摘要 數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要圍繞數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念展開，在基于真實情境的問題解決中引發(fā)對數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的深度理解，在任務(wù)導(dǎo)向的循證實踐中發(fā)展數(shù)學(xué)/跨學(xué)科素養(yǎng)。具體教學(xué)中可以從真實性主題的確立到雙線并進(jìn)的目標(biāo)厘定，從數(shù)學(xué)/跨學(xué)科的結(jié)構(gòu)化內(nèi)容整合到融入全程評價的遞進(jìn)式任務(wù)推進(jìn)，展開數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的校本實踐樣態(tài)。

關(guān) ?鍵 ?詞 數(shù)學(xué) 跨學(xué)科 主題學(xué)習(xí) 概念理解 真實情境 遞進(jìn)式任務(wù) 全程評價

引用格式 莊治新.概念視角下數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的實踐研究[J].教學(xué)與管理，2023（35）：49-53.

埃里克森認(rèn)為，概念為本的教學(xué)要在事實性層面上能“知道”，在概念性層面上能“理解”，在技能和過程層面上能“做”，即要利用事實性的、概念性的和激發(fā)性的問題來使學(xué)生協(xié)作（有時候是獨(dú)立的）去探究有趣的、相關(guān)的或要求的問題，發(fā)展學(xué)生的思維[1]。也就是說，在組織教學(xué)活動時，至少要關(guān)注兩個維度：事實性層次和概念性層次，因為只有在事實性層次和概念性層次的相互作用下，才能引發(fā)對學(xué)科/跨學(xué)科概念的深層次理解以及遷移能力的發(fā)生。

作為綜合與實踐活動的重要內(nèi)容之一，跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）提出的新的學(xué)習(xí)方式，需要學(xué)生面對現(xiàn)實背景，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法，分析并解決問題[2]。由此可見，數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)既重視現(xiàn)實背景中真實情境問題的解決，具有實踐性；又強(qiáng)調(diào)要從數(shù)學(xué)學(xué)科本身的視角出發(fā)審視問題，具有學(xué)科性；更關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的概念整合，具有綜合性。學(xué)生在參與數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的過程中需要圍繞數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念展開系列探究活動，即要從數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的視角去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題，從而達(dá)成對數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的深度理解和靈活遷移。下面筆者就以五年級跨學(xué)科主題“‘坊小綠化面積”為例（以下簡稱“綠化”），談?wù)劯拍钜暯窍碌臄?shù)學(xué)跨學(xué)科主題實踐樣態(tài)。

一、主題確立：數(shù)學(xué)學(xué)科與真實情境整體考量

《課標(biāo)》指出，跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要設(shè)計情境真實、較為復(fù)雜的問題，要引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識與方法解決問題。也就是說，數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題的確立至少要重點(diǎn)關(guān)注兩個維度：學(xué)科特征和真實情境。首先，跨學(xué)科主題要著重關(guān)注學(xué)科中的大概念，以某個大概念或者核心議題為靶心，主動關(guān)聯(lián)其他學(xué)科中相近或相關(guān)內(nèi)容的解讀，促成學(xué)生對大概念持續(xù)性、綜合性的理解[3]。由此可見，數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題必須承載數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容并輔以其他學(xué)科的相關(guān)知識，主題的確立要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，可以是對教材現(xiàn)有內(nèi)容的改編，也可以圍繞數(shù)學(xué)核心概念進(jìn)行創(chuàng)編，但無論哪種形式，都需要圍繞數(shù)學(xué)概念分析、解決問題。其次，跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)解決復(fù)雜問題的特性決定了真實情境是跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)基本要素[4]。這里的真實情境，既指符合邏輯的、合情合理的、具有典型性和教育性的學(xué)習(xí)活動的真實，又指反映原型的、經(jīng)過教育的提取與加工的生活問題與情境的真實，更指根植于學(xué)科發(fā)展史、概念發(fā)展史或問題發(fā)展史的學(xué)科脈絡(luò)的真實。無論哪種真實情境，必定是具有現(xiàn)實意義的，蘊(yùn)含真實的專家思維的，是復(fù)雜的、開放的，具有挑戰(zhàn)性的。因此，數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題的確立既要重視以數(shù)學(xué)概念為內(nèi)核的學(xué)科引領(lǐng)地位，又要關(guān)注真實情境的現(xiàn)實價值。

如“綠化”主題的確立，就是以與蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊第二單元“多邊形的面積”配套的綜合與實踐“校園綠地面積”為藍(lán)本進(jìn)行的創(chuàng)編：一是重組教材內(nèi)容，圍繞多邊形的特征進(jìn)行單元整體設(shè)計，輔以美術(shù)、科學(xué)、語文的相關(guān)知識，將多邊形面積的學(xué)習(xí)融于跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中，確保學(xué)生將所學(xué)知識與自身經(jīng)驗聯(lián)結(jié)和內(nèi)化，在系列任務(wù)的逐層推進(jìn)中促進(jìn)概念理解；二是擴(kuò)大研究范圍，校園的占地面積是固定的，而用于綠地的面積更是有限的，因此從“綠化”的視角來推進(jìn)校園環(huán)境的優(yōu)化建設(shè)更為合理。基于教材內(nèi)容的整合和學(xué)校環(huán)境的現(xiàn)狀，確定了五年級的數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題：“坊小”綠化面積，旨在從數(shù)學(xué)學(xué)科的視角審視校園現(xiàn)有的綠化面積，輔以美術(shù)、科學(xué)、語文的相關(guān)知識與技能，全面、科學(xué)地了解學(xué)?，F(xiàn)有的綠化情況，并根據(jù)國家規(guī)定的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)及學(xué)?，F(xiàn)狀，以“‘坊小綠化員”的身份提出可行性建議。

二、目標(biāo)厘定：概念理解與素養(yǎng)提升雙線并進(jìn)

1.數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的理解

威金斯指出，理解是關(guān)于知識遷移的，即要學(xué)習(xí)用大概念和遷移策略來解決問題[5]。概念理解作為數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，包括三個方面的內(nèi)容：一是掌握基本的知識和技能，即解決問題所必備的事實性知識。這里既指數(shù)學(xué)學(xué)科的知識，包括規(guī)則圖形的面積計算方法（如長方形和正方形的面積、三角形和梯形的面積、圓的面積等）和不規(guī)則的組合圖形的計算方法，還指科學(xué)、美術(shù)學(xué)科的知識，如基本的測量、繪圖技能等。二是要理解意義，即達(dá)到概念性的理解。這里指的是學(xué)生要理解數(shù)學(xué)/跨學(xué)科的概念，如“圖形的切割要根據(jù)所測物體的實際形狀進(jìn)行”“同一個組合圖形可以通過不同的割補(bǔ)法計算面積”“數(shù)據(jù)的獲得要根據(jù)圖形的特征來確定”等。三是靈活遷移，即能將數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念運(yùn)用于新的情境中。這里是指學(xué)生要學(xué)會將“圖形特征的數(shù)據(jù)的獲取”及“數(shù)據(jù)是確定環(huán)保方案的重要指標(biāo)”等觀念，在類似甚至不同的情境或主題中靈活遷移和運(yùn)用。

2.數(shù)學(xué)/跨學(xué)科素養(yǎng)的提升

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要關(guān)注素養(yǎng)的提升，這里的素養(yǎng)既指數(shù)學(xué)素養(yǎng)，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界；也包括跨學(xué)科素養(yǎng)，如科學(xué)思維、藝術(shù)表達(dá)、與同伴協(xié)作、學(xué)會交流、批判性思考等。在“綠化”中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)體現(xiàn)在：學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察花壇、草坪等實際物體的形狀特征，會用數(shù)學(xué)的思維去分析并采用最合理的方式測量不同組合的綠地面積，會用數(shù)學(xué)的語言有條理地闡述規(guī)則花壇和不規(guī)則花壇在測量過程中的不同解決方案等；跨學(xué)科素養(yǎng)體現(xiàn)在：會從科學(xué)的視角去理解空間與平面的聯(lián)系，會運(yùn)用線條與形狀等造型元素去繪制平面圖，會服從團(tuán)隊的分工安排并主動與同伴合作進(jìn)行實地測量，會與同伴討論協(xié)商后獲取最佳割補(bǔ)方案，對同伴提出的觀點(diǎn)能欣賞接納或合理質(zhì)疑等。

三、內(nèi)容梳理：數(shù)學(xué)概念和跨學(xué)科概念結(jié)構(gòu)整合

1.學(xué)科內(nèi)關(guān)聯(lián)視角

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要圍繞數(shù)學(xué)概念展開。數(shù)學(xué)概念是有邏輯的結(jié)構(gòu)體系，從縱向視角看，每一個概念的呈現(xiàn)都是從易到難螺旋上升的，貫穿整個小學(xué)階段，學(xué)生對同一體系數(shù)學(xué)概念的理解在不同學(xué)段可以得到遞進(jìn)式的逐層深化；從橫向視角看，每一個數(shù)學(xué)概念都不是孤立存在的，不同數(shù)學(xué)概念之間有機(jī)融合、互相影響，學(xué)生對有聯(lián)系的不同數(shù)學(xué)概念的理解在同一跨學(xué)科主題中達(dá)成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知。

如在“綠化”中，從縱向看，對平面圖形的認(rèn)知發(fā)展貫穿整個小學(xué)階段（如圖1），其中學(xué)生對規(guī)則圖形的認(rèn)識是主題推進(jìn)的基礎(chǔ)，學(xué)生在對草坪、花壇等校園綠地面積的測量中形成對組合圖形的初步感悟：每一個不規(guī)則圖形都是由若干個規(guī)則圖形組成的。由此提煉出解決組合圖形面積的基本方法——割補(bǔ)法。

從橫向看，解決組合圖形的面積問題時，幾何直觀與運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)意識不可分割（如圖2），測量與計算是主題推進(jìn)的關(guān)鍵要素。組合圖形切割后的面積計算，不僅需要根據(jù)圖形的特點(diǎn)測量出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，還需要根據(jù)實際情況采用合適的計算方法，包括運(yùn)用面積公式的精準(zhǔn)計算以及根據(jù)圖形特點(diǎn)的合理估算，如看成近似的規(guī)則圖形進(jìn)行估測、用面積單位拼接測量等。

圖2 “組合圖形的面積”橫向概念結(jié)構(gòu)圖

2.跨學(xué)科關(guān)聯(lián)視角

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)解決的是真實情境中的問題，其挑戰(zhàn)性強(qiáng)、開放性大的特征決定了問題的解決僅憑數(shù)學(xué)概念是無法達(dá)成的，必然要從整合跨學(xué)科的視角展開?？鐚W(xué)科概念的介入可以更好地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。如在“綠化”中，學(xué)生需要將現(xiàn)實世界中的花壇抽象成平面圖形，并根據(jù)其特征繪制成相應(yīng)的示意圖，這就需要運(yùn)用美術(shù)構(gòu)圖的概念來繪制相對精準(zhǔn)的示意圖，從而幫助學(xué)生準(zhǔn)確分析圖形的特征，并確定合適的割補(bǔ)方法計算面積；各個圖形中關(guān)鍵數(shù)據(jù)的獲取、測量工具的選擇及使用等又涉及科學(xué)測量的范疇，工具使用越恰當(dāng)，數(shù)據(jù)測量越精準(zhǔn)，學(xué)生計算出的綠化面積就越接近真實數(shù)據(jù)。

四、任務(wù)推進(jìn)：學(xué)習(xí)實踐與循證理解螺旋遞進(jìn)

1.設(shè)計層級任務(wù)，在持續(xù)推進(jìn)中分解難點(diǎn)

數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題是一個內(nèi)涵豐富的問題域而不是一個單向度的知識命題[6]，其復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性決定了學(xué)生無法輕易找到問題解決的方法，這就需要圍繞主題設(shè)計多個有關(guān)聯(lián)的任務(wù)鏈，每個任務(wù)都對應(yīng)一個關(guān)鍵問題，在持續(xù)的任務(wù)推進(jìn)中不斷探尋問題解決的路徑，從數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的視角去求證解決方案的可行性和科學(xué)性。如“綠化”中設(shè)計了遞進(jìn)性任務(wù)（見表1），任務(wù)一重在發(fā)現(xiàn)、提出問題，從“‘坊小綠化師”的視角引發(fā)思考：校園綠化面積是否達(dá)到了綠化標(biāo)準(zhǔn)？并以此為學(xué)習(xí)主題商定學(xué)習(xí)活動方案；任務(wù)二重在分析、解決問題，以小組協(xié)作的方式展開學(xué)習(xí)實踐，通過實地觀測，選擇合適的方法測量并獲取數(shù)據(jù)，結(jié)合圖形的特點(diǎn)選擇合理方法計算面積，學(xué)生在討論質(zhì)疑、辯論反思中引發(fā)對數(shù)據(jù)與圖形的協(xié)同理解；任務(wù)三重在方案落實，從數(shù)據(jù)的視角思考并提出可行性方案，用宣講的方式將倡議方案進(jìn)行全校性的推廣。

2.提供學(xué)習(xí)支撐，在思維可視中深化理解

普利斯里等人認(rèn)為，支架是根據(jù)學(xué)生的需要為他們提供幫助，并在他們能力增長時撤去幫助。作為一種輔助性工具，學(xué)習(xí)支架成為主題學(xué)習(xí)任務(wù)推進(jìn)過程中不可或缺的可視化思維支撐，不同的學(xué)習(xí)支架具有不同的功能，在恰當(dāng)?shù)臅r候提供學(xué)習(xí)支架，可以引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的深度理解。如在“綠化”中，根據(jù)任務(wù)推進(jìn)的需要，提供了以下圖表類學(xué)習(xí)支架。

（1）知識梳理單（見表2）。幫助學(xué)生整理、篩選、組織和記錄信息?？捎糜趯W(xué)習(xí)開始之前的知識梳理，這是確保任務(wù)順利開展的重要舉措，學(xué)生能清楚地知道自己已經(jīng)掌握了哪些知識和能力；也可在學(xué)習(xí)過程中隨時記錄收獲，這是一種增值性的知識增長，讓學(xué)生清楚學(xué)到了什么。如在做“綠化”之前，學(xué)生已經(jīng)了解了長正方形、三角形、梯形的面積計算方法，而在任務(wù)開展的過程中，他們學(xué)到了圓的面積計算方法、不規(guī)則圖形的測量、小數(shù)加減法的計算等，當(dāng)任務(wù)結(jié)束后，部分學(xué)生又對扇形面積、圓周長等有了新想法。

表2 “‘坊小綠化面積”知識梳理單

已知 新知 未知

學(xué)習(xí)前，我們已經(jīng)了解到平面圖形的知識 學(xué)習(xí)中，我們又了解到平面圖形的知識 學(xué)習(xí)后，我們還想了解關(guān)于平面圖形的哪些方面

（2）問題記錄單（見表3）。主要記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐過程中碰到的問題以及解決的方法，幫助學(xué)生深入思考問題并將解決路徑可視化，從而引發(fā)對概念的深度理解。如在測量花壇的過程中，學(xué)生記錄的問題是：有一個圖形是缺了一個小弧度的，不知道怎么測量。他們的解決方法是：把缺的兩條邊連接起來，就可以作為長方形計算面積。學(xué)生記錄的問題包括繪圖的問題、測量的問題等，而解決的方法也是多樣的，既可以向有經(jīng)驗人員的請教，也可以查閱資料等。

（3）任務(wù)探究單（見表4）。主要用于記錄學(xué)生在探究過程中發(fā)現(xiàn)的問題以及是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)概念來解決的。如有的小組的任務(wù)是測量花壇面積，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)花壇是不規(guī)則圖形，而且還有弧度，他們的探究過程是先運(yùn)用割的方法分出一個長方形，再用補(bǔ)的方法看成近似的長方形，最后多出來的一小塊用面積單位去量。他們的探究成果就是將探究的過程用示意圖畫出來，使探究過程可視化。

3.組織探究活動，在循證探究中解決問題

循證探究是數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)深入推進(jìn)的重要活動方式，包括觀察現(xiàn)象、查找信息、制訂研究計劃，根據(jù)實驗證據(jù)對已有的結(jié)論作出評價，使用工具收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、預(yù)測及交流結(jié)果等。無論哪一項探究活動都需要指向?qū)?shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的理解，并為問題解決提供相關(guān)數(shù)據(jù)和最佳證據(jù)。如“綠化”中涉及到多項探究活動：調(diào)查活動，學(xué)生通過統(tǒng)計、問詢等方式獲得關(guān)于全校人數(shù)的第一手資料，理解數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性會影響方案的設(shè)計；測量活動，學(xué)生對長方形草坪進(jìn)行整體觀測，測量四條邊或兩條邊，甚至用只測量一塊瓷磚，再乘瓷磚塊數(shù)的方法，都可以獲取長方形草坪相關(guān)邊的數(shù)據(jù)，理解數(shù)據(jù)的獲取可根據(jù)圖形特點(diǎn)靈活測量；計算活動，學(xué)生對繪制的平面圖形進(jìn)行研究，可以用割或者補(bǔ)的方法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形進(jìn)行計算，也可以將不規(guī)則圖形看成近似的規(guī)則圖形來估算，或者用面積單位（1平方分米的紙片）量較小的不規(guī)則圖形等，理解需要根據(jù)圖形的特點(diǎn)靈活選擇計算方法；匯報點(diǎn)評活動，各小組將測量計算過程中碰到的問題及解決辦法進(jìn)行交流，其他小組在質(zhì)疑評估中引發(fā)更深入的思考，理解問題解決的多樣性以及數(shù)據(jù)與方案的相關(guān)聯(lián)性。

五、評價管理：過程發(fā)展與結(jié)果呈現(xiàn)全程融入

1.重視及時的交流評價，引發(fā)高階思維的發(fā)展

維果茨基認(rèn)為，所有的知識都始于可視化的社會交互，然后慢慢被學(xué)習(xí)者內(nèi)化并形成想法[7]。因此，學(xué)習(xí)者之間的對話、協(xié)作是非常關(guān)鍵的，跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中要強(qiáng)調(diào)將學(xué)生的內(nèi)隱認(rèn)知外顯化，而及時點(diǎn)評、對話交流作為重要的一種即時性評價方式，既可以對學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行有效的調(diào)控與管理，更能通過層層遞進(jìn)的對話引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的深入思考，發(fā)展高階思維。如“綠化”中在測量不規(guī)則花壇時，教師連續(xù)追問：你認(rèn)為圖3分割出來的每一條邊都需要測量嗎？中間這一條邊不方便直接測量，你們認(rèn)為可以怎么解決？這種分割法是最方便的嗎？有沒有更合理的分割方法？在圖4中，把這條彎曲的邊看成近似的直線后，相差的面積又是怎么處理的……學(xué)生在不斷思考中理解不同的切割方法會影響數(shù)據(jù)的獲取，數(shù)據(jù)的獲取又取決于實際情況，既要考慮準(zhǔn)確性，更要關(guān)注合理性。

2.制定適切的評價量規(guī)，關(guān)注概念的靈活遷移

厄爾提出評價的三種類型：學(xué)習(xí)性評價、學(xué)習(xí)的評價和學(xué)習(xí)式評價。在數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中，需要有以進(jìn)度報告、學(xué)習(xí)日記等為主要表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)性評價，在嵌入的過程中推進(jìn)學(xué)習(xí)；還需要有以任務(wù)清單、學(xué)習(xí)合約等為表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)式評價，在全程參與的自評和他評中學(xué)會評價；更需要有以檔案袋、評價量規(guī)等為主要表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)的評價，在真實性的評定中評估學(xué)習(xí)水平。從評價量規(guī)的制定來看，既包括對作品的評價，又包括對能力的評價。不同的學(xué)習(xí)任務(wù)需要制訂不同的學(xué)習(xí)量規(guī)，但無論是哪一種類型的評價量規(guī)，都必須指向?qū)W(xué)科/跨學(xué)科概念的理解及學(xué)科/跨學(xué)科素養(yǎng)的提升，并在活動前就提供給學(xué)生，使學(xué)習(xí)實踐有據(jù)可依。如“綠化”面積測量環(huán)節(jié)中，活動前與學(xué)生協(xié)商可從五個維度設(shè)計量規(guī)（見表5），包括圍繞平面圖形面積測量與計算的數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)表達(dá)等指向?qū)W科概念的維度，還包括團(tuán)隊合作、學(xué)習(xí)狀態(tài)等指向跨學(xué)科素養(yǎng)的維度。學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)實踐中圍繞這五個維度展開探究活動，在自省、互評中引發(fā)對概念的深度理解，有效促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

總之，數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)需要基于概念的視角展開，學(xué)生在問題解決的過程中不斷形成對數(shù)學(xué)/跨學(xué)科概念的深度理解；在對真實問題情境的探究中不斷積累活動經(jīng)驗，感悟思想方法；在持續(xù)的學(xué)習(xí)實踐中深入體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、現(xiàn)實生活的聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)/跨學(xué)科素養(yǎng)的提升。

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