基于鐵木辛柯梁理論的工字梁剪切變形計算方法研究

辛育霞，王勇，付佳豪，倪天琦，齊賀陽

（航空工業(yè)北京長城計量測試技術(shù)研究所，北京 100095）

0 引言

工字梁是一種空腹式桿件，這種截面設(shè)計主要通過離形心最遠的翼緣抵抗彎曲，利用腹板抵抗剪切，具有強度高、重量輕的優(yōu)點，是飛機機翼的理想支撐結(jié)構(gòu)［1］，針對工字梁的研究是研究機翼變形的基礎(chǔ)。由于機翼中工字梁尺寸相差較大，剪切對不同受力、不同跨高比以及工字梁的不同位置的影響均不同［2］。而考慮剪切時計算復(fù)雜，在剪切影響不大時需要簡化計算，忽略剪切變形的影響。因此，探究剪切變形對工字梁的作用規(guī)律在飛機結(jié)構(gòu)強度領(lǐng)域具有重要的意義［3］。

工字梁彎曲過程中伴隨著彎曲與剪切變形，而剪切變形引起的附加應(yīng)變情況復(fù)雜。現(xiàn)有的工字梁計算大多采用的是歐拉-伯努利梁理論，歐拉-伯努利梁理論假設(shè)梁中只有彎曲形變，橫截面沒有產(chǎn)生切應(yīng)變，變形后橫截面依然為一個平面，且始終垂直于中性軸。這種理論忽略了切應(yīng)變的效果，計算出的梁的變形量低于現(xiàn)實梁的變形量。鐵木辛柯梁理論考慮了梁在彎曲變形的同時產(chǎn)生的切應(yīng)變，梁受力發(fā)生變形時，橫截面依然為一個平面，但不再垂直于中性軸。由于它考慮了切應(yīng)變的效果，計算出的梁的變形量接近梁的真實變形量。然而考慮剪切時情況復(fù)雜，計算過程較為繁瑣，研究表明對于細長梁歐拉-伯努利梁理論可以給出足夠精確的結(jié)果，所以目前工字梁的計算大多忽略了剪切應(yīng)變的影響，缺乏對工字梁剪切變形的計算以及剪切對于工字梁變形影響的研究，不利于梁理論在實際工程中的應(yīng)用［3-5］。

因此，本文首先選取了基于鐵木辛柯梁理論的計算方法，考慮工字梁中剪切變形的影響，通過給出剪切對工字梁變形的影響，提出需要考慮剪切變形的情況。其次，內(nèi)力的力學(xué)性能參數(shù)需要開展電測法實驗確定，通過理論與仿真以及試驗對比梁截面的內(nèi)力，證明了基于鐵木辛柯梁理論的工字梁剪切變形計算方法的有效性。

1 基于鐵木辛柯梁理論的工字梁變形計算

針對典型的工字懸臂梁結(jié)構(gòu)，利用鐵木辛柯梁理論進行計算［6-8］。

1.1 模型建立

如圖1（a）所示，建立懸臂工字梁模型，梁的長度為L，梁截面參數(shù)如圖1（b）所示，其中梁的翼緣寬度為b，腹板厚度為b0，腹板高度為h0，梁的整體高度為h。梁的一端為固定端，限制位移與旋轉(zhuǎn)，另外一端為自由端，自由端受集中力F作用。選擇自由端截面中心O作為坐標原點，該原點位于梁的中性軸上，建立坐標系如圖1（a）所示。假設(shè)材料為各向同性線彈性材料。

圖1 工字梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of I-beam

1.2 內(nèi)力計算

從自由端取長度為x的一段梁作為分析對象，如圖1（c）所示，則梁截面所受的剪力為Fs = -F，彎矩為M = -Fx。材料力學(xué)中梁內(nèi)力的計算公式為式（1）與式（2）［9］。

式中：σx、τxz分別為坐標x處梁截面的正應(yīng)力與剪應(yīng)力，MPa；M為工字梁截面所受的彎矩，M =-Fx，Nm；Iy為梁截面對y軸的慣性矩，mm4；Sy*為梁截面上所求剪應(yīng)力處的水平線以下（或以上）部分面積對中性軸的靜矩，mm3；Fs為截面所受的集中力，F(xiàn)s = -F，N；F為自由端所受的集中力，N；x，y，z為坐標，mm。

梁截面對y軸的慣性矩為式（3）。如圖1（b），梁截面所求剪應(yīng)力的靜矩按照該處水平線以上部分面積計算，為式（4）［9］。

將式（3）與式（4）代入梁截面內(nèi)力的計算公式（1）與公式（2），得到工字梁任意截面的內(nèi)力

1.3 撓度計算

在得到任意梁截面內(nèi)力的基礎(chǔ)上，利用鐵木辛柯梁理論計算工字梁的撓度。在鐵木辛柯梁中，正應(yīng)變與歐拉-伯努利梁結(jié)果相同［6］。對于切應(yīng)變，歐拉-伯努利梁忽略了切應(yīng)變，而鐵木辛柯梁中切應(yīng)變可以通過切應(yīng)力與剪切模量得到

式中：E為材料的楊氏模量，MPa；G為剪切模量，MPa；v為泊松比，E =2G（1+v）。

對應(yīng)變公式進行積分，得到關(guān)于x方向與z方向位移的函數(shù)。

將式（10）與式（11）代入εxz的表達式中，得到

式（8）與式（12）只與變量x與z有關(guān)，聯(lián)立得到平衡關(guān)系式，并分離變量，得到

式（13）左側(cè)完全依賴于變量x，右側(cè)依賴于變量z，所以兩側(cè)均等于同一個常數(shù)，假設(shè)該常數(shù)為c0，兩側(cè)分別對f（z）和g（x）進行積分，得到

式中：c1與c2均為積分常數(shù)。

將式（14）與式（15）代入式（10）與式（11），得到ux與uz的一般形式

常數(shù)c0，c1與c2需要利用邊界條件確定，固定固支端的位移與旋轉(zhuǎn)，邊界條件為

將上述邊界條件代入式（19）與式（20），得到c0，c1與c2的值。最終得到利用鐵木辛柯梁理論計算的工字懸臂梁z方向的位移為

在歐拉梁中，假設(shè)L遠大于h與h0，并且假設(shè)v= 0，得到歐拉-伯努利梁理論的撓度為

在歐拉-伯努利梁中，懸臂梁的撓度與受力、長度、材料的楊氏模量、截面形狀以及x向坐標有關(guān)。在鐵木辛柯梁考慮剪切變形的情況下，懸臂梁的撓度相比歐拉-伯努利梁多了一項剪切項，因此變形更大，該剪切項除了與歐拉-伯努利梁結(jié)果所受影響因素有關(guān)外，還與材料的泊松比、z向坐標有關(guān)。

2 結(jié)果與討論

利用鐵木辛柯理論計算得到工字懸臂梁的撓度，并分析受力、跨高比，不同截面以及相同截面不同位置受剪切變形的影響，為不同位置考慮剪切變形的必要性提供依據(jù)。

2.1 計算模型

定義歐拉-伯努利梁中的撓度為uzE，鐵木辛柯梁中的撓度為uzT，則工字梁中剪切引起的附加形變?yōu)?|uzT-uzE| ，剪切引起的附加變形率為 |（uzT-uzE）/uzE| 。選取算例，材料參數(shù)以及截面參數(shù)如表1所示。

表1 工字梁模型參數(shù)Tab.1 I-beam model parameters

2.2 受力對剪切變形引起的附加變形影響分析

根據(jù)式（19）以及式（20）計算得到附加變形與附加變形率的表達式

由式（21）可知，附加變形與所受集中力F為線性關(guān)系，受力越大，附加變形也越大。由式（22）可知，附加變形率與受力大小無關(guān)，只與工字梁的形狀以及所求位置有關(guān)。

選取工字梁的長度L= 1 400 mm 進行計算，在F不同的工況下計算得到梁截面中性軸的撓度。圖2 給出了F不同時剪切引起的附加變形。剪切引起的附加變形隨著受力增加變大，剪切引起的附加變形與梁截面與固定端之間的距離成線性關(guān)系。因此，在其他因素保持不變，只有F變化時，可以根據(jù)附加變形判斷是否需要考慮剪切的影響。

圖2 F不同時剪切引起的附加變形Fig.2 Additional deformation caused by shear at different forces

2.3 跨高比對剪切變形引起的附加變形影響分析

選取受力狀態(tài)F= 1 000 N，工字梁截面尺寸保持不變，改變長度，選取長度為1 400、1 000、600、200 mm 四種長度的工字梁進行計算，其對應(yīng)的跨高比L/h分別為14、10、6、2，針對不同跨高比的工字梁進行分析。

圖3給出了不同跨高比的梁剪切引起的附加變形，剪切引起的附加變形與截面和固定端之間的距離之間的線性關(guān)系不變，且斜率基本不變。

圖3 跨高比不同時剪切引起的附加變形Fig.3 Additional deformation caused by shear at different span-depth ratios

圖4給出了不同跨高比的梁剪切引起的附加變形率。剪切引起的附加變形率在固定端最大，在靠近固定端的一段范圍內(nèi)急劇減小后趨于穩(wěn)定，在自由端達到最小值。在靠近固定端的一定范圍內(nèi)，剪切引起的附加變形率可達到100%，隨著跨高比的減小，在固定端的附加變形率會更大，因此固定端一定范圍內(nèi)的的計算應(yīng)充分考慮剪切的影響。在跨高比L/h= 5 時，剪切造成的附加變形率在自由端最小，為10.33%，在靠近固定端的梁中附加變形率逐漸增加，此時剪切造成的影響已經(jīng)不可忽略。

圖4 跨高比不同時剪切引起的附加變形率Fig.4 Additional deformation rate caused by shear at different span-depth ratios

2.4 截面內(nèi)剪切變形引起的附加變形影響分析

選取梁的長度L= 1 400 mm 以及受力狀態(tài)F=1 000 N 進行計算，針對剪切對工字梁截面內(nèi)離中性軸不同位置的影響。

圖5給出了不同截面以及截面內(nèi)不同位置剪切引起的附加變形率，在同一個梁截面，剪切對中性軸影響最小，對梁表面影響最大，越靠近固定端，剪切對梁截面不同位置的的影響差異越大。

2.5 工字梁仿真與驗證

選取工程中的典型工況，利用Abaqus 進行有限元仿真，梁的長度L= 1 400 mm，梁受集中力F= -1 000 N，截面參數(shù)與理論計算相同，材料為304 鋼。梁的邊界條件為一端固支，一端受集中力。在Abaqus中，選用不同類型的網(wǎng)格進行計算，梁單元B33 忽略了剪切作用，用于模擬歐拉-伯努利梁，B31 允許剪切變形，用于模擬鐵木辛柯梁。圖6給出了是否考慮剪切得到的工字梁撓度的理論與有限元解，有限元與理論結(jié)果基本一致，驗證了本節(jié)理論結(jié)果在工程中的可行性。

圖6 工字梁撓度Fig.6 I-beam deflection

圖6 結(jié)合圖2 可以看出，在細長梁的實際應(yīng)用中，根據(jù)歐拉梁和鐵木辛柯梁理論得到結(jié)果相差不大。在工程實際應(yīng)用中，可以根據(jù)所需計算精度要求，判斷是否需要考慮剪切的影響，大部分情況下仍然可以用歐拉梁理論進行描述計算。根據(jù)圖4，在短梁中由于結(jié)果相差較大，應(yīng)該根據(jù)實際情況判斷是否需要考慮剪切的影響。

3 基于電測法的工字梁內(nèi)力測試

為獲得實際工程中的內(nèi)力值，需要開展電測法實驗，為理論結(jié)果提供支撐。并利用Ansys 進行有限元仿真，得到有限元（Finite Element Method，F(xiàn)EM）結(jié)果，并與第一節(jié)中的理論值進行對比分析，得出相關(guān)結(jié)論，證明該理論方法的有效性。

3.1 試驗材料與設(shè)備

如圖7所示，試驗需要用到的試驗設(shè)備有工字梁、應(yīng)變片、承重框架結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、載荷加載系統(tǒng)等［10］。

圖7 試驗原理示意圖Fig.7 Schematic diagram of test principle

選取機翼中工字梁的典型尺寸設(shè)計制作工字梁。工字梁翼緣寬度70 mm，整體高度100 mm，腹板厚度4 mm，結(jié)構(gòu)材料為304鋼。

3.2 布片位置與方式

應(yīng)變片在工字梁上的布片位置以及布片方式如圖8所示。選擇三個測試切面1、2、3，在任意測試切面上，在工字梁的上下翼緣分別布置2 個單片用于測彎矩，在工字梁腹板的兩側(cè)布置2 個人字片用于測剪力。加載點位于梁自由端，通過在自由端施加集中力實現(xiàn)工字梁的變形。如圖9 所示，本次試驗采用組惠斯通全橋的方式，提高試驗精度[11]。

圖8 工字梁布片示意圖Fig.8 Schematic diagram of strain gauge distribution on I-beam

圖9 惠斯通電橋Fig.9 Wheatstone bridge

3.3 試驗加載與數(shù)據(jù)處理

選擇合適的高度將工字梁通過螺栓連接的方式［12］，固定在承重框架上。通過承重框架上的地軌將伺服作動器固定在承重框架上，根據(jù)加載需求調(diào)整固定位置。通過伺服作動器上的力值傳感器［13］、控制器和筆記本控制伺服作動器作用在工字梁上的載荷大小。

本次試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)由KAM-500 數(shù)據(jù)采集器、接線盒、電源盒、筆記本等組成。電源盒為數(shù)據(jù)采集器提供穩(wěn)定的激勵電壓，應(yīng)變片組橋后連接到接線盒上。數(shù)據(jù)采集器輸出的信號經(jīng)處理后在筆記本上生成試驗結(jié)果。

3.4 試驗與數(shù)據(jù)處理

本次試驗分為1 000、2 000、3 000 N 試驗測試。加載過程為逐級加載后逐級卸載，在1 000 N試驗中，力的變化幅度為200 N；在2 000 N與3 000 N 試驗中，力的變化幅度為500 N。為避免試驗過程中的偶然誤差［14］，每組試驗都重復(fù)進行3 次，按3 次平均計算。若發(fā)現(xiàn)某一點數(shù)據(jù)異常，本次試驗重做。

數(shù)據(jù)處理過程中只保留加載部分的試驗數(shù)據(jù)，對3 次試驗取平均值。表3 為3 次試驗最大載荷對應(yīng)的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的輸出碼值，M1、M2、M3分別為測試切面1、2、3 測試得到的彎矩對應(yīng)的碼值；Q1、Q2、Q3分別為測試切面1、2、3 測試得到的剪力對應(yīng)的碼值。

表3 原始數(shù)據(jù)記錄Tab.3 Original data record

根據(jù)采集器說明，得到的碼值結(jié)果為模數(shù)轉(zhuǎn)換器輸出的二進制碼值，該碼值除以3.28 轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的應(yīng)變值。在惠斯通電橋中，得到的信號是放大4 倍的信號，因此，輸出的應(yīng)變值除以4 為該截面的真實應(yīng)變。

3.5 工字梁仿真

在Ansys 中建立工字梁模型進行仿真，選取與試驗相同的工況與材料進行計算。由1.1節(jié)的理論結(jié)果可以得到結(jié)論，截面表面的正應(yīng)力在靠近固定端的過程中會逐漸增大，且正應(yīng)力與坐標成線性關(guān)系。隨著集中力增大，同一截面的應(yīng)力增加。對于截面剪力，當F相同時，剪力在不同的截面相同，與x無關(guān)，只與z相關(guān)，截面內(nèi)的剪力在中性軸達到最大值，向兩側(cè)逐漸衰減［15］。

將仿真與試驗結(jié)果與理論結(jié)果對比，如圖10、圖11所示，理論、仿真均與電測法結(jié)果基本一致，證明了該計算方法的有效性。

圖10 工字梁表面正應(yīng)力Fig.10 Normal stress on surface of I-beam

圖11 工字梁中性軸剪力Fig.11 Neutral axis shear force of I-beam

4 結(jié)論

本文首先利用鐵木辛柯梁理論計算工字梁的內(nèi)力與撓度。結(jié)果表明，考慮剪切作用得到的撓度更大，比忽略剪切作用的方法多了一項剪切項，在懸臂梁靠近固定端的一段距離內(nèi)剪切影響很大，并且在跨高比小于5 時，剪切造成的影響可達到10%，此時剪切不可忽略，應(yīng)充分考慮剪切的影響。隨后通過電測法進行工字梁彎曲試驗。結(jié)果表明，利用該測量方法得到的結(jié)果與理論以及有限元結(jié)果基本一致。本文構(gòu)建的利用鐵木辛柯梁計算的工字懸臂梁模型，是一種能夠為飛機中工字梁的計算提供更加符合真實情況的模型，能夠應(yīng)用在實際工程計算中。