王成

［摘? 要］ 函數(shù)的單調(diào)性作為函數(shù)部分的重要內(nèi)容，教學(xué)中需要整體解讀，分模塊引導(dǎo). 從情境中引入，讓學(xué)生充分感知；使學(xué)生親歷探究過(guò)程，體驗(yàn)概念生成；在實(shí)例探究中鍛煉學(xué)生的思維，提升學(xué)生的能力. 文章結(jié)合課堂實(shí)踐，開展“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)探討.

［關(guān)鍵詞］ 函數(shù)；單調(diào)性；概念；整體化

函數(shù)的單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，對(duì)后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等模型有著重要作用. 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生首次系統(tǒng)研究的函數(shù)性質(zhì)，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生完成概念的抽象概括，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過(guò)程，掌握函數(shù)性質(zhì)的研究方法. 下面開展教學(xué)探討，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

內(nèi)容整體化分析，梳理教學(xué)過(guò)程

知識(shí)間相互聯(lián)系，具有一定的整體性和連續(xù)性，函數(shù)的單調(diào)性也不例外. 在教學(xué)初始的內(nèi)容解讀中，需要從整體視角來(lái)全面分析，包括知識(shí)整合、目標(biāo)設(shè)定、活動(dòng)設(shè)計(jì)等. 既要突出知識(shí)的系統(tǒng)性、教學(xué)的指向性，還應(yīng)賦予知識(shí)整體關(guān)聯(lián)性.

1. 內(nèi)容分析

對(duì)于“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)，從教材內(nèi)容來(lái)看，教學(xué)中需要重視兩大層面：一是知識(shí)層面，即章節(jié)內(nèi)容的本身；二是思想方法層面，即函數(shù)的單調(diào)性中所融合的數(shù)學(xué)思想方法，以及知識(shí)探究中需要用到的思想方法.

（1）知識(shí)層面的分析. 函數(shù)的單調(diào)性的探究需要分為兩個(gè)階段：階段一，利用運(yùn)算的性質(zhì)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)注函數(shù)的變化趨勢(shì)；階段二，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要重點(diǎn)探究函數(shù)變化的快慢. 本課的知識(shí)探究處于階段一，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注探究核心，明晰探究階段，讓概念自然生成.

（2）思想方法層面的分析. 函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué)可視為數(shù)學(xué)概念教學(xué)，也可視為關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)教學(xué)，探究過(guò)程充分體現(xiàn)出研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法. 教學(xué)過(guò)程需要借助圖象讓學(xué)生直觀感知并從中抽象概括定義，使學(xué)生經(jīng)歷從圖形語(yǔ)言到文字語(yǔ)言再到數(shù)學(xué)符合語(yǔ)言描述概念的思維過(guò)程. 同時(shí)，在整個(gè)探究階段中充分滲透數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下組織活動(dòng).

2. 教學(xué)梳理

學(xué)生在初中階段已經(jīng)掌握了一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，熟知對(duì)應(yīng)圖象的幾何特征. 學(xué)生欠缺的是思維能力和探究經(jīng)驗(yàn)，尤其是抽象水平，難以理解函數(shù)單調(diào)性的形式和定義. 因此教學(xué)中需要注重幾何直觀講解，數(shù)形結(jié)合輔助分析. 實(shí)際教學(xué)可按如下思路開展，突破難點(diǎn).

（1）創(chuàng)設(shè)情境.分析與生活實(shí)際結(jié)合緊密的函數(shù)圖象，讓學(xué)生直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，合理使用數(shù)學(xué)符號(hào)描述函數(shù)變化規(guī)律.

（2）引導(dǎo)探究. 引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)，通過(guò)遞進(jìn)式設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生體驗(yàn)探究過(guò)程，實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性從“直觀感知”上升到“嚴(yán)謹(jǐn)論述”.

（3）鞏固和強(qiáng)化所學(xué)知識(shí). 利用具有代表性的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的解析思維，提升學(xué)生的綜合能力.

創(chuàng)設(shè)情境，為性質(zhì)探究做鋪墊

建議教師從生活實(shí)際中提取素材，引導(dǎo)學(xué)生分析直觀模型，掌握模型構(gòu)建與分析的方法. 同時(shí)，設(shè)問(wèn)引導(dǎo)需要立足學(xué)情，把握學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上開展觀察、猜想、歸納等活動(dòng).

1. 情境創(chuàng)設(shè)

教學(xué)中可創(chuàng)設(shè)如下情境：

圖1是某地1月某天里的氣溫變化圖，請(qǐng)同學(xué)們觀察氣溫變化曲線，回答下列問(wèn)題.

（1）圖1中的θ表示氣溫，t表示時(shí)間，如何表述θ隨t的變化情況？

（2）在t∈［4，14］上，θ隨t的增大而增大，如何使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述？

（3）是否可以表述為“當(dāng)t=5，t=6，t=8，t=10時(shí)，對(duì)應(yīng)的θ，θ，θ，θ滿足θ<θ<θ<θ，因此在t∈［4，14］上，θ隨t的增大而增大”？

2. 觀察探究

在情境設(shè)問(wèn)的基礎(chǔ)上，給出如下眾多函數(shù)圖象，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究.

（1）確定上述圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型，分別表示什么函數(shù).

（2）這些函數(shù)有怎樣的變化趨勢(shì)，如何表述？

上述“情境創(chuàng)設(shè)”和“觀察探究”兩個(gè)環(huán)節(jié)，先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的函數(shù)，分析函數(shù)變化規(guī)律；然后從現(xiàn)實(shí)生活過(guò)渡到數(shù)學(xué)問(wèn)題，規(guī)范表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)在某區(qū)間上具有怎樣的變化情況——要強(qiáng)調(diào)其中的“某區(qū)間”，使學(xué)生明白函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)“某區(qū)間”而言，具有一定的局限性，為后續(xù)“函數(shù)的單調(diào)性”概念的構(gòu)建做鋪墊.

體驗(yàn)探究過(guò)程，概念自然生成

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)部分的重點(diǎn)內(nèi)容，教學(xué)中需要教師利用直觀的函數(shù)圖象，引領(lǐng)學(xué)生由形思數(shù)，思維由具象到抽象，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性的探究過(guò)程.

1. 直觀探索，共性分析

圖3是一組三個(gè)函數(shù)的圖象，請(qǐng)指出這三個(gè)函數(shù)具有哪些共同點(diǎn).

引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)來(lái)看——結(jié)合x值的變化來(lái)分析y值的變化，促使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)增函數(shù). 在此基礎(chǔ)上給出第二組三個(gè)函數(shù)的圖象（見圖4），讓學(xué)生再觀察它們的共同點(diǎn)，促使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)減函數(shù).

2. 數(shù)學(xué)描述，符號(hào)分析

由圖象來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性較為直觀，不具有準(zhǔn)確性，故教學(xué)中需要教師合理預(yù)設(shè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述函數(shù)的單調(diào)性，從而生成概念.

（1）辨析.

問(wèn)題1 已知某函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上，當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=2時(shí)，y=3.是否可以說(shuō)明該函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上，y隨x的增大而增大？

問(wèn)題2 有n個(gè)正數(shù)x，x，x，…，x，且x<x<x…<x，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，y，y，…，y滿足y<y<y…<y，是否可以說(shuō)明在區(qū)間（0，+∞）上，y隨x的增大而增大？

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生舉反例來(lái)辨析問(wèn)題1和問(wèn)題2，讓學(xué)生不僅關(guān)注函數(shù)的定義域，而且理解有限點(diǎn)所反饋的增減變化有局限性.

（2）符號(hào)化.

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)問(wèn)如下：若某函數(shù)為增函數(shù)，是否可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述？如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)？請(qǐng)大家小組討論，交流總結(jié).

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)鍵詞入手，可分如下四步進(jìn)行探究.

第一步，“增大”符號(hào)化，即當(dāng)x<x時(shí)，y<y；

第二步，“隨著”符號(hào)化，即當(dāng)x<x時(shí)，f（x）<f（x）；

第三步，“任意”符號(hào)化，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想前面討論的內(nèi)容，跳出單一數(shù)值對(duì)單調(diào)性描述的局限，明白：對(duì)于任意的x<x，均有f（x）<f（x）；

第四步，“區(qū)間”符號(hào)化，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注變量x和x的取值范圍，明確函數(shù)的單調(diào)性與區(qū)間緊密相關(guān)，即強(qiáng)調(diào)x，x∈I（I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）.

（3）生成概念.

完成上述四步探究后，引導(dǎo)學(xué)生將其串聯(lián)起來(lái)，從而生成完整的單調(diào)遞增的概念. 教學(xué)中可以借助直觀的函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式概括單調(diào)性概念.

單調(diào)遞增：對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x，x，當(dāng)x<x時(shí)，均有f（x）<f（x），如圖5①.

單調(diào)遞減：對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x，x，當(dāng)x<x時(shí)，均有f（x）>f（x），如圖5②.

函數(shù)單調(diào)性的概念可按照上述三個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)構(gòu)建，簡(jiǎn)而言之，即先引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，然后讓學(xué)生猜想并加以辨析論證，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生明晰概念符號(hào)化，生成完整的單調(diào)性概念.

實(shí)例引入，概念強(qiáng)化

“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)，要經(jīng)歷概念生成和應(yīng)用強(qiáng)化兩個(gè)階段，故概念生成后，有必要引入實(shí)例，幫助學(xué)生鞏固和強(qiáng)化所學(xué)知識(shí). 值得注意的是，實(shí)例要圍繞函數(shù)單調(diào)性概念的三個(gè)核心內(nèi)容（變量區(qū)間、對(duì)應(yīng)關(guān)系、變化）而引入. 通過(guò)開展解題引導(dǎo)，幫助學(xué)生構(gòu)建解析思維.

該區(qū)間上的單調(diào)性.

完成以下證明.

（1）函數(shù)f（x）在（0，1）上遞減；

（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增.

解題引導(dǎo)：讓學(xué)生立足函數(shù)單調(diào)性的定義，按照“設(shè)元—代入—作差—變形—判斷”的步驟完成證明. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生梳理證明過(guò)程，讓學(xué)生明白每一步的思維方法.

總之，教師要深入解讀知識(shí)內(nèi)容，圍繞教學(xué)重點(diǎn)梳理知識(shí)模塊，基于知識(shí)模塊開展探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維能力.