以一道中考試題的解答引發(fā)的思考

鄒翠香

一、試題呈現(xiàn)

題目：如圖1，在?ABCD中，∠DAB＝30°。

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長。

參考答案：

解：（1）如圖2所示線段DE就是所求作的高。

（2）在Rt△ADE中，AD＝4，∠A＝30°，

∴DE＝[12]AD＝2。

由勾股定理得

AE＝[AD2-DE2]＝[42-22]＝2[3]

∴BE＝AB－AE＝6－2[3]

二、試題分析

本題考查了尺規(guī)作圖——過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，三角函數(shù)、勾股定理，掌握過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法和30度角的余弦值，或利用30度角所對的直角邊長等于斜邊的一半和勾股定理是解題的關(guān)鍵。通過畫圖，考查了學(xué)生的作圖能力及動手能力，明確尺規(guī)作圖的意義。但是題目中又增加了一個特殊角30°，讓圖形有了更多不同的作法，考查了學(xué)生的創(chuàng)新思維及發(fā)散思維能力。

三、學(xué)生答題分析

學(xué)生的答題情況如下：全市47235人，0分有18251人，滿分有12525人，占比分別為38.78%和26.69%，另外占比比較大的是5分，占比13.47%，顯示學(xué)生要么兩問都不會，要么兩問都會或者只會做第（2）問；從上面的答題得分情況可以發(fā)現(xiàn)有將近六成的考生不會作圖，出現(xiàn)部分學(xué)生理解錯誤，作出角平分線或垂直平分線幾種錯誤作法，也有不少學(xué)生直接用三角板畫出AB邊上的高，但欣喜的是出現(xiàn)不少新穎的作法。

四、解法收集

方法1：參考答案是基本尺規(guī)作圖：過一點(diǎn)作已知直線的垂線，如圖2；

方法2：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，又出現(xiàn)了圖3，圖4和圖5這3種作法；

方法3：利用到線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，得到圖6的作法；

方法4：先作線段AB（或CD）的垂直平分線，再過點(diǎn)D作垂直平分線的平行線，出現(xiàn)了圖7，圖8，圖9和圖10這4種作法；

方法5：先作線段AB的垂直平分線，延長CD，得到AB與CD之間的距離，以點(diǎn)D為圓心，所得距離為半徑作弧，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，如圖11；

方法6：以A為圓心，AD的長為半徑畫弧，再在AB的下方作∠FAB＝∠DAB，如圖12所示，連接DF，DF與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E；

方法7：以D為圓心，AD的長為半徑畫弧與AB的延長線交于點(diǎn)G，在作∠ADG的平分線，如圖13；

方法8：以點(diǎn)D為圓心，任意長為半徑畫弧與線段AD交于點(diǎn)F，再以點(diǎn)F為圓心，DF的長為半徑畫弧，兩端弧的交點(diǎn)為點(diǎn)G，連接DG與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，如圖14；分別以A和D為圓心，AD的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)為點(diǎn)F，連接DF與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，如圖15；

方法9：做線段AD的垂直平分線，與AD交于點(diǎn)O，再以點(diǎn)D為圓心，DO的長為半徑畫弧，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，如圖16；

方法10：以D為頂點(diǎn)作∠ADE＝2∠A，如圖17。

五、思考

（一）耐心傾聽利于寶貴資源的生成

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“認(rèn)真聽講是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。從教師角度講，其也應(yīng)包括教師認(rèn)真聽取學(xué)生的發(fā)言，耐心傾聽既是捕捉教學(xué)資源的一種手段，也是對學(xué)生的一種尊重。在閱卷評卷中發(fā)現(xiàn)的除參考答案以外的其他方法說明很多學(xué)生上課并沒有認(rèn)真聽老師講課，但在閱卷評卷中發(fā)現(xiàn)的很多滿足作圖原理的方法說明學(xué)生有了“運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力”（簡稱“四能”），所以，教師要善于傾聽學(xué)生的各種發(fā)言，充分暴露學(xué)生的思維過程，在學(xué)生的發(fā)言中發(fā)現(xiàn)有價值的教育因素，開發(fā)教學(xué)資源，實(shí)現(xiàn)師生共同研究、共同發(fā)展。

（二）問題引導(dǎo)探究，注重活動經(jīng)驗(yàn)的積累和學(xué)科本質(zhì)的考查

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“在尺規(guī)作圖中，學(xué)生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”。在閱卷評卷中發(fā)現(xiàn)很多作圖軌跡有想法但圖形做的不完整，這個就需要教師在平時的教學(xué)中將尺規(guī)作圖出現(xiàn)的所有滿足作圖原理的方法都能講解一下，這個過程不僅能讓學(xué)生掌握基本的尺規(guī)作圖，還可以利用所學(xué)發(fā)現(xiàn)一些新的作法，在上面收集的方法中，每種方法都有考到一些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。例如：方法2，就考到圓的知識點(diǎn)：直徑所對的圓周角是直角，圖2還用到平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分；方法3，就考到垂直平分線的判定：到線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；方法4，使用了兩個基本尺規(guī)作圖：作垂直平分線和作一個角等于已知角，還考到了平行線的性質(zhì)；方法5，考到了兩條平行線之間的距離：是指從兩條平行線中的一條直線上的一點(diǎn)作另一條直線的垂線段的長，還利用了它的2個拓展：①能表示兩條平行線之間的距離的線段與這兩條平行線都垂直，②平行線間的距離處處相等；方法6和方法7都用到了等腰三角形的性質(zhì)：三線合一；方法8、方法9和方法10都是∠A＝30°的特殊作法，比如方法8作出的△DFG和△ADF是等邊三角形，即∠FDG＝∠ADF＝60°，∴∠AED＝180°－30°－60°＝90°，即DE⊥AB；方法9利用的是30°所對的直角邊等于斜邊的一半，∴以AD的一半為半徑，點(diǎn)D為圓心作的圓與直線AB相切，即DE⊥AB；方法10與方法8的理由相同。

（三）教學(xué)建議

1. 在閱卷評卷中發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生作圖工具準(zhǔn)備得不太理想，圖象不清晰，軌跡忽隱忽現(xiàn)，以后在教學(xué)中應(yīng)該提醒學(xué)生所用工具作出的圖形要清晰、完整，平時要多些訓(xùn)練作圖題，讓學(xué)生對基本尺規(guī)作圖熟練掌握。

2. 從本題的尺規(guī)作圖中，還能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新能力，以后在尺規(guī)作圖的訓(xùn)練中，可以利用特殊角、特殊邊等，讓學(xué)生不僅限于課堂所教的方法去解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，即針對作圖題也要進(jìn)行一題多解訓(xùn)練。

3. 教學(xué)生作圖時，提醒學(xué)生要規(guī)范作圖，該用圓規(guī)的地方要用圓規(guī)，不能徒手畫弧，用圓規(guī)作圖時要記得多畫兩遍，加粗軌跡。

4. 學(xué)生的圓規(guī)，作圖用的鉛筆必須是要2B鉛筆芯，否則掃描會出現(xiàn)不清晰的情況。

5. 對本題也可以進(jìn)行一些改編后讓學(xué)生訓(xùn)練。

改編一：如圖18，在?ABCD中，∠DAB＝30°。

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法在AD上找到點(diǎn)E使得AE＝BE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求DE的長。

改編二：如圖18，在?ABCD中，∠DAB＝30°。

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長。