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      “加減乘除”及其“和差積商”說解

      2023-12-29 16:40:55萬獻(xiàn)初
      文史知識 2023年12期
      關(guān)鍵詞:商數(shù)加減乘除金文

      萬獻(xiàn)初

      數(shù)學(xué)的四則運算中,“加減乘除”的結(jié)果是“和差積商”。為什么這樣命名?需要從字源構(gòu)成和詞義發(fā)展上作透徹的解析。

      加法,指兩個或兩個以上的數(shù)、量合成一個數(shù)、量的計算,運算符號為“+”,進(jìn)行加法運算是以加號(+)將各項連接起來。

      加(ji?。?,《說文》:“加,語相增加也。從力從口?!苯鹞淖鳎x指誣枉、夸大。段玉裁注:“誣人曰‘譄,亦曰‘加,故‘加從力……謂有力之口也?!币钥冢冢┲ΓΓ⒖浯笳_枉之詞強加于人,故“加”從力從口?!蹲髠鳌でf公十年》:“犧牲玉帛,弗敢加也,必以信?!倍蓬A(yù)注:“祝辭不敢以小為大,以惡為美。”由誣言加于人轉(zhuǎn)指置此于彼之上,即添上原無者,《論語·鄉(xiāng)黨》:“加朝服,拖紳?!睌U(kuò)展指增益、更加,《論語·子路》:“加我數(shù)年,五十以學(xué)《易》,可以無大過矣?!痹僦竷蓚€以上物或數(shù)目合在一起,與“減”相對,《九章算術(shù)·均輸》:“加一斛粟價,即致一斛之費?!庇谑怯辛怂阈g(shù)上的“加法”。加法運算的結(jié)果是“和”。

      和(hé),又作“咊”,《說文》“咊,相譍也。從口禾聲”,《廣韻·過韻》“和,聲相應(yīng)”。金文“和”作,作,小篆作。《周易·中孚》“鳴鶴在陰,其子和之”,《后漢書·黃瓊傳》“陽春之曲,和者必寡”?!昂汀睆暮痰靡袅x,《說文·禾部》“禾,嘉谷也”,甲骨文作,金文作,莊稼結(jié)實低頭之形,本指粟(小米),擴(kuò)展為禾苗、莊稼的總稱。初民有“嘉谷天授、瑞麥天來”的觀念,有天的風(fēng)調(diào)雨順和人的辛勤耕作,才有“禾”的收成,因此“禾”字象形表示莊稼,也寓意“天人合一”,有“和合”的基本義素。如《呂氏春秋·必己》“以禾為量”,高誘注:“禾,中和。”此義后加皿為“盉(hé)”,《說文·皿部》“盉,調(diào)味也。從皿禾聲”,金文作、,意為在器中(皿)調(diào)和五谷之味(禾),即“五味和羹”。

      “和”字有兩讀兩義:表示動作讀hè,《廣韻》胡臥切,匣母過韻去聲?!皬目诤搪暋北怼奥曇粝鄳?yīng)和”,即和諧地跟唱或伴奏。轉(zhuǎn)有“附和、響應(yīng)”義,又有“以詩歌酬答”義,擴(kuò)展有“答應(yīng)、允許”等義。作形容詞讀hé,《廣韻》戶戈切,匣母戈韻平聲,有“和諧、協(xié)調(diào)”義,本作龢,段玉裁《說文解字注》“經(jīng)傳多借和為龢”。龢(hé),《說文》“龢,調(diào)也。從龠禾聲,讀與和同”,甲骨文作,金文作。朱駿聲《說文通訓(xùn)定聲》“《一切經(jīng)音義》六引《說文》‘音樂和調(diào)也?!吨苷Z》‘聲應(yīng)相保曰龢?!?jīng)傳多以和為之”。龠(yuè),《說文》“龠,樂之竹管,三孔,以和眾聲也。從品、侖;侖,理也”,管樂器名,甲骨文作、、,構(gòu)字意圖為“用口吹排管”。龠同“樂—”,《說文》“樂,五聲八音之總名”,羅振玉謂“(樂)從絲附木上,琴瑟之象也”,即弦樂器?!百摺北硎竟軜?,“樂”表示弦樂,后“樂(樂)”通用而“龠”只作構(gòu)字部件。眾樂器聲音相和,故“龢”從龠禾聲。

      “盉—龢—和”三字音同,形義本有分工:盉,在器皿中調(diào)和糧食味道;龢,音樂和調(diào);和(咊),人聲應(yīng)和。后用“和”兼表三者:《申鑒·雜言上》“嘉味以濟(jì),謂之和羹”,是以“和”代“盉”;《爾雅·釋樂》“大笙謂之巢,小者謂之和”,是以“和”代“龢”?!昂汀苯y(tǒng)三義之后,“盉”退而只表裝食品的盒子,“龢”則廢棄不用。

      “和”的義項較多:和諧、協(xié)調(diào)→適中、恰到好處→和順、平和、和融→和解、和平→溫和、溫暖→調(diào)和、調(diào)治→匯合、結(jié)合→加法的結(jié)果→伴隨、連同→連詞。

      “和”指和諧、協(xié)調(diào),《禮記·樂記》:“其聲和以柔。”指適中、恰到好處,《周禮·天官·大司徒》:“一曰六德:知、仁、圣、義、忠、和?!编嵭ⅲ骸昂停瑒?cè)徇m也。”作動詞指調(diào)治、調(diào)和,《周禮·天官·食醫(yī)》:“食醫(yī)掌和王之六食、六飲、六膳、百羞、百醬、八珍之齊。”“和”是兩個以上物或數(shù)目疊加調(diào)和的結(jié)果,故用于數(shù)學(xué)名詞,就指兩個以上的數(shù)相加所得的總數(shù)。勾股術(shù)中有“勾股和”之稱,明徐光啟《勾股義》:“勾股和,求股求勾?!鼻辶_士琳《勾股截積和較算術(shù)》:“有勾股和,有截闊截長和,有截積,求勾?!?/p>

      減法,是從一個復(fù)數(shù)中減去另一個數(shù)的運算。已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù),求另一個加數(shù)的運算為減法,其運算是以減號(-)將各項連接起來。

      減(jiǎn),本從氵作減,《說文》:“減,損也。從水咸聲?!苯鹞淖鳌?,小篆作。咸(xián),《說文》:“咸,皆也,悉也。從口從戌。戌,悉也?!奔坠俏摹跋獭弊鳌?,從戌從口,戌為斧鉞類兵器。上古戰(zhàn)爭多,部族豎立武器(戌)呼集(口)全體部落男子參加(咸—喊),有“皆、悉”義,故“咸”從口從戌。作副詞表示范圍,相當(dāng)于“都、全”。“鹹(xián)”指鹽味,鹽為“鹵—”,咸鹽味是最普遍之味,飲食不可缺少,故“鹹”從鹵咸聲。鹹味太重則苦,《爾雅·釋言》:“鹹,苦也?!惫弊ⅲ骸翱嗉创篼y?!焙萝残辛x疏:“鹹極必苦?!碧蹋y)苦難食,加水使變淡可食,故“減”從水咸聲。后省“氵”為“冫”成“減”。

      “減”由損鹽分?jǐn)U展指去掉一部分,《禮記·樂記》:“故禮主其減,樂主其盈。”宋玉《登徒子好色賦》:“東家之子,增之一分則太長,減之一分則太短?!鞭D(zhuǎn)指減輕、降低,《左傳·昭公十四年》:“三數(shù)叔魚之惡,不為末減?!倍蓬A(yù)注:“減,輕也?!庇糜跀?shù)學(xué)運算方法,就指求兩數(shù)之差的“減法”,為加法的逆運算?!吨荀滤憬?jīng)》“夏至之日中與夜半,日光九萬六千里過極相接”,趙爽注:“倍日光所照,以夏至日道徑減之,馀即相接之?dāng)?shù)?!睖p法運算的結(jié)果是“差”。

      差(ch?。?,《說文》:“差,貳也,差不相值也。從左,從。,籀文從二?!苯鹞淖?,作,小篆作?!啊埂保╟huí)是一樹花朵(玉蘭花)下垂?fàn)顟B(tài),加手(右左)揉擦使脫落分開,同“搓”,“差—搓”古今字。由搓擦義轉(zhuǎn)指差錯、不當(dāng),《荀子·天論》:“亂生其差,治盡其詳?!睏顐娮ⅲ骸安?,謬也?!弊鞲痹~表示程度較小、略微,《漢書·食貨志下》:“白金三品……二曰以重差小,方之,其文馬,直五百?!庇糜跀?shù)學(xué)術(shù)語,表示兩數(shù)相減之間的結(jié)果差別,如五減去三之差就是二。

      乘法,是加法的簡便運算,是將相同的數(shù)加起來的快捷方式,是加法的量變導(dǎo)致的質(zhì)變結(jié)果。乘法的運算符號為“×”,以乘號(×)將各項連接起來。

      乘(chénɡ),《說文》:“乘,覆也。從入、桀?!崩钚⒍ā都坠俏淖旨尅罚骸俺酥玖x為升為登,引申之為加其上。許訓(xùn)覆也,與加其上同意,字象人登木之形?!奔坠俏淖?,金文作,一個人翹著腳板爬到樹(木)頂上,有“攀高、登上”義。《詩經(jīng)·豳風(fēng)·七月》“亟其乘屋”,人登上屋頂就是“乘屋”,轉(zhuǎn)指登、升?!吨芤住ね恕罚骸俺似滠タ斯?,吉?!薄秶Z·晉語》“郤叔虎將乘城”,晉國大夫郤叔虎要登上翟柤的城墻。由人翹足登上樹類比:騰身駕云是“乘風(fēng)”,騎上馬背是“乘馬”,登上車廂是“乘車”,四匹馬拉一車稱為“駟”,也稱“乘”,讀shèng,“千乘之國”是擁有很多戰(zhàn)車的大國。

      乘字的本義是登、升,就是到了高的地方,走上去、爬上去、送上去都可以,登上高處就能覆蓋下處,故《說文》訓(xùn)“乘,覆也”。由登上、覆蓋轉(zhuǎn)指翻倍,用于運算方法,兩數(shù)相倍為“乘”,即今算術(shù)的乘法?!吨荀滤憬?jīng)》卷上:“勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日?!薄度龂尽侵尽ぺw達(dá)傳》:“且此術(shù)微妙,頭乘尾除,一算之法,父子不相語?!背朔ㄊ且缘惴▽蓚€變量進(jìn)行移位、加減得到積,其逆運算的除法是以迭代算法對兩個變量進(jìn)行移位、加減得到商和馀數(shù)。乘法的運算結(jié)果為“積”。

      積(jī),繁體作“積”,是形聲字?!墩f文》:“積,聚也。從禾責(zé)聲?!睘楹坦染奂V祢E聲《說文通訓(xùn)定聲》:“禾谷之聚曰積。”金文作,小篆加禾作,簡化字從禾只聲作“積”。《詩經(jīng)·大雅·公劉》:“乃積乃倉,乃裹餱糧。”《說文》:“責(zé),求也。從貝朿聲?!北玖x為索取。王筠《句讀》:“責(zé),謂索求負(fù)家償物也?!彼魅∈菑娭菩郧笕∝斘铮ㄘ悾?,如刺(朿)人般給人帶來傷害,故“責(zé)”從貝朿聲。甲骨文“責(zé)”作、,從貝朿聲。朿(cì),《說文》:“朿,木芒也。象形。讀若刺?!北玖x為木芒,后加刂(刀)作“刺”。小篆“朿”作,徐鍇《系傳》:“從木形,左右象刺生之形也?!奔坠俏淖?、,像木上多刺形,或謂像戟、矛等有刺武器?!胺e”字構(gòu)形指聚集禾谷,谷物必先收?。ㄘ?zé))方能聚集,故“積”從禾責(zé)聲。

      “積”指積聚、貯藏糧食,《管子·牧民》:“積于不涸之倉,藏于不竭之府?!弊髅~指積聚之物,《左傳·僖公三十三年》:“居則具一日之積?!倍蓬A(yù)注:“積,芻米菜薪?!弊鲃釉~通指累積、堆疊,《荀子·勸學(xué)》:“積土成山,風(fēng)雨興焉;積水成淵,蛟龍生焉?!崩鄯e則增多,故也指多,《周禮·地官·遺人》:“掌邦之委積,以待施惠。”鄭玄注:“少曰委,多曰積?!庇种笖?shù)量的累積,《周易·升》:“君子以順德,積小以高大?!庇糜谶\算,指若干個數(shù)相乘的乘法結(jié)果,即倍數(shù)的累積,《九章算術(shù)·商功》:“今有城下廣四丈,上廣二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺,問積幾何?”

      除法,是乘法的逆運算,已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算,就是除法。用乘法做的任何事情,都可以用除法撤消。

      除(chú),《說文》:“除,殿陛也。從,余聲?!笔奈淖?,小篆作。

      甲骨文“阝”作,為山阜臺階形。余(yú),《說文》:“余,語之舒也。從八,舍省聲?!庇脼檎Z氣詞,后用為第一人稱代詞。語氣分散方能平舒,“八”有分散義;房舍四平八穩(wěn),梁柱分散受力,亦有平舒意,故“余”從八,舍省聲。甲骨文“余”作,金文作,像梁柱撐起屋頂?shù)姆可嵝?,與“舍”同義,由梁柱上撐房頂轉(zhuǎn)指語氣上出舒展義。

      臺階()可拾級上下,故“除”指宮殿的臺階,即“殿陛”,《史記·魏公子列傳》:“趙王掃除自迎,執(zhí)主人之禮?!薄稘h書·王莽傳下》:“群臣扶掖莽,自前殿南下椒除。”顏師古注:“除,殿陛之道也?!庇钟身樑_階而下轉(zhuǎn)指去除、清除,《尚書·微子之命》:“撫民以寬,除其邪虐?!庇种笖?shù)量上除去、不計算在內(nèi),北魏賈思勰《齊民要術(shù)·作酢法》:“取七日水,十五日作。除此兩日,則不成。”用于數(shù)學(xué)計算方法,指均分某數(shù)為若干份,與“乘”相反,是乘法的逆運算,《漢書·律歷志下》:“推日月元統(tǒng),置太極上元以來,外所求年,盈元法除之,余不盈統(tǒng)者,則天統(tǒng)甲子以來年數(shù)也?!薄杜f唐書·歷志一》:“乃以十二乘之,以時法六千五百三除之,所得為半辰之?dāng)?shù)?!背ǖ倪\算結(jié)果為“商”。

      商(shānɡ),本作,《廣韻》式羊切,書母陽韻平聲?!墩f文·貝部》“,行賈也,從貝,商省聲”,段玉裁注謂“,俗作,經(jīng)傳皆作商,商行而廢矣。渾言之則賈可互稱,析言之則行賈曰”。甲骨文“商”作,金文作,釋為地名、人名、方國名,或謂本為器名轉(zhuǎn)作地名?!队衿た诓俊贰吧?,五音金音也”。參考出土器物,“商”像懸掛的鐘類樂器,下加口示其發(fā)聲。故樂律五聲“宮商角徵羽”中有商聲。

      殷商的始祖契封于商地(今商丘),因地名國,故有商代,盤庚東遷改商為殷。吳晗認(rèn)為:周武王滅商后,“商人”指失國而為周子民的殷商遺民,他們失國失家失地,無以為生計,故用在殷商時善經(jīng)營的長處,跑買賣而掙腳力錢糊口,久而久之,商人就成了遠(yuǎn)途貿(mào)易者的代名詞。因初時殷商遺民本錢缺乏,只能“徙有之無”販運而從中獲得薄利,因而定下“通物曰商”的性質(zhì),商與旅從此分不開,《周易·復(fù)》“商旅不行”即是(參吳晗《燈下集·從商品生產(chǎn)想到中國商人的起源》,生活·讀書·新知三聯(lián)書店,1960)。商周用貝幣,通物者作從貝的“”字正合理,然商周之商字經(jīng)典習(xí)慣用商不用,經(jīng)商也就隨之用“商”?!豆茏印ば】铩贰敖穹蛏特?fù)任擔(dān)荷,服牛駱馬以周四方,料多少,計貴賤,以其所有易其所無,買賤鬻貴”,是對行商的典型描述。因“商人”起源于殷商遺民,從事周貴族看不起的跑買賣行業(yè),其時被貶稱“頑民”,故傳統(tǒng)為官者與讀書人都輕賤商人,官府多重農(nóng)抑商,與此種思想背景大有關(guān)系。

      商,由樂器轉(zhuǎn)指商地商朝,再由商朝義轉(zhuǎn)為商人,字形或從言作“謪”,擴(kuò)展出的詞義很多。有“經(jīng)商、販賣”義,《商君書·墾令》“重關(guān)市之賦,則農(nóng)惡商”;郭璞《江賦》“泝洄沿流,或漁或商”。有“商人”義,指販賣貨物的人,《商君書·墾令》“商欲農(nóng),則草必墾矣”;唐韓愈《送僧澄觀》詩“越商胡賈脫身罪,珪璧滿船寧計資”。有“商討、商量”義,《周易·兌》九四“商兌未寧”,王弼注“商,商量裁制之謂也”;《后漢書·宦者傳論》“成敗之來,先史商之久矣”,李賢注“商謂商略”;唐韓愈《貞曜先生墓志銘》“興元人以幣如孟氏賻,且來商家事”。有“計量、計算”義,《尚書·費誓》“我商賚爾”,孔傳“我則商度汝功,賜與汝”;《漢書·食貨志上》“時大司農(nóng)中丞耿壽昌以善為算能商功利得幸于上”,顏師古注“商,度也”。古漏壺中箭上所刻的度數(shù)(遞減),《儀禮·士昏禮》賈公彥疏:“鄭《目錄》云:‘士娶妻之禮以昏為期因而名焉。必以昏者,陽往陰來。日入三商為昏?!讨^商量,是刻漏之名?!薄对姟R風(fēng)·東方未明》“狂夫瞿瞿”,唐孔穎達(dá)疏:“《尚書緯》謂刻為商。鄭作《士昏禮目錄》云‘日入三商為昏,舉全數(shù)以言耳?!?/p>

      “商”由商討、計量、遞減刻度轉(zhuǎn)用于數(shù)學(xué)名詞,表示除法的結(jié)果,指一數(shù)除以不為零之?dāng)?shù)的結(jié)果,如6÷2=3,6是被除數(shù),2是除數(shù),3就是商數(shù)。除法計算結(jié)果稱為“商”,是由其“商量、比較、計算、遞減刻度”義延展出來的。

      當(dāng)除數(shù)變成一個基準(zhǔn)值,被除數(shù)變成一個數(shù)據(jù)值,商數(shù)就可以變成一系列數(shù)據(jù)值的比較標(biāo)準(zhǔn)?;谶@個標(biāo)準(zhǔn),現(xiàn)代人設(shè)計一些實驗來制定這個基準(zhǔn)值,并用基準(zhǔn)值作為測量的標(biāo)準(zhǔn)?!爸巧獭保↖Q),即智力商數(shù),就是用此法來驗測一個人在普遍社會智力水平上的位置。同樣的,情緒商數(shù)(EQ)、逆境商數(shù)(AQ)、創(chuàng)造力商數(shù)(CQ)等,都是這樣的商數(shù)。

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