矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型解法的探討與應(yīng)用

摘要：本文比較了求解矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的四種方法，即初等變換法、行列式因子法、特征向量法和求特征值法的優(yōu)劣。特別地，利用相似變換求解出了一類2n階矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

關(guān)鍵詞：矩陣；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型；相似變換

一、初等矩陣及相似變換

（一）初等變換

下面三種變換稱之為矩陣的初等變換：（1）非零數(shù)k乘以矩陣某一行（列）中的所有元素；（2）把矩陣的某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）對(duì)應(yīng)元素上去；（3）對(duì)換矩陣的兩行（列）。

（二）初等矩陣

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，初等矩陣分為三類：第一類是互換矩陣E的第k行和第j行元素（第k列和第j列元素），記為Pjk；第二類為用數(shù)域K中的非零數(shù)c乘E的i行（非零數(shù)c乘E的i列），記為Pi（c）；第三類是把矩陣E的第k行的γ倍加到第j行（把矩陣E的第j列的γ倍加到第k列），記為Pjk（γ）。研究一般的可逆線性變換可以轉(zhuǎn)化為研究初等變換。相似變換是一些特殊的初等變換的合成，矩陣在相似變換下保留了原有的一些很好的性質(zhì)。因此，初等變換、初等矩陣以及相似變換在線性代數(shù)研究中起著非常重要的作用。

（三）矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中非常重要的一部分內(nèi)容，在工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。

定義1［1］：一個(gè)n級(jí)復(fù)矩陣A，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x使得關(guān)系式Ax=λx成立，則稱λ為矩陣A的特征值，向量x為矩陣A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量，稱det（λE－A）為矩陣A的特征多項(xiàng)式，其中det（λE－A）表示矩陣λE－A的行列式。

（四）矩陣的相似

對(duì)于矩陣A，如果存在可逆矩陣P使得P－1AP=B，則稱A與B相似，也稱從矩陣A到矩陣B的相似變換。而可逆矩陣P可寫成一些初等矩陣的乘積，特別地，如果P就是一個(gè)初等矩陣，則稱矩陣A到矩陣B的一個(gè)初等相似變換。

二、矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

形式為J（λ，t）=λ0…000

1λ…000

00…1λ0

00…01λ的矩陣稱之為t級(jí)若爾當(dāng)塊（其中λ是復(fù)數(shù)）。即若爾當(dāng)塊矩陣對(duì)角線上為相同的復(fù)數(shù)λ，下方（或上方）次對(duì)角線上全為1，其余元素全為0。

由若干個(gè)若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣稱之為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，其一般形式為A1

A2

As，其中Ai=λi

1λi

1

λi

1λi，并且λ1，λ2，…，λs中有一些可以相等。

下面我們給出矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的五種方法。首先我們介紹一些相關(guān)的定義。對(duì)于矩陣A，稱λE－A為A的λ矩陣。

定義2［1］：設(shè)λ矩陣A（λ）的秩為r，對(duì)于正整數(shù)k，1

r，A（λ）的全部k階子式的首一最大公因式Dk（λ）稱為A（λ）的k階行列式因子。令d1（λ）=D1（λ），d2（λ）=D2（λ）D1（λ），…，dn（λ）=Dn（λ）Dn－1（λ），則d1（λ），d2（λ），…dr（λ）稱為λ矩陣A（λ）的不變因子。把矩陣A的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項(xiàng)為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪稱為矩陣A的初等因子。下面給出求解矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的方法。

方法一（初等變換法［1］）：

第一步：通過其對(duì)應(yīng)λ矩陣的初等變換求出矩陣A的初等因子；第二步：寫成每個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊；第三步：寫出若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

例1.求矩陣A=－1－26

－103

－1－14的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

解：由于：

λE－A=λ+12－6

1λ－3

11λ－4→100

0λ－10

00（λ－1）2

從而可得矩陣A的初等因子為（λ－1），（λ－1）2。（λ－1）對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊為J（1，1）。（λ－1）2對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊為J（1，2）。因此，A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為100

011

001。

對(duì)于階數(shù)較低且數(shù)字較小的矩陣可通過該種方式，其λ矩陣可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)閷?duì)角型矩陣，然后直接寫出初等因子。當(dāng)矩陣的階數(shù)很高或者矩陣很復(fù)雜，則該方式的計(jì)算量過于復(fù)雜，不可取。因此初等變換法適用于較為簡單的矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求解。

方法二（行列式因子法［1］）：

第一步：先求出λE－A的n個(gè)行列式因子式Dk（λ），1

n；第三步：求出矩陣A的初等因子，以及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

例2.求矩陣A=1234

0123

0012

0001的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

解：因?yàn)棣薊－A=λ－1－2－3－4

0λ－1－2－3

00λ－1－2

000λ－1，則D4（λ）=det（λE－A）=（λ－1）4，又因?yàn)樵讦薊－A中有三階子式－2－3－4

λ－1－2－3

0λ－1－2=－4λ（λ+1）且D3（λ）整除每個(gè)三階子式，且為D3（λ）D4（λ），所以D3（λ）=1，從而D2（λ）=D1（λ）=1，于是得A的不變因子為d1（λ）=d2（λ）=d3（λ）=1，d4（λ）=（λ－1）4，即A只有一個(gè)初等因子（λ－1）4，故A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為11

11

11

1。

該方法實(shí)用于比較特殊的矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求法，該例題發(fā)現(xiàn)了一個(gè)三階子式為－4λ（λ+1）而D4（λ）=（λ－1）4，D3（λ）是－4λ（λ+1）的因子，又因?yàn)镈3（λ）是D4（λ）的因子，從而得出了D3（λ）=1，于是可直接得出結(jié)果。但是一般情況下Dn-1（λ）不等于1，這就需要計(jì)算D1（λ），D1（λ），…，Dn-1（λ），如果該矩陣階數(shù)較高，這一過程非常復(fù)雜，亦不可取。

方法三（特征向量法［2］）：

第一步：按重?cái)?shù)求出矩陣所有的特征值；第二步：找出每個(gè)特征值線性無關(guān)的特征向量。

如果λi是矩陣A的單特征值，則對(duì)應(yīng)一階若爾當(dāng)塊，如果λi是矩陣A的ri（ri>1）重特征值，則對(duì)應(yīng)λi有幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量就有幾個(gè)以λi為對(duì)角元素的若爾當(dāng)塊，這些若爾當(dāng)塊階數(shù)之和等于ri。

例3.求矩陣A=31－1

－202

－1－13的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

解：令|λE－A|=0，解得λ1=λ2=λ3=2，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為（－1，1，0）T和（1，0，1）T，故A的若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為200

021

002。

特征向量法的計(jì)算比較簡單，但是當(dāng)階數(shù)較高時(shí)對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊階數(shù)可能無法確定，因此特征向量法也有一定的局限性，適合處理低階且較為簡單的矩陣。

方法四（求特征值法［3］）：

第一步：求出矩陣的特征值；第二步：求出每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)（代表該特征值對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)）=特征矩陣的列數(shù)減去特征矩陣的秩；第三步：求出每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊的最大階數(shù)以及塊數(shù)。具體過程如下：對(duì)于n階矩陣A，若得到rank（λiE－A）=s1，rank（λiE－A）2=s2，rank（λiE－A）3=s3，…，rank（λiE－A）l=sl，rank（λiE－A）l+1=sl，則對(duì)于λ=λi的若爾當(dāng)塊數(shù)情況分析如下：共有n－s1個(gè)若爾當(dāng)塊，其中階數(shù)最高的為l階。階數(shù)大于等于2的若爾當(dāng)塊有s1－s2個(gè)，階數(shù)大于等于3的若爾當(dāng)塊有s2－s3個(gè)，階數(shù)大于等于4的若爾當(dāng)塊有s3－s4個(gè)，…，階數(shù)等于l階的若爾當(dāng)塊有sl－1－sl個(gè)。

例4.求矩陣A=2－11－1

22－1－1

12－12

0003的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

解：令|λE－A|=0，解得λ1=λ2=λ3=1，λ4=3，對(duì)于特征值為1的若爾當(dāng)塊有如下分析：rank（E－A）=3，rank（E－A）2=2，rank（E－A）3=1，rank（E－A）4=1，從而特征值為1的若爾當(dāng)塊僅有一塊，且最高階數(shù)為3，且階數(shù)大于等于2的若爾當(dāng)塊僅有一塊，階數(shù)等于3的若爾當(dāng)塊也僅有一塊。由于A是4階矩陣，從而可得A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為11

11

1

3。

該方法適合求低階及高階矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，但當(dāng)遇到n階矩陣時(shí)，求解其特征值過程可能會(huì)非常復(fù)雜，因此該方法在某種程度上也存在一定的局限性。

本文最后，我們將給出求解冪零矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的一種特有的方法。

總結(jié)：理論上，方法一對(duì)于任意的有限階矩陣都可用，但是對(duì)于高階矩陣，求初等因子的過程就比較復(fù)雜。方法二適用于比較特殊的矩陣，如易求得Dn-1（λ）=1，此時(shí)只需求出該λ矩陣的行列式就可得到不變因子，對(duì)于一般的矩陣，如果Dn-1（λ）不等于1，此時(shí)方法二的計(jì)算量會(huì)很大，特別對(duì)于高階矩陣。方法三在處理高階若爾當(dāng)塊的時(shí)候特征向量的計(jì)算量較大，因此一般不可取。方法四從計(jì)算過程的角度可以解決一般的矩陣，也可用來處理高階矩陣，但是當(dāng)矩陣的階數(shù)不確定時(shí)，矩陣的特征值不一定可以確定。以上幾種方式都適合處理低階矩陣或者有限階矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，一般情況下求解n階若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型比較困難。但是如果該矩陣比較特殊，則我們可以先嘗試能否通過初等相似變換把該矩陣簡單化。

本文最后，我們給出了一類2n階矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求解過程。

例5.令：

n－1的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，其中an－l=0，當(dāng)j≠n－l時(shí)，aj≠0，bl=0，當(dāng)j≠l時(shí)，bj≠0，并且有

bl+1bl+2…bn－1bn+a1a2…an－l－1an=0。

分析：Al為2n×2n階分塊矩陣，n是一個(gè)不確定的正整數(shù)。當(dāng)n=2或者n=3時(shí)Al分別為4階和6階矩陣，其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型可以通過以上幾種方法求解，當(dāng)n4時(shí)通過以上方法計(jì)算比較復(fù)雜。但是通過觀察Al的結(jié)構(gòu)，我們首先把分塊Xl和Zl中的an和bn去掉，于是對(duì)Al作初等相似變換，目的就是把Al化簡。

結(jié)論

計(jì)算高階或者階數(shù)不確定的矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，如果用以上幾種方法操作起來比較復(fù)雜，則可以考慮把該矩陣先通過初等相似變換轉(zhuǎn)換成比較簡單的矩陣再利用以上方法求解。

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作者簡介：孫華（1989—），男，漢族，重慶人，博士，講師，研究方向：代數(shù)學(xué)。