何將銳角三角函數(shù)擴(kuò)充到任意角的三角函數(shù)？為滿(mǎn)足任意角三角函數(shù)的定義，任意角的度量是否需要引入新的度量值？這種新的度量值與角度值如何進(jìn)行換算？如何利用任意角的三角函數(shù)來(lái)刻畫(huà)周期性變化現(xiàn)象？等等.通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題的反思，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行科學(xué)慎重的回顧、分析和檢查，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我監(jiān)控、自我調(diào)整、自我評(píng)估，形成反思意識(shí)，培養(yǎng)反思能力.

總之，深度學(xué)習(xí)以學(xué)生發(fā)展為本，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)為導(dǎo)向，遵循知識(shí)發(fā)生發(fā)展規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，直面學(xué)生學(xué)習(xí)困境，著力解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的障礙點(diǎn)、困惑點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)，在學(xué)習(xí)的“深度”上發(fā)力，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)“深下去”“廣出來(lái)”“遠(yuǎn)開(kāi)來(lái)”［2］，體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，讓學(xué)生收獲寶貴的精神財(cái)富.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：1-8，80-88.

［2］劉月霞，郭華.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2018：29-34，45-62.

作者簡(jiǎn)介

鄭金賓（1975—），男，山東泰安人，天津市第一百中學(xué)教科處主任，正高級(jí)教師;研究方向以“促使學(xué)習(xí)發(fā)生”為切入點(diǎn)，致力于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升;課例多次榮獲國(guó)家、省市級(jí)一等獎(jiǎng)；出版教學(xué)專(zhuān)著《“實(shí)”話(huà)高中數(shù)學(xué)教學(xué)》;發(fā)表論文30余篇；主持或者參與完成國(guó)家級(jí)、市級(jí)課題10余項(xiàng).

鄭成鸞（1984—），女，天津人，中學(xué)一級(jí)教師；研究方向是高中數(shù)學(xué)教學(xué)；主持完成國(guó)家級(jí)課題《高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用直觀(guān)建構(gòu)式教學(xué)方法提高學(xué)科教學(xué)質(zhì)量的過(guò)程性實(shí)踐研究》；榮獲全國(guó)信息與課程整合大賽一等獎(jiǎng)，獲市級(jí)優(yōu)質(zhì)課，連續(xù)多年獲全國(guó)數(shù)學(xué)“希望杯”競(jìng)賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員.

趙維亮（1983—），男，山東淄博人，中學(xué)一級(jí)教師；校級(jí)骨干教師，校級(jí)優(yōu)秀班主任，榮獲天津市普教系統(tǒng)青年教師教學(xué)競(jìng)賽三等獎(jiǎng)，東麗區(qū)青年教師教學(xué)基本功一等獎(jiǎng)，獲市級(jí)優(yōu)課，連續(xù)多年獲全國(guó)數(shù)學(xué)“希望杯”競(jìng)賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員；研究方向是高中數(shù)學(xué)教學(xué).

基金項(xiàng)目 天津市教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研規(guī)劃重點(diǎn)課題“指向?qū)W科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂深度學(xué)習(xí)教學(xué)策略的研究”（KT-［十四五］-010-ZD-2102）.