新課程標(biāo)準(zhǔn)下化歸思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題實(shí)踐中的方法研究

任丹丹

【摘要】新課程標(biāo)準(zhǔn)下，注重學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解.化歸方法作為一種創(chuàng)造性教學(xué)方式，在培養(yǎng)學(xué)生良好的認(rèn)知能力方面有積極作用.本文以數(shù)學(xué)教學(xué)為例，分析化歸方法的運(yùn)用原則，提出數(shù)學(xué)解題中化歸方法的應(yīng)用措施，以供借鑒.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；化歸方法；數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)解題過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，即使是同一類(lèi)型的題目，不同水平的學(xué)生在解題中會(huì)出現(xiàn)不同程度的認(rèn)知差異.化歸是實(shí)現(xiàn)快速解題的有效方式.

1 化歸方法運(yùn)用原則

1.1 熟悉化原則

熟悉化原則就是對(duì)題目中的陌生內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其以學(xué)生熟知的內(nèi)容展現(xiàn)出來(lái)，促使問(wèn)題簡(jiǎn)單化［1］.例如，一元四次方程x4－2x3－24x2+80x－64=0，從表面看無(wú)直接求解方式，通過(guò)化歸方法可將左邊部分因式分解，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，然后求解.

1.2 層次化原則

層次化原則就是對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，將高層次問(wèn)題向低層次轉(zhuǎn)化［2］.如：將高維空間問(wèn)題向低維空間轉(zhuǎn)化，多元問(wèn)題向單元轉(zhuǎn)化，提高解題效率［3］.如求：y=sinxcosx+sinx+cosx的最值，令：

t=sinx+cosx－2≤t≤2，

則y=t2－12+t（－2≤t≤2），所以y=12（t+1）2－1－2≤t≤2.

當(dāng)t=－1，sinx+cosx=－1時(shí)，x=2kπ+π或者x=2kπ－π2（k∈Z），ymin=－1;

當(dāng)t=2，sinx+cosx=2，即x=2π+π4（k∈Z）時(shí)，ymax=12+2.

本題就是利用替代方式，將三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的二次函數(shù)最值問(wèn)題，簡(jiǎn)化題目的復(fù)雜性.

2 有效運(yùn)用化歸方法的具體措施

2.1 給學(xué)生營(yíng)造良好的邏輯思考環(huán)境

教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生自主動(dòng)手動(dòng)腦的習(xí)慣，積極開(kāi)展小組學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的想法，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究與總結(jié).比如，在解答與三角函數(shù)中任意角相關(guān)的題目時(shí)，教師可以讓學(xué)生先利用直角坐標(biāo)系確定角的位置，然后根據(jù)象限確定符號(hào)停留到銳角范圍中的學(xué)習(xí)現(xiàn)象，同時(shí)回顧銳角三角函數(shù)定義，使用畫(huà)圖模式進(jìn)行學(xué)習(xí)和思考，最后把角的定義拓展到任意角.這有利于加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而構(gòu)建完整數(shù)學(xué)知識(shí)框架.

2.2 將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一般問(wèn)題

數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用化歸方法解題，將復(fù)雜抽象化的問(wèn)題向簡(jiǎn)單方向轉(zhuǎn)化，在短時(shí)間內(nèi)提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

例1 在數(shù)列an中，已知，a1=2，a2=3，同時(shí)存在an+2=35an+1+25an這種關(guān)系，請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an的具體表達(dá)形式.

分析 本題的遞推公式屬于二階線性遞推關(guān)系，教師可引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化成一般的基本數(shù)列問(wèn)題，采用待定參數(shù)法求解.可在an+1－man=n（an－man－1）式子中引入m，n兩個(gè)參數(shù)，將題目轉(zhuǎn)化成求公比q=n的等比數(shù)列an－man－1通項(xiàng)公式問(wèn)題.

解 因?yàn)閍n+1－man=n（an－man－1），所以an+2=（m+n）an－1－mnan，將其與條件an+2=35an+1+25an結(jié)合，可得：

m+n=35a，mn=－25，

解得m=1，n=25，或m=25，n=1，則an+2－an+1=－25（an+1－an），或an+2+25an+1=an+1+25an，其an－an－1的等比數(shù)列首項(xiàng)為a2－a1=1，q=－25，所以an－an－1=－25n-2，an=19+2×254－25n=197+254－25n，a1=1.契合此式，可解出an=197+254－25n.

2.3 代數(shù)問(wèn)題向數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化

利用數(shù)形結(jié)合的方法解答復(fù)雜題目，能夠借助“形”的直觀性將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，幫助學(xué)生更加直觀地解答問(wèn)題，同時(shí)利用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性使問(wèn)題更加具體，提高學(xué)生解題的能力.

例2 已知函數(shù)f（x）=ax3－bx+4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)存有極值，為－43.

（1）求函數(shù)f（x）的解析表達(dá)式；

（2）當(dāng)f（x）=k時(shí)，與x相關(guān)的方程共包括3個(gè)零點(diǎn)，求出k的取值范圍.

分析 直接采用代數(shù)的方式解答題目，難度較大，可采用代數(shù)與圖形相結(jié)合的方法求解.

在解答問(wèn)題（1）時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，有

f′（x）=3ax2－b，根據(jù)題目可得

f（2）=12a－b=0，f（2）=8a－2b+4=－43，

解得a=13，b=4，再直接求出函數(shù)的解析表達(dá)式，即f（x）=13x3－4x+4.

由問(wèn)題（1）可知f（x）=x2－4=（x－2）（x+2），如果f（x）=0，那么x=2或x=－2，

結(jié)合圖1可知，當(dāng)x=－2時(shí)，f（x）的最大值為283，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）的最小值為－43，所以k的取值范圍為－43

2.4 用大視角轉(zhuǎn)化小問(wèn)題

以三角函數(shù)為例，解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可采用換元等方式來(lái)變換題目類(lèi)型，提高解題效率.例如，已知變量x，y滿(mǎn)足方程x2+y2=1，求x+y的取值范圍.以換元方式求解如下：

設(shè)x=cosθ，y=sinθ（θ∈R），那么x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+π4），可得：－2≤x+y≤2.

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在新課標(biāo)背景下，教師要在數(shù)學(xué)解題中合理應(yīng)用化歸思想方法，使學(xué)生掌握不同數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用技巧，將解題方式的應(yīng)用價(jià)值發(fā)揮到最大，同時(shí)積極落實(shí)解題訓(xùn)練任務(wù)，全面培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)，提高學(xué)生的解題能力.

參考文獻(xiàn)：

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［2］彭永寧.例析解題教學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的滲透［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（21）：76-77.

［3］汪裕佳.化歸思想在 數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用方法分析［J］.考試周刊，2021（14）：77-78.