方格紙中發(fā)現(xiàn)勾股定理

趙維坤 整理

據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前11 世紀(jì)，我們的祖輩就在生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論，這種結(jié)論用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以表述為：如果取勾的長(zhǎng)度為3 個(gè)單位，股的長(zhǎng)度為4 個(gè)單位，連結(jié)勾股兩端的這條“弦”的長(zhǎng)度恰好為5 個(gè)單位，那么勾、股兩條邊一定相互垂直。這就是我們常說(shuō)的“商高定理”（其實(shí)是勾股定理的逆定理）。

古人利用這個(gè)結(jié)論制造出了標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量工具——“矩”。有了“矩”，我們就能進(jìn)行準(zhǔn)確的測(cè)量。

今天，我們利用方格紙來(lái)重新發(fā)現(xiàn)勾股定理。

我們記下列圖形中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1。

首先，我們?cè)诜礁窦堉挟?huà)出2 條直角邊長(zhǎng)分別為1、2 的直角三角形（如圖1）。通過(guò)計(jì)算圖中3 個(gè)正方形的面積，我們能發(fā)現(xiàn)，直角三角形（陰影部分）的兩直角邊a、b和斜邊c之間的關(guān)系：c2=2ab+1及a2+b2=c2。

繼續(xù)畫(huà)直角三角形（圖2—圖4），這兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？

圖3

圖4

圖5

要說(shuō)明這兩個(gè)結(jié)論正確與否，我們還要進(jìn)行一般化證明。

把上圖中的小方格背景撤去，并且隱去a、b的具體數(shù)值，在一般的直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，a2+b2=c2是否同樣成立？（可以利用剛才計(jì)算斜邊上正方形面積的方法證明這一命題的正確性。）