原油蒸餾曲線單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)樣條插值方法研究

陳 宏，范欽臻，程麗華，梁朝林，謝 穎

(1.廣東石油化工學(xué)院化學(xué)工程學(xué)院，廣東 茂名 525000；2.劣質(zhì)油加工廣東省普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)

原油及其餾分油均為復(fù)雜的混合物,以現(xiàn)有表征手段尚無法完全分析其詳細(xì)化學(xué)組成。Miquel等[1-2]提出用虛擬組分來表征原油餾分的化學(xué)組成,即根據(jù)原油或?qū)掟s分油的蒸餾曲線將其切割成若干個餾程較窄的餾分,然后將每個窄餾分油當(dāng)作一個虛擬組分,從而由虛擬組分的物性計(jì)算原油或?qū)掟s分油的物性。

此后,許多學(xué)者以虛擬組分法為基礎(chǔ)對原油加工過程進(jìn)行了模擬研究,如部分學(xué)者[3-5]以虛擬組分法為基礎(chǔ),對常減壓蒸餾裝置的流程進(jìn)行了模擬與優(yōu)化;還有部分學(xué)者[6-9]基于虛擬組分法建立模型,對催化裂化裝置的反應(yīng)-再生系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)、動態(tài)特性和多穩(wěn)態(tài)特性分別進(jìn)行了模擬。研究發(fā)現(xiàn)[10],基于Braun K10法的圖表數(shù)據(jù)開發(fā)的虛擬組分體系氣-液平衡常數(shù)模型,對實(shí)際體系的計(jì)算具有較高的可靠性。Bennett等[11]以虛擬組分法為基礎(chǔ)建立計(jì)算模型,準(zhǔn)確預(yù)測了烴類與水的互溶性。

虛擬組分法也是ASPEN和SIMSCI PROⅡ等流程模擬軟件處理復(fù)雜體系的常用方法,其中虛擬組分切割的可靠性取決于原油評價和產(chǎn)品蒸餾曲線的完整性和可靠性。原油及其餾分油的評價一般采用實(shí)沸點(diǎn)蒸餾(TBP,依據(jù)ASTM D2892標(biāo)準(zhǔn)方法)、模擬蒸餾(依據(jù)ASTM D2887標(biāo)準(zhǔn)方法)、減壓蒸餾(依據(jù)ASTM D1160標(biāo)準(zhǔn)方法)或恩氏蒸餾(依據(jù)ASTM D86標(biāo)準(zhǔn)方法)等方法,獲得有限個單調(diào)遞增的蒸餾數(shù)據(jù)(溫度-餾出率)[12]。然而,實(shí)際操作中得到的溫度-餾出率數(shù)據(jù)有限且數(shù)據(jù)區(qū)間分布不均勻,無法直接滿足虛擬組分法細(xì)分餾分的要求,因而需要使用數(shù)據(jù)補(bǔ)充方法對溫度-餾出率數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展,才能得到完整光滑的蒸餾曲線。常用的數(shù)據(jù)補(bǔ)充方法有內(nèi)插法、外推法等,為了保證補(bǔ)充數(shù)據(jù)與實(shí)際油品評價數(shù)據(jù)一致,選擇合適方法來確保補(bǔ)充數(shù)據(jù)的精度至關(guān)重要。

在各種流程模擬軟件中,油品餾程數(shù)據(jù)補(bǔ)充最常用方法是曲線插值法,如二次樣條插值法[13]、三次樣條插值法等[4,14]。然而,這些插值方法獲得的數(shù)據(jù)雖然一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),卻無法保證插值結(jié)果的單調(diào)遞增[13]。因此,上述插值方法均不能完全滿足補(bǔ)充油品蒸餾數(shù)據(jù)的要求。

鑒于上述插值方法的不足,本課題基于虛擬組分法,提出一種僅含3個參數(shù)的指數(shù)函數(shù)樣條插值方法,并分段構(gòu)造由3個參數(shù)指數(shù)函數(shù)組成的插值函數(shù),保證插值數(shù)據(jù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且遞增,滿足油品蒸餾曲線連續(xù)光滑且遞增的要求,從而提高對原油加工過程進(jìn)行模擬計(jì)算的準(zhǔn)確度。

1 指數(shù)函數(shù)插值模型

參考其他插值方法,分別從插值模型的問題描述、邊界條件、插值方程求解3個方面說明插值模型的研究方法。

1.1 問題描述

已知試驗(yàn)測得油品的蒸餾曲線在區(qū)間[a,b]中互異的n個節(jié)點(diǎn)x1,x2,…,xn(a=x1

指數(shù)函數(shù)樣條插值方法:首先,在蒸餾曲線的每個節(jié)點(diǎn)小區(qū)間[xi,xi+1](i=1,2,…,n-1)中構(gòu)造指數(shù)函數(shù)Si(x),使其與蒸餾曲線的餾出溫度值y近似,如式(1)所示。

(1)

式中:exp為以自然數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù);abs為求絕對值的函數(shù);Ai,Bi,Ci均為系數(shù),其中Ai為溫度系數(shù),℃,Bi、Ci為比例系數(shù),%。

由式(1)取一階導(dǎo)數(shù)得式(2)。

(2)

從式(2)可知,式(1)的插值函數(shù)是單調(diào)遞增的。式(1)中,當(dāng)Ci>0時,Si(x)為凹函數(shù);當(dāng)Ci<0時,Si(x)為凸函數(shù)。原油蒸餾曲線與雙曲正弦曲線相似,即左側(cè)部分為凸函數(shù),右側(cè)部分為凹函數(shù);基于式(1)對原油蒸餾曲線進(jìn)行分段插值,其形狀特征更接近油品實(shí)際蒸餾曲線。

為了確保指數(shù)函數(shù)插值在相鄰節(jié)點(diǎn)處連續(xù)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),Si(x)應(yīng)滿足約束方程式(3)～式(5)。

Si(xi)=yi,i=1,2,…,n-1

(3)

Si(xi+1)=yi+1,i=1,2,…,n-1

(4)

S′i(xi)=S′i-1(xi),i=2,3,…,n-1

(5)

由式(3)～式(5)可知,該指數(shù)函數(shù)樣條插值函數(shù)共有3n-3個未知數(shù)和3n-4個約束方程,因而還需指定1個邊界條件才能確定Si(x)。

1.2 邊界條件

邊界條件的設(shè)定是指數(shù)函數(shù)樣條插值方法的關(guān)鍵步驟,決定了樣條插值的效果。針對不同類型的曲線,應(yīng)該研究確定不同的邊界條件,才能確保樣條插值的準(zhǔn)確性。對于原油的蒸餾曲線來說,其在餾出率(xm)為[30%,70%]區(qū)間與直線近似。因此,可假設(shè)餾出率50%處蒸餾曲線的一階導(dǎo)數(shù)為餾出率30%和70%兩點(diǎn)間直線的斜率,即:

S′(50)=(t70-t30)/(70-30)

(6)

式中,t30、t70分別為蒸餾曲線上餾出率為30%和70%時的餾出溫度,℃。

1.3 插值方程求解

確定S′(xm=50)后,可將蒸餾曲線分成兩段(xm≥50%部分為上段,xm<50%部分為下段),然后從xm=50(一般剛好為蒸餾數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的一半)點(diǎn)開始,分別向兩端依次求解式(3)～式(5)方程組的系數(shù)。

1.3.1蒸餾曲線上段指數(shù)插值模型系數(shù)求解

在區(qū)間[xi,xi+1](i=m,m+1,…,n-1)內(nèi)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)Si(x),將式(1)代入式(3)～式(5),得到含3個未知數(shù)Ai,Bi,Ci的方程組,見式(7)～式(9)。

(7)

(8)

(9)

由式(9)變換可得:

(10)

Bi=xi-Ciln[S′i(xi)×abs(Ci)]

(11)

將式(10)代入式(7),整理得:

Ai=yi-CiS′i(xi)

(12)

將式(12)代入式(8),整理得:

(13)

將式(13)與式(9)相除,整理得:

(14)

式(14)中,根據(jù)已知的xi+1,xi,yi+1,yi,S′i(xi),采用牛頓法、割線法等非線性方程求解方法可求得系數(shù)Ci,然后再用式(11)、式(12)分別計(jì)算得到系數(shù)Ai、Bi。

蒸餾曲線上段右端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為:

(15)

1.3.2蒸餾曲線下段指數(shù)插值模型系數(shù)求解

對蒸餾曲線下段區(qū)間[xi,xi+1](i=2,3,…,m-1,m),可得到含3個未知數(shù)Ai-1,Bi-1,Ci-1的類似方程組,如式(16)～式(18)所示。

(16)

(17)

(18)

經(jīng)過相同步驟,可推導(dǎo)得到系數(shù)求解方程組,見式(19)～式(22)。

(19)

Ai-1=yi-Ci-1S′i-1(xi)

(20)

Bi-1=xi-Ci-1ln[S′i-1(xi)×abs(Ci-1)]

(21)

(22)

式(19)～式(22)中,i=2,3,…,m-1,m,其中S′i-1(xi-1)是蒸餾曲線下段左端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)。

綜上可知,利用式(11)～式(13)、式(15)和式(19)～式(22),可求得原油蒸餾曲線的指數(shù)樣條插值函數(shù)的所有系數(shù)。

1.3.3參數(shù)Ci正負(fù)性判斷

采用迭代法求解非線性方程式(14)和式(19)時,若給定的參數(shù)Ci初值不正確(正數(shù)或負(fù)數(shù)取值錯誤),則迭代過程很可能不能收斂。因此,方程求解時,需首先確定參數(shù)Ci是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

對式(1)取二階導(dǎo)數(shù)可得:

(23)

由式(23)可知:當(dāng)Ci>0時,S″i(x)>0,則分段插值指數(shù)函數(shù)Si(x)為凹函數(shù);當(dāng)Ci<0時,S″i(x)<0,則Si(x)為凸函數(shù)。凹凸函數(shù)如圖1示意。

圖1 凹凸函數(shù)示意

為了直觀起見,假設(shè)線段AB的斜率為S′AB,凸曲線ACB在A、B兩點(diǎn)的斜率分別為S′CA、S′CB,凹曲線ADB在A、B兩點(diǎn)的斜率分別為S′DA、S′DB。從圖1可以看出,對左側(cè)端點(diǎn)A,凸曲線S′CA>S′AB,凹曲線S′DA

2 指數(shù)函數(shù)插值效果驗(yàn)證

根據(jù)上述推導(dǎo)結(jié)果,編寫了Excel VBA程序。為了驗(yàn)證該指數(shù)函數(shù)樣條插值方法在原油實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)插值應(yīng)用中的準(zhǔn)確度,對2012年以來檢測的52種原油實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù),分別采用三次樣條插值法和指數(shù)函數(shù)樣條插值法進(jìn)行插值計(jì)算,并分別計(jì)算兩種方法的插值與校驗(yàn)值擬合的相關(guān)系數(shù),以獲得其插值準(zhǔn)確度,并判斷其是否具有單調(diào)遞增性質(zhì)。

以撒哈拉混合原油-2016為例,其實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 撒哈拉混合原油-2016的實(shí)沸點(diǎn)蒸餾結(jié)果

其插值計(jì)算過程如下:

(1)在該原油的生產(chǎn)過程中,多數(shù)情況下僅測定原油餾出率為0(或5%),10%,30%,50%,70%,90%,100%(或95%)時的餾出溫度。因此,在進(jìn)行插值(內(nèi)插法)效果檢驗(yàn)時,從原油實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)中取接近上述餾出率的數(shù)據(jù)作為插值的已知點(diǎn),其余數(shù)據(jù)作為插值結(jié)果的校驗(yàn)點(diǎn)。

(2)取餾出率為7.109%,20.353%,36.381%,50.056%,64.881%,89.292%,99.998%的7組蒸餾數(shù)據(jù)作為插值的已知點(diǎn),將其余實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)作為校驗(yàn)點(diǎn),分別用三次樣條插值方法和指數(shù)函數(shù)樣條插值方法進(jìn)行插值計(jì)算,對比插值結(jié)果與校驗(yàn)值的誤差,結(jié)果如圖2所示。

圖2 撒哈拉混合原油-2016三次樣條和指數(shù)函數(shù)樣條插值結(jié)果對比

(3)將三次樣條插值和指數(shù)樣條插值計(jì)算結(jié)果分別與校驗(yàn)值對比,計(jì)算其決定系數(shù)(R2)以驗(yàn)證其插值準(zhǔn)確度。

(4)將表2實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)中最小餾出率與最大餾出率間劃分為40等分,以每一個切割點(diǎn)為插值點(diǎn),分別用三次樣條和指數(shù)函數(shù)樣條插值計(jì)算,驗(yàn)證插值后餾出率對應(yīng)的餾出溫度是否單調(diào)遞增,結(jié)果見圖2。

從圖2(a)可以看出,三次樣條插值結(jié)果在個別點(diǎn)與校驗(yàn)值差別較大,而指數(shù)樣條插值結(jié)果的誤差比三次樣條插值結(jié)果更小。計(jì)算插值結(jié)果與校驗(yàn)值的擬合決定系數(shù)可知,三次樣條插值結(jié)果的R12=0.805 5,指數(shù)函數(shù)樣條插值結(jié)果的R22=0.908 5,可見R22比R12明顯增大,說明指數(shù)函數(shù)插值結(jié)果準(zhǔn)確度更高。

從圖2(b)可以看出:三次樣條插值結(jié)果不能保證插值結(jié)果單調(diào)遞增,當(dāng)餾出率從70%增至80%時,餾出溫度不升反降,不符合油品蒸餾數(shù)據(jù)單調(diào)遞增的規(guī)律;指數(shù)函數(shù)插值結(jié)果有效保持了單調(diào)遞增的趨勢。

采用類似的方法,分別對52種原油實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)中的其他51種原油蒸餾數(shù)據(jù)進(jìn)行三次樣條插值和指數(shù)函數(shù)樣條插值對比,其插值結(jié)果見表3。

表3 部分原油實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)內(nèi)插結(jié)果

從表3可以看出,指數(shù)函數(shù)樣條插值結(jié)果準(zhǔn)確度高于三次樣條插值結(jié)果的有50種,占比96.2%;在三次樣條插值結(jié)果中,有16種原油插值數(shù)據(jù)無法保持單調(diào)遞增,占比30.8%;而52種原油的指數(shù)函數(shù)樣條插值結(jié)果全部保持單調(diào)遞增,與理論分析結(jié)果一致。

52種原油插值結(jié)果與校驗(yàn)值的擬合決定系數(shù)如圖3所示。從圖3可以看出:在三次樣條插值結(jié)果中,R2>0.99的有21種,占比40.4%;在指數(shù)函數(shù)樣條插值結(jié)果中,R2>0.99的有37種,占比71.2%。三次樣條插值結(jié)果決定系數(shù)小于0.9的有6種,而指數(shù)函數(shù)插值結(jié)果決定系數(shù)小于0.9的僅有1種?？梢?對大多數(shù)原油的實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)來說,指數(shù)函數(shù)插值結(jié)果的決定系數(shù)大于三次樣條插值。因此,用于原油實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)插值時,指數(shù)函數(shù)樣條插值方法優(yōu)于三次樣條插值法,而且絕大多數(shù)(98.1%)指數(shù)函數(shù)插值結(jié)果與校驗(yàn)值的擬合決定系數(shù)大于0.9,說明指數(shù)函數(shù)插值結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖3 兩種插值方法決定系數(shù)對比

3 結(jié) 論

在進(jìn)行原油加工過程計(jì)算時,采用優(yōu)選方法對有限原油蒸餾數(shù)據(jù)進(jìn)行插值補(bǔ)充,是獲得單調(diào)遞增連續(xù)光滑蒸餾曲線的基礎(chǔ)。鑒于傳統(tǒng)插值方法性能的不足,本研究設(shè)計(jì)了一種僅包含3個參數(shù)的指數(shù)函數(shù)插值方法,在保證計(jì)算精準(zhǔn)度的同時簡化了計(jì)算過程。

該指數(shù)函數(shù)插值法采用分段插值,其形狀特征更接近油品實(shí)際蒸餾曲線。采用迭代法求解該指數(shù)函數(shù)的非線性方程時,明確參數(shù)Ci是正數(shù)還是負(fù)數(shù)至關(guān)重要,若參數(shù)Ci初值的正負(fù)性不正確,則迭代過程可能無法收斂。

對52種原油實(shí)沸點(diǎn)蒸餾數(shù)據(jù)的插值驗(yàn)證結(jié)果表明:采用指數(shù)函數(shù)插值法能夠保證插值后的原油蒸餾曲線單調(diào)遞增;52種原油的插值結(jié)果中,指數(shù)函數(shù)插值與校驗(yàn)值擬合決定系數(shù)(R2)大于0.99的有37種,占比71.2%,三次樣條插值結(jié)果R2>0.99的僅有21種,占比40.4%;而指數(shù)函數(shù)插值結(jié)果的準(zhǔn)確度高于三次樣條插值結(jié)果的有50種,說明指數(shù)函數(shù)插值方法效果明顯優(yōu)于三次樣條插值方法。