蘇其亮

二面角問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試卷中.此類問題側(cè)重于考查同學(xué)們的空間想象、直觀想象和邏輯推理能力.那么求解二面角問題的措施有哪些呢？下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

一、利用定義法

一般地，用二面角的平面角的大小來表示二面角.定義法是指根據(jù)二面角的平面角的定義來解題.通常在二面角的棱上選取一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，則兩條射線所成的夾角即為二面角的平面角.因此在求二面角的大小時(shí)，往往要先確定二面角的平面角；然后根據(jù)射線的位置，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)正余弦定理、勾股定理來求平面角的大小.

運(yùn)用定義法解題，最重要的一步便是找到二面角的平面角.在解答本題時(shí)，首先要根據(jù)二面角的平面角的定義，找到平面 SAM、AMB 及其棱 AM ；然后在兩個(gè)平面內(nèi)作 AM 的垂線 BF，GF ，則∠GFB 即為所求二面角的平面角.

二、構(gòu)造向量

向量法是指通過構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題來求解.首先需根據(jù)題目中給出的信息和幾何圖形，確定或構(gòu)造三條相互垂直的直線，并將其作為x，y，z軸，來建立空間直角坐標(biāo)系；然后求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩個(gè)平面的法向量、；再根據(jù)數(shù)量積公式得 cos < ， >=；最后還需根據(jù)圖形判斷所求的二面角是銳角還是鈍角.

運(yùn)用向量法解答二面角問題，需建立合適的空間直角坐標(biāo)系，通常要使較多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣能減少運(yùn)算量.在解答本題時(shí)，以 AC、AD、AP 所在的直線為 x、y、z 軸，就能快速求得各點(diǎn)的坐標(biāo).

三、采用垂面法

用垂面法求解二面角問題，要先根據(jù)題意尋找垂直關(guān)系，作一個(gè)與二面角的棱垂直的平面，其與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角，此時(shí)平面角就在垂面內(nèi)；然后根據(jù)平面幾何知識(shí)，如正余弦定理、勾股定理、三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)求平面角的大小，即可解題.

運(yùn)用垂面法解答二面角問題的關(guān)鍵是確定垂面.本題中，SA ⊥平面 ABC ，DE 垂直平分 AC、SC ，即可根據(jù)此垂直關(guān)系，利用線面垂直的判定定理找到二面角的棱 BD 的垂面 SAC .再在直角三角形 SAB、SAC、 ABC 中，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解，即可解題.

綜上所述，定義法、向量法、垂面法都是解答二面角問題常用的方法，其中定義法的適用范圍較廣，向量法和垂面法的適用范圍較窄，卻比較便捷，能有效地簡化解題的過程，提升解題的效率.