勾股定理——解題的“金鑰匙”

欒君昊

勾股定理是華夏文明中的一顆璀璨明珠，也是解決實(shí)際問(wèn)題的“金鑰匙”。

例1 一個(gè)長(zhǎng)方體盒子緊貼底面（如圖1），一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，在盒子表面上爬到點(diǎn)G，已知AB=6，BC=5，CG=3，求這只螞蟻爬行的最短距離。

螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)G有多種路徑。根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，我嘗試將這個(gè)幾何體展開。在展開的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)有三種不一樣的展開方法。

方法一：如圖2，

AG =[（AB+BC）2+CG2]

=[（6+5）2+32]

=[130]；

方法二：如圖3，

AG =[（BF+FG）2+AB2]

=[（3+5）2+62]

=10；

方法三：如圖4，

AG =[（AE+EF）2+FG2]

=[（3+6）2+52]

=[106]；

因?yàn)?0＜[106]＜[130]，所以螞蟻爬行的最短距離是10。

當(dāng)然，把長(zhǎng)方體換成圓柱體，方法也一樣哦！

例2 如圖5，圓柱形玻璃杯高14厘米，底面周長(zhǎng)32厘米，在杯內(nèi)壁離杯底5厘米的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯子的外壁的點(diǎn)A處，離杯的上沿3厘米，與蜂蜜相對(duì)，則螞蟻從外壁點(diǎn)A到內(nèi)壁點(diǎn)B處的最短距離是多少？（杯壁厚度不計(jì)）

我首先想到的是直接連接AB，但實(shí)際問(wèn)題中點(diǎn)A和點(diǎn)B不在同一平面內(nèi)，所以還應(yīng)結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。如圖6，將杯子側(cè)面展開，作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A′B，就可以求出點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離。

因此，我發(fā)現(xiàn)，解決最短路徑問(wèn)題有如下步驟： 將立體圖形展開成平面圖形→利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定最短路線→構(gòu)造直角三角形→利用勾股定理求解。

教師點(diǎn)評(píng)：

勾股定理是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶。小作者勤于學(xué)習(xí)，善于思考，能夠發(fā)現(xiàn)并解決幾何體中的最短距離問(wèn)題：先將立體圖形展平，找到平面內(nèi)的兩點(diǎn)，利用兩點(diǎn)建立直角三角形模型，再用勾股定理計(jì)算。

（指導(dǎo)教師：虞樂(lè)園）