陶中亞 毛永志

［摘? 要］ “學習進階”理念與“數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平劃分（附錄1）”的分層分級特征及教學要求高度契合. 基于此，立足學習主體（學生）、學習內(nèi)容（基礎知識）、學習方法等，將學習目標進行分解、分級，實現(xiàn)學情與目標的對應，運用“學習進階”思維在由低到高、由簡單到復雜地不斷“進階”的教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，提供一個對應不同層次學生、不同教學內(nèi)容要求的路徑明確的素養(yǎng)培養(yǎng)過程，實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)內(nèi)化和外塑的雙向互動，提升數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)的針對性和有效性，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 學習進階；水平劃分；邏輯推理；函數(shù)周期性

“學習進階”理念認為，學生在學習某學科核心概念的過程中存在一種潛在的發(fā)展序列，學習是一個沿著該序列逐漸積累、不斷演進的系統(tǒng)過程. 該理念包含五項特征要素：學習目標、進階變量（通常是學科中核心概念或關(guān)鍵技能）、成就水平、學習表現(xiàn)及評價［1］. 這與《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中的“數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平劃分（附錄1）”的分層分級特征及教學要求高度契合［2］，將該理念具體化并應用于高中數(shù)學教學，實現(xiàn)教學內(nèi)容、過程、目標及評價的深度融合，對達成學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標具有重要指導意義.

高中數(shù)學中的概念、命題、定理、公式及運算規(guī)則等“必備知識”提供了“進階變量”；“數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平劃分（附錄1）”提供了“學習目標”及“成就水平”分層分級的教學要求. 高中數(shù)學教學可以運用“學習進階”的思維方法，將“進階變量”依據(jù)其自身特點及“素養(yǎng)水平劃分”的分級要求進行有梯度的分解并逐級對應，在螺旋遞進的教學過程中運用數(shù)學“必備知識”培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，并在內(nèi)化和外塑的雙向互動中考查學生的“學習表現(xiàn)”，達到數(shù)學學科核心素養(yǎng)教學的評價要求. 下文以在“函數(shù)周期性”的理解與運用中培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)為例，詳細地展示一下該教學思路.

建階：分解與協(xié)調(diào)

“學習進階”教學的第一步就是為學生學習提供梯度適宜的“臺階”，即將“遞階變量”中的“必備知識”和教學總體目標分解成由低到高的不同層級，各層級由具體的學習主體（學生層次）、學習材料（必備知識）、學習方法、教學目標形成一個相對完整且各階層關(guān)系密切、遞進互動的子系統(tǒng)，完成低階系統(tǒng)目標任務能夠為更好地執(zhí)行下一個更高階目標任務做準備；知識與目標分解后是“協(xié)調(diào)”，即對應好學習主體（學生層次）、學習材料（知識內(nèi)容）、學習方法與每一步學習目標之間的關(guān)系，同時對應好不同層級之間的銜接關(guān)系，選擇明確的過渡方式. 如此，完成低階學習任務及目標是數(shù)學學科核心素養(yǎng)內(nèi)化的過程，運用低階學習中內(nèi)化的數(shù)學學科核心素養(yǎng)解決高階問題，是數(shù)學學科核心素養(yǎng)外塑運用的過程，也是數(shù)學學科核心素養(yǎng)提升鞏固的過程，這可使師生在學習活動開始前將學習目標、內(nèi)容、方法及路徑了然于胸，提高數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)的針對性和有效性.

同時，能夠分解、明晰復雜問題部分與整體的關(guān)系，將問題簡單化，以明確的思維、方法、路徑逐步解決問題，完成實際任務，實現(xiàn)學習目標，本身就是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的體現(xiàn). 因此，“學習進階”思維運用是數(shù)學學習本應具備的意識和能力.

高中數(shù)學中的“函數(shù)的性質(zhì)”是?？伎键c，而周期性是函數(shù)的最重要性質(zhì)之一，其中蘊含的邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)因素，可以很好地體現(xiàn)上述教學路徑.

蘇教版數(shù)學教材選修1-2第59頁，有一個習題如下：

先解答（1），再通過結(jié)構(gòu)類比解答（2）.

引導學生一起回憶一下函數(shù)周期性的概念：對于定義域為D的函數(shù)f（x），任意x∈D，存在T（T≠0），都有f（x+T）=f（x）成立，則T為f（x）的一個周期.

嚴格地證明如下：因為

本例題是函數(shù)周期性基本概念的運用. 第（1）問的解決及根據(jù)第（1）問猜想出第（2）問的答案，符合“數(shù)學運算水平一”的相關(guān)要求，即學生能夠運用他們了解的運算法則及其適用范圍，在熟悉的數(shù)學公式情境中，形成合適的運算思路，進而解決問題；學生在熟悉的數(shù)學情境中類比推理得到一個正確的結(jié)論，有條理地表達出我們所需要的內(nèi)容. 同時第（2）問的嚴格證明，可使學生達到“數(shù)學運算水平二”的相關(guān)要求. 類比推理只是一種猜想，并不能確定猜想是否正確，這需要嚴格的運算證明，說明它具有一般性. 通過本例題第（2）問的證明，可使學生理解運算是一種演繹推理，在綜合運用運算解決問題的過程中，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).

由此，具體的數(shù)學知識和素養(yǎng)培養(yǎng)的水平要求就分層次地明確對應了起來，而且本例題屬于基本概念及基本運算的運用，是基礎性的學習準備，適合所有高中生. 這個階段中可以運用基本的教學方法，訓練所有學習層次的學生，完成最基礎的階段訓練，使學生掌握基本概念和形成基本素養(yǎng).

進階：變式與遷移

當然，上述例題在實際教學過程中還有更高的價值，教師可以在變式與情境遷移中繼續(xù)研究函數(shù)的周期性，從而讓學生進入高階學習，培養(yǎng)其更高水平的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

具體看下一小題：

（3）設x∈R，α為非零常數(shù)，且f（x+

這是上述兩小題基礎上的變式題. 應當說解決第（3）問相對而言比較容易——學生根據(jù)第（2）問的解決方法類似推理很容易想到第（3）問具體的解決方法，這就是其在第一階段學習中獲得的素養(yǎng)的具體運用. 如果說第（3）問學生能熟練解決并且在展示、交流環(huán)節(jié)中能完整精通表達的話，那么說明學生掌握了具體方法并且具備相應的理解能力和思維品質(zhì)，達到了“數(shù)學運算和邏輯推理的水平二”的相關(guān)要求，即學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)又進了一階. 為檢驗和鞏固這一學習成果，可以有意識地進行下一階段的訓練.

具體看下面的例題：

（4）函數(shù)f（x）對任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x），試問f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，周期是多少？

（5）函數(shù)f（x）對任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（x）+f（2b-x）=0，試問f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，周期是多少？

（6）函數(shù)f（x）對任意x∈R，有f（x）+f（2a-x）=0且f（x）+f（2b-x）=0，試問f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，周期是多少？

第（4）（5）（6）問是在第（3）問的基礎上考慮到的多種變式題. 這種舉一反三的思維就是學生數(shù)學推理素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎，而尋求恰當方法，運用已學知識和已有素養(yǎng)解決這些問題的過程則是學生素養(yǎng)水平進一步提升的過程. 學生明晰這一過程，就是學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)見到成效的體現(xiàn).

函數(shù)周期性與函數(shù)對稱性有關(guān)系，我們可以證明第（4）問如下：由f（a+x）=f（a-x）知f（x）關(guān)于直線x=a對稱，所以f（x）=f（2a-x）. 由f（b+x）=f（b-x）知f（x）關(guān)于直線x=b對稱，所以f（x）=f（2b-x）. 因此f（2a-x）=f（2b-x）=f（2a-x+（2b-2a）），所以f（x）=f（x+2b-2a），則f（x）具有周期性，周期為2a-b.

同理可證第（5）問和第（6）問中的f（x）為周期函數(shù)，其周期分別為4a-b，2a-b.

如果說第（1）（2）問是基礎準備，是對所有學生的基本要求，那么第（3）問就是基礎拓展，目的是盡力推動所有學生跨越“邏輯推理水平二”的相關(guān)要求；第（4）（5）（6）問相對而言難度較高，如果能夠順利解決并且在展示、交流中表現(xiàn)出充分理解和熟練運用，那么說明學生達到了“邏輯推理水平三”的相關(guān)要求，即能夠把握研究對象的數(shù)學特征，感悟通性通法，領(lǐng)會其中蘊含的數(shù)學思想，能夠運用數(shù)學語言抓住數(shù)學本質(zhì)，形成解決問題的思路. 同時也說明，在整個過程中，“數(shù)學運算”三個水平的相關(guān)要求，甚至“數(shù)學抽象”的相關(guān)要求也都基本運用和訓練到了，“四基”和“四能”得到了有效落實，體現(xiàn)了“教學建議”對數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的“綜合性和整體性”的要求.

高階：運用與拓展

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》“實施建議”中的“考試命題路徑”提出，評價框架包括三個維度：第一個維度是情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思，反映數(shù)學學科核心素養(yǎng)的四個方面；第二個維度是函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動，是四條內(nèi)容主線；第二個維度是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的三個水平［2］. 這是學生解答數(shù)學習題，解決實際問題的原則性、指導性的思路依據(jù). 換句話說，具有明確的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的人，在分析、解答數(shù)學習題時，應該從這三個維度入手，按程序思考來完成習題的解析和解答.

具體看下面這道例題：

（7）（2020年蘇北三市聯(lián)考一模數(shù)學卷第13題）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，當x∈（0，1）時，f（x）=-eax（e為自然對數(shù)的底數(shù)）. 若f（2020-ln2）=8，則實數(shù)a的值為______.

本例題在內(nèi)容維度上涉及函數(shù)相關(guān)知識，在調(diào)動和運用所學知識分析該題時首先要做好奇函數(shù)及其圖象的相關(guān)知識的準備；在素養(yǎng)維度上涉及數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等，在分析該題時要明確相應要求，探尋解決思路，選擇解決方法；在素養(yǎng)水平維度上主要涉及“數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)的水平三”. 當然，在具體分析該題時也要立足內(nèi)容中的基礎知識，關(guān)注到“數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)的水平一和水平二”的要求，以便更好地明確解題路徑.

因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，根據(jù)第（5）問的結(jié)論知道此函數(shù)具有周期性，周期為4. 所以f（2020-ln2）=f（-ln2）= -f（ln2）=ealn2=（eln2）a=2a=8，即a=3.

此題的解決得益于之前對函數(shù)周期性的學習準備、準確理解、深入研究以及邏輯推理素養(yǎng)的運用，如果學生在之前的學習準備和習題分析中熟悉了相關(guān)內(nèi)容和學習方法并達到了相關(guān)素養(yǎng)水平的要求，那么其解題思路就會通暢很多，問題解決起來也會少走很多彎路. 而且完成此題的解決，也是對自身素養(yǎng)的進一步運用和提升，體現(xiàn)了素養(yǎng)內(nèi)化和外塑的雙向培養(yǎng)，體現(xiàn)了素養(yǎng)培養(yǎng)的遞階性、綜合性和整體性.

此題涉及命題三個維度、素養(yǎng)三個水平的應用，體現(xiàn)了高階思維和能力的運用，能夠檢驗出不同層次學生不同的數(shù)學素養(yǎng)，具有很好的區(qū)分度，對教學實踐也有很好的指導意義，充分體現(xiàn)了數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要旨.

為了進一步鞏固素養(yǎng)，檢驗學生的邏輯推理和數(shù)學運算能力，下面再補充一道例題：

在素養(yǎng)、內(nèi)容、水平三維度分析的基礎上，可知此題本身并不難. 根據(jù)第（2）問的結(jié)論即可知道此函數(shù)的周期為8，所以數(shù)列｛an｝中不同的項最多有8項.

此題實際上只涉及“數(shù)學運算和邏輯推理的水平二”的相關(guān)要求，但在內(nèi)容維度上則由函數(shù)性質(zhì)拓展到了數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，對啟發(fā)學生思維和具體運用邏輯推理能力具有指導意義. 另外，從高階學習回到中階學習，可以恢復一般學生的學習信心和學習興趣，體現(xiàn)教學的更大參與度和實現(xiàn)更有效的教學目標，使教學效益最大化.

要強調(diào)的是，在“進階”學習過程中，教師要有意識地引導學生反思整個學習過程，讓更多學生了解學習意圖和學習步驟，幫助學生體會“進階學習”的特征，使學生明確自身學習所處的階層，了解自身所掌握、運用的知識與素養(yǎng)的對應情況，以便明確下一階層的學習目標，做好高階提升的準備. 同時，教師應在“進階學習”中引導學生樹立遇到難題時自動溯源的意識，主動回憶解答難題時必須運用的基本概念、命題、定理、公式等，提升刪繁為簡、化難為易的有效分析習題的能力，自覺而全面地提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 張穎之.理科課程設計新理念：“學習進階”的本質(zhì)、要素與理論溯源［J］. 課程·教材·教法，2016，36（06）：115-120.

［2］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.